# Konvergenzkriterien für Reihen: Welches Kriterium wann?

> Alle Konvergenzkriterien mit Beispielen: Nullfolgen-, Integral-, Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel- und Leibniz-Kriterium plus Entscheidungstabelle.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/konvergenzkriterien
Aktualisiert: 2026-10-22

## Das Wichtigste

- Probiere immer zuerst das Nullfolgenkriterium: Gehen die Glieder nicht gegen 0, divergiert die Reihe, und du bist fertig.
- Vergleiche mit einer geometrischen Reihe oder einer p-Reihe $\sum \frac{1}{n^p}$ (die genau für $p > 1$ konvergiert), wann immer die Glieder wie eine Potenz von $n$ aussehen.
- Nimm das Quotientenkriterium bei Fakultäten und Exponentialtermen, das Wurzelkriterium bei Gliedern hoch $n$ und das Leibniz-Kriterium bei wechselnden Vorzeichen.
- Liefert das Quotienten- oder Wurzelkriterium den Grenzwert genau 1, sagt es nichts aus. Wechsle dann zu einem anderen Kriterium.

Du starrst auf $\sum \frac{3^n}{n!}$ und weißt, dass es acht verschiedene Konvergenzkriterien gibt, aber welches nimmst du? Die meisten Aufgaben zu Reihen sind nicht schwer, sobald du das richtige Kriterium gewählt hast. Schwer ist die Wahl. Dieser Leitfaden behandelt jedes Standard-**Konvergenzkriterium** mit einem Rechenbeispiel und gibt dir dann eine Entscheidungstabelle, mit der du schnell wählst.

## Was bedeutet es, dass eine Reihe konvergiert?

Eine Reihe $\sum a_n$ **konvergiert**, wenn ihre Partialsummen $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ für $N \to \infty$ gegen eine endliche Zahl gehen. Andernfalls **divergiert** sie.

Meistens kannst du den Wert der Summe nicht exakt berechnen ([geometrische Reihen](/blog/geometric-series) sind die große Ausnahme). Konvergenzkriterien beantworten eine einfachere Frage: Existiert die Summe überhaupt? Jedes Kriterium unten liefert das Urteil **konvergent**, **divergent** oder **keine Aussage**.

## 1. Das Nullfolgenkriterium (Divergenztest)

$$\text{Ist } \lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \text{ (oder existiert der Grenzwert nicht), dann divergiert } \sum a_n \text{.}$$

**Beispiel.** $\sum \frac{n}{2n+1}$. Die Glieder gehen gegen $\frac12$, nicht gegen 0. Unendlich viele Zahlen nahe $\frac12$ zu addieren kann keine endliche Summe ergeben, also divergiert die Reihe.

> **Tipp:** Dieses Kriterium kann **niemals** Konvergenz beweisen. Gilt $a_n \to 0$, sagt es nichts aus, und du musst ein anderes versuchen.

## 2. Geometrische Reihen

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n \text{ konvergiert gegen } \frac{a}{1-r} \text{ für } |r| < 1, \text{ und divergiert für } |r| \ge 1.$$

**Beispiel.** $\sum \frac{5}{4^n}$ hat $r = \frac14$, konvergiert also.

## 3. Das Kriterium für p-Reihen

$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p} \text{ konvergiert für } p > 1 \text{ und divergiert für } p \le 1.$$

**Beispiele.** $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$ konvergiert ($p = 1.5$). $\sum \frac{1}{\sqrt n}$ divergiert ($p = 0.5$). Die **harmonische Reihe** $\sum \frac1n$ ($p = 1$) divergiert, obwohl ihre Glieder gegen 0 schrumpfen.

Die harmonische Reihe divergiert extrem langsam. Ihre Partialsummen wachsen wie $\ln N$: Du brauchst mehr als 12.000 Glieder, nur um 10 zu überschreiten. Der Graph zeigt die Partialsummen eingeklemmt zwischen zwei Logarithmuskurven, die beide gegen unendlich gehen.

```graph
title: 'Die Partialsummen der harmonischen Reihe wachsen wie ln n'
caption: 'Die Partialsummen $H_n = 1 + \frac12 + \cdots + \frac1n$ (Punkte) liegen zwischen $\ln(n+1)$ und $1 + \ln n$. Beide Schranken wachsen unbegrenzt, also divergiert die harmonische Reihe.'
x: [0, 12]
y: [0, 4]
functions:
  - expr: 1 + ln(x)
    label: y = 1 + ln x
    dashed: true
  - expr: ln(x+1)
    label: y = ln(x + 1)
points:
  - [1, 1, '1']
  - [2, 1.5, '1.5']
  - [3, 1.8333]
  - [4, 2.0833]
  - [6, 2.45, '2.45']
  - [10, 2.929, '2.93']
```

## 4. Das Integralkriterium

Ist $f$ für $x \ge N$ **positiv, stetig und monoton fallend** und gilt $a_n = f(n)$, dann gilt

$$\sum_{n=N}^\infty a_n \text{ und } \int_N^\infty f(x)\,dx \text{ konvergieren entweder beide oder divergieren beide.}$$

**Beispiel.** Konvergiert $\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n\ln n}$?

**Schritt 1. Die Voraussetzungen prüfen.** $f(x) = \frac{1}{x\ln x}$ ist für $x \ge 2$ positiv, stetig und monoton fallend.

