# Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Teil 1 und 2 > Beide Teile des Hauptsatzes: bestimmte Integrale mit Stammfunktionen berechnen und Integrale mit variabler Grenze ableiten, mit vielen Rechenbeispielen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/hauptsatz-der-differential-und-integralrechnung Aktualisiert: 2026-09-28 ## Das Wichtigste - Teil 2 berechnet bestimmte Integrale: Gilt $F'= f$, dann ist $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$. - Teil 1 besagt, dass Integrieren und anschließendes Ableiten dich zum Ausgangspunkt zurückbringt: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. - Bei einer variablen oberen Grenze $u(x)$ verwendest du die Kettenregel: $\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\,u'(x)$. - Bestimmte Integrale messen orientierte Flächen, Flächen unterhalb der $x$-Achse zählen also negativ. Die Fläche unter $y = x^2$ mit [Riemann-Summen](/blog/riemann-sums) zu berechnen, kostet eine Seite Algebra und einen Grenzwert. Der **Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung** schafft es in einer Zeile: $\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$. Er ist der Grund, warum Integrale überhaupt praktisch nutzbar sind, und er verbindet die beiden Hälften der Analysis zu einem Fach. ## Was der Hauptsatz besagt In einfachen Worten: **Ableiten und Integrieren sind Umkehroperationen.** Der Satz besteht aus zwei Teilen, einem für jede Richtung. **Teil 1 (Ableitung eines Integrals).** Ist $f$ auf $[a, b]$ stetig, dann ist die Flächenfunktion $g(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ differenzierbar, und es gilt $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$ **Teil 2 (Integrale berechnen).** Ist $f$ auf $[a, b]$ stetig und $F$ irgendeine Stammfunktion von $f$ (also $F' = f$), dann gilt $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$ Kurz schreiben wir $F(b) - F(a)$ als $\Big[F(x)\Big]_a^b$. Die meisten Lehrbücher nummerieren die Teile so, einige vertauschen aber die Bezeichnungen. Wichtig ist, zu erkennen, welche Aufgabe du gerade erledigst: eine Zahl berechnen oder ein Integral ableiten. ## Warum er gilt: Die Fläche wächst mit einer Rate, die der Höhe entspricht Stell dir die Fläche unter $y = f(t)$ von $a$ bis $x$ vor und schiebe $x$ ein winziges Stück $h$ nach rechts. Die zusätzliche Fläche ist ein schmaler Streifen der Breite $h$ und ungefähr der Höhe $f(x)$, also gilt $$g(x + h) - g(x) \approx f(x)\cdot h \quad\Rightarrow\quad \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \approx f(x)$$ Für $h \to 0$ wird daraus $g'(x) = f(x)$: **Die Rate, mit der die Fläche wächst, ist die Höhe der Kurve.** Das ist Teil 1. Teil 2 folgt daraus: $g$ ist eine Stammfunktion von $f$, jede andere Stammfunktion $F$ unterscheidet sich davon um eine Konstante, und $\int_a^b f = g(b) - g(a) = F(b) - F(a)$. ## So berechnest du ein bestimmtes Integral (Teil 2) 1. Bestimme eine Stammfunktion $F(x)$. Lass das $+C$ weg, es hebt sich weg. 2. Berechne $F(b)$, den Wert an der oberen Grenze. 3. Berechne $F(a)$, den Wert an der unteren Grenze. 4. Subtrahiere: $F(b) - F(a)$. ### Rechenbeispiel 1: ein Polynom Berechne $\int_0^2 x^2\,dx$. **Schritt 1.** Eine Stammfunktion von $x^2$ ist $\frac{x^3}{3}$. **Schritt 2.** $F(2) = \frac{8}{3}$. **Schritt 3.** $F(0) = 0$. **Schritt 4.** $$\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$$ Das ist genau der Grenzwert der Riemann-Summen, den man sonst mühsam berechnet, ganz ohne Summenzeichen. ### Rechenbeispiel 2: Wurzeln und Konstanten Berechne $\int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx$. **Schritt 1.** Schreib $3\sqrt{x} = 3x^{1/2}$. Die Stammfunktion ist $3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2} = 2x^{3/2}$, und die Stammfunktion von $-2$ ist $-2x$. Also ist $F(x) = 2x^{3/2} - 2x$. **Schritt 2.** $F(4) = 2(4)^{3/2} - 2(4) = 2(8) - 8 = 8$. **Schritt 3.** $F(1) = 2(1) - 2(1) = 0$. **Schritt 4.** $$\int_1^4 (3\sqrt{x} - 2)\,dx = 8 - 0 = 8$$ ### Rechenbeispiel 3: die Fläche unter einem Sinusbogen Berechne $\int_0^{\pi} \sin x\,dx$. **Schritt 1.** Eine Stammfunktion von $\sin x$ ist $-\cos x$. **Schritte 2 bis 4.** $$\int_0^{\pi}\sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = (1) - (-1) = 2$$ ```graph title: 'Die Fläche unter einem Bogen von y = sin(x) von 0 bis π ist 2' caption: 'Die schraffierte Fläche hat genau den Inhalt $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2$, gefunden mit einer einzigen Stammfunktion und ohne Rechtecke.' x: [-0.5, 3.8] y: [-0.5, 1.5] functions: - expr: sin(x) label: y = sin(x) shade: {expr: sin(x), from: 0, to: 3.14159} points: - [0, 0, '0'] - [3.14159, 0, 'π'] ``` An den beiden Minuszeichen passieren die meisten Fehler. Schreib die Klammern jedes Mal vollständig aus, so wie oben. ### Rechenbeispiel 4: ein Logarithmus Berechne $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$. $$\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \Big[\ln|x|\Big]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$ ### Rechenbeispiel 5: Exponentialfunktionen und ein Wert, der nicht verschwindet Berechne $\int_0^1 (e^x + 2x)\,dx$. **Schritt 1.** Eine Stammfunktion ist $F(x) = e^x + x^2$. **Schritt 2.** $F(1) = e + 1$. **Schritt 3.** $F(0) = e^0 + 0 = 1$. Pass hier auf: $e^0$ ist $1$, nicht $0$, der Wert an der unteren Grenze verschwindet also nicht. **Schritt 4.** $$\int_0^1 (e^x + 2x)\,dx = (e + 1) - 1 = e \approx 2.718$$ ## Orientierte Fläche: wenn das Integral negativ ist Ein bestimmtes Integral zählt Flächen **oberhalb** der $x$-Achse positiv und Flächen **unterhalb** negativ. Zum Beispiel ist $$\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = \Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$$ Der Bogen über der Achse (Fläche $2$) hebt den Bogen unter der Achse (Fläche $2$) auf. Fragt eine Aufgabe nach der **Gesamtfläche** statt nach dem Integral, teilst du an den Nullstellen auf und addierst die Beträge: $2 + 2 = 4$. ### Rechenbeispiel 6: Verschiebung und zurückgelegte Strecke Dieselbe Idee taucht bei Bewegungsaufgaben auf, wo Teil 2 oft als **Satz über die Gesamtänderung** bezeichnet wird: Das Integral einer Rate liefert die gesamte Änderung. Ein Teilchen bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v(t) = 3t^2 - 6t$ m/s. Bestimme seine Verschiebung und die gesamte zurückgelegte Strecke von $t = 0$ bis $t = 3$. **Schritt 1. Verschiebung.** Eine Stammfunktion von $v$ ist $t^3 - 3t^2$, also $$\int_0^3 (3t^2 - 6t)\,dt = \Big[t^3 - 3t^2\Big]_0^3 = (27 - 27) - 0 = 0$$ Das Teilchen endet dort, wo es gestartet ist. **Schritt 2. Bestimmen, wo es umkehrt.** $v(t) = 3t(t - 2)$ ist auf $(0, 2)$ negativ und auf $(2, 3)$ positiv. **Schritt 3. Strecke.** Integriere $|v|$, indem du bei $t = 2$ aufteilst: $$\int_0^2 -(3t^2 - 6t)\,dt = -\Big[t^3 - 3t^2\Big]_0^2 = -(8 - 12) = 4$$ $$\int_2^3 (3t^2 - 6t)\,dt = \Big[t^3 - 3t^2\Big]_2^3 = 0 - (-4) = 4$$ Es bewegt sich $4$ m rückwärts und dann $4$ m vorwärts, die Gesamtstrecke beträgt also $8$ m, obwohl die Verschiebung $0$ ist. ## Ableitungen von Integralen (Teil 1) Mit Teil 1 kannst du ein Integral ableiten, ohne es zu berechnen. Das ist wichtig, wenn der Integrand keine einfache Stammfunktion hat. ### Rechenbeispiel 7: x in der oberen Grenze Bestimme $\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt$. Es gibt keine schöne Stammfunktion von $\sqrt{t^3 + 1}$, und du brauchst auch keine. Nach Teil 1 ersetzt du $t$ durch $x$: $$\frac{d}{dx}\int_1^x \sqrt{t^3 + 1}\,dt = \sqrt{x^3 + 1}$$ Die untere Grenze $1$ spielt keine Rolle. Ändert man sie, verschiebt sich die Flächenfunktion nur um eine Konstante. ### Rechenbeispiel 8: eine Funktion in der oberen Grenze Bestimme $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$. Hier ist die obere Grenze $u = x^2$, also ergänzt die Kettenregel einen Faktor $u' = 2x$: $$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = \cos(x^2)\cdot 2x$$ **Probe durch vorheriges Berechnen:** $\int_0^{x^2}\cos t\,dt = \sin(x^2) - \sin 0 = \sin(x^2)$, und $\frac{d}{dx}\sin(x^2) = 2x\cos(x^2)$. Es stimmt überein. Die allgemeine Regel lautet $$\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\,u'(x)$$ ### Rechenbeispiel 9: x in der unteren Grenze Bestimme $\frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt$. **Schritt 1. Die Grenzen vertauschen.** Das Vertauschen der Grenzen ändert das Vorzeichen: $\int_x^3 e^{t^2}\,dt = -\int_3^x e^{t^2}\,dt$. **Schritt 2. Teil 1 anwenden.** $$\frac{d}{dx}\int_x^3 e^{t^2}\,dt = -e^{x^2}$$ Hängen beide Grenzen von $x$ ab, teilst du das Integral an einer Konstanten auf: $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt = f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x)$. ## Kurzübersicht | Aufgabe | Regel | | --------------------------------------- | -------------------------------------------------------- | | $\int_a^b f(x)\,dx$ berechnen | $F(b) - F(a)$ mit $F' = f$ | | $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt$ | $f(x)$ | | $\frac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt$ | $f(u(x))\,u'(x)$ | | $\frac{d}{dx}\int_{x}^{a} f(t)\,dt$ | $-f(x)$ | | $\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} f(t)\,dt$ | $f(v(x))\,v'(x) - f(u(x))\,u'(x)$ | | Grenzen vertauschen | $\int_b^a f = -\int_a^b f$ | ## Typische Fehler beim Hauptsatz 1. **In der falschen Reihenfolge subtrahieren.** Es heißt $F(\text{oben}) - F(\text{unten})$. Umgekehrt dreht sich das Vorzeichen deiner Antwort um. 2. **Bei negativen Werten Klammern weglassen.** In Beispiel 3 braucht $(-\cos\pi) - (-\cos 0)$ jede Klammer. Wer $-\cos\pi - \cos 0$ schreibt, erhält $0$ statt $2$. 3. **Den Faktor der Kettenregel vergessen.** $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$ ist $2x\cos(x^2)$, nicht $\cos(x^2)$. 4. **Integrieren, obwohl Teil 1 greift.** Fragt die Aufgabe nach der Ableitung eines Integrals, musst du fast nie eine Stammfunktion bestimmen. 5. **Integral und Gesamtfläche verwechseln.** Taucht die Kurve unter die Achse, ist $\int_a^b f$ nicht die Fläche. Teile an den Nullstellen auf. 6. **Den Satz über eine Unstetigkeitsstelle hinweg anwenden.** $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}\,dx$ ist nicht $\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^1 = -2$. Der Integrand wächst bei $0$ über alle Grenzen, also gilt der Satz nicht. Das ist ein [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals). ## Bestimmte Integrale berechnen üben Sobald der Satz sitzt, wird jedes bestimmte Integral zu einer Stammfunktion plus sorgfältiger Rechnung. Die meisten Fehler sind Vorzeichenfehler, deshalb ist Wiederholung mit Rückmeldung der schnellste Weg zu verlässlichen Ergebnissen. Die interaktive Lektion unten prüft jede Antwort sofort und zeigt die vollständige Klammerrechnung, sobald ein Vorzeichen danebengeht. Für schwierigere Integranden ist der nächste Schritt die [Substitutionsregel](/blog/u-substitution). ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung einfach erklärt? Er besagt, dass Ableiten und Integrieren sich gegenseitig aufheben. Teil 1: Die Ableitung einer Flächenfunktion (Integralfunktion) ist die ursprüngliche Funktion. Teil 2: Um die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen, nimmst du irgendeine Stammfunktion und subtrahierst ihre Werte an den beiden Grenzen. ### Was ist der Unterschied zwischen Teil 1 und Teil 2 des Hauptsatzes? In Teil 1 geht es um Ableitungen von Integralen: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$. In Teil 2 geht es um das Berechnen von Integralen: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ für jede Stammfunktion $F$. Teil 1 garantiert, dass Stammfunktionen existieren; Teil 2 ist das, womit du rechnest. ### Braucht man beim bestimmten Integral ein +C? Nein. Addierst du $C$ zur Stammfunktion, taucht es sowohl in $F(b) + C$ als auch in $F(a) + C$ auf und hebt sich beim Subtrahieren weg. Jede Stammfunktion liefert dieselbe Antwort, also nimm die mit $C = 0$. ### Wie leitet man ein Integral mit x in der oberen Grenze ab? Setze die obere Grenze in den Integranden ein und multipliziere mit der Ableitung der oberen Grenze. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt = \cos(x^2)\cdot 2x$. Steht die Variable in der unteren Grenze, vertauschst du zuerst die Grenzen, was ein Minuszeichen ergibt. ### Kann ein bestimmtes Integral negativ sein? Ja. Ein bestimmtes Integral addiert Flächen oberhalb der $x$-Achse und subtrahiert Flächen unterhalb. Zum Beispiel ist $\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx = -2$, weil die Sinuskurve dort unterhalb der Achse liegt.