**Schritt 2. Das [uneigentliche Integral](/blog/improper-integrals) berechnen.** Mit $u = \ln x$, $du = \frac1x\,dx$:

$$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}\Big[\ln(\ln x)\Big]_2^b = \lim_{b\to\infty}\left(\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\right) = \infty$$

**Schritt 3. Folgern.** Das Integral divergiert, also divergiert die Reihe.

Aus dem Integralkriterium stammt auch die Regel für p-Reihen: $\int_1^\infty \frac{dx}{x^p}$ konvergiert genau dann, wenn $p > 1$ ist.

## 5. Das direkte Vergleichskriterium (Majoranten- und Minorantenkriterium)

Angenommen, $0 \le a_n \le b_n$ gilt für alle großen $n$.

- Konvergiert $\sum b_n$, dann konvergiert auch die kleinere Reihe $\sum a_n$ (Majorantenkriterium).
- Divergiert $\sum a_n$, dann divergiert auch die größere Reihe $\sum b_n$ (Minorantenkriterium).

**Beispiel (Konvergenz).** $\sum \frac{1}{n^2 + 5}$. Da $n^2 + 5 > n^2$ ist, gilt $\frac{1}{n^2+5} < \frac{1}{n^2}$. Die p-Reihe $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert, also konvergiert auch diese Reihe.

**Beispiel (Divergenz).** $\sum_{n=3}^\infty \frac{\ln n}{n}$. Für $n \ge 3$ ist $\ln n > 1$, also $\frac{\ln n}{n} > \frac1n$. Die harmonische Reihe divergiert, also divergiert auch diese Reihe.

## 6. Das Grenzwertkriterium (Limesvergleich)

Der direkte Vergleich braucht eine Ungleichung in der richtigen Richtung, was umständlich sein kann. Das Grenzwertkriterium verlangt nur, dass sich die Glieder ähnlich verhalten. Gilt $a_n, b_n > 0$ und

$$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = L \quad \text{mit } 0 < L < \infty,$$

dann konvergieren $\sum a_n$ und $\sum b_n$ entweder beide oder divergieren beide.

**Beispiel.** Konvergiert $\sum \frac{2n+3}{n^3+1}$?

**Schritt 1. $b_n$ aus den dominierenden Termen wählen.** Für große $n$ verhält sich $\frac{2n+3}{n^3+1}$ wie $\frac{2n}{n^3} = \frac{2}{n^2}$. Nimm $b_n = \frac1{n^2}$.

**Schritt 2. Den Grenzwert berechnen.**

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+3)/(n^3+1)}{1/n^2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2n^3 + 3n^2}{n^3 + 1} = 2$$

**Schritt 3. Folgern.** $L = 2$ ist positiv und endlich, und $\sum\frac1{n^2}$ konvergiert, also konvergiert die ursprüngliche Reihe.

## 7. Das Quotientenkriterium

Sei

$$L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|.$$

Für $L < 1$ konvergiert die Reihe (absolut). Für $L > 1$ divergiert sie. Für $L = 1$ ist das Kriterium **nicht aussagekräftig**.

**Beispiel.** Konvergiert $\sum \frac{3^n}{n!}$?

**Schritt 1. Den Quotienten bilden.**

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}$$

**Schritt 2. Den Grenzwert bilden.** $\frac{3}{n+1} \to 0$.

**Schritt 3. Folgern.** $L = 0 < 1$, also konvergiert die Reihe.

Das Quotientenkriterium glänzt bei **Fakultäten** und **Exponentialtermen**, weil sich der Großteil des Ausdrucks wegkürzt. Für p-Reihen und gebrochenrationale Ausdrücke in $n$ ist es nutzlos: Sowohl $\sum\frac1n$ als auch $\sum\frac1{n^2}$ liefern $L = 1$.

## 8. Das Wurzelkriterium

Sei

$$L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.$$

Die Urteile sind dieselben wie beim Quotientenkriterium: $L < 1$ konvergent, $L > 1$ divergent, $L = 1$ keine Aussage.

**Beispiel.** Konvergiert $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$?

$$\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n} = \frac{n}{2n+1} \to \frac12$$

Da $L = \frac12 < 1$ ist, konvergiert die Reihe. Nimm das Wurzelkriterium immer dann, wenn das ganze Glied hoch $n$ genommen wird.

## 9. Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen

Eine alternierende Reihe hat die Form $\sum (-1)^{n+1} b_n$ mit $b_n > 0$. Sie konvergiert, wenn

1. $b_{n+1} \le b_n$ für alle großen $n$ gilt (die Beträge werden schließlich kleiner) und
2. $\lim_{n\to\infty} b_n = 0$ gilt.

**Beispiel.** Die alternierende harmonische Reihe $1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots$ hat $b_n = \frac1n$, das monoton gegen 0 fällt. Also konvergiert sie (tatsächlich gegen $\ln 2$).

**Fehlerschranke.** Bei einer Reihe, die dieses Kriterium erfüllt, ist der Fehler nach $N$ Gliedern höchstens so groß wie das nächste Glied: $|S - S_N| \le b_{N+1}$. Zum Beispiel liegen die ersten 99 Glieder der alternierenden harmonischen Reihe weniger als $\frac{1}{100}$ von $\ln 2$ entfernt.

### Absolute und bedingte Konvergenz

Konvergiert $\sum |a_n|$, dann konvergiert auch $\sum a_n$. Das nennen wir **absolute Konvergenz**. Die alternierende harmonische Reihe konvergiert, aber $\sum \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right| = \sum\frac1n$ divergiert, sie konvergiert also nur **bedingt**. Dagegen konvergiert $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ absolut, weil $\sum\frac{1}{n^2}$ konvergiert.

## Welches Konvergenzkriterium solltest du verwenden?

Geh diese Tabelle von oben durch. Die erste passende Zeile ist meist der schnellste Weg.

| Wenn die Reihe so aussieht ...                              | Probiere dieses Kriterium   | Beispiel                             |
| ----------------------------------------------------------- | --------------------------- | ------------------------------------ |
| Glieder, die offensichtlich nicht gegen 0 gehen             | Nullfolgenkriterium (divergent) | $\sum \frac{n}{2n+1}$            |
| $ar^n$, ein konstanter Quotient                             | Geometrische Reihe          | $\sum \frac{5}{4^n}$                 |
| $\frac{1}{n^p}$                                             | p-Reihe                     | $\sum \frac{1}{n^{3/2}}$             |
| Ein gebrochenrationaler oder Wurzelausdruck in $n$          | Grenzwertkriterium mit $\frac{1}{n^p}$ | $\sum \frac{2n+3}{n^3+1}$ |
| Nahe an einer bekannten Reihe, mit einfacher Ungleichung    | Direkter Vergleich          | $\sum \frac{1}{n^2+5}$               |
| Fakultäten oder $c^n$                                       | Quotientenkriterium         | $\sum \frac{3^n}{n!}$                |
| Das ganze Glied hoch $n$                                    | Wurzelkriterium             | $\sum \left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ |
| Wechselnde Vorzeichen                                       | Leibniz-Kriterium           | $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$          |
| Eine leicht integrierbare Funktion, etwa $\frac{1}{n\ln n}$ | Integralkriterium           | $\sum \frac{1}{n\ln n}$              |

> **Tipp:** Um die passende p-Reihe für einen Vergleich zu finden, behältst du im Zähler und im Nenner nur die höchste Potenz von $n$. $\frac{2n+3}{n^3+1}$ verhält sich wie $\frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$.

## Typische Fehler bei Konvergenzkriterien

1. **Mit dem Nullfolgenkriterium Konvergenz beweisen wollen.** $a_n \to 0$ beweist nichts. Die harmonische Reihe ist das klassische Gegenbeispiel.
2. **$L = 1$ als Urteil behandeln.** Beim Quotienten- und Wurzelkriterium bedeutet $L = 1$, dass du das Kriterium wechseln musst.
3. **In die falsche Richtung vergleichen.** Kleiner als eine divergente Reihe oder größer als eine konvergente zu sein, sagt nichts aus.
4. **Die Voraussetzungen des Integralkriteriums vergessen.** Die Funktion muss positiv und monoton fallend sein (zumindest ab einer Stelle).
5. **Reihe und Folge verwechseln.** "Die Glieder konvergieren gegen 0" und "die Reihe konvergiert" sind verschiedene Aussagen.
6. **Beträge ignorieren.** Quotienten- und Wurzelkriterium verwenden $|a_n|$, und eine alternierende Reihe kann konvergieren, ohne absolut zu konvergieren.

## Die Wahl des richtigen Kriteriums üben

Zu erkennen, welches Kriterium passt, ist eine Fähigkeit der Mustererkennung, und schnell wirst du darin nur durch Wiederholung. Nach ein paar Dutzend Reihen schaust du auf $\frac{3^n}{n!}$ und denkst "Quotientenkriterium", bevor du fertig gelesen hast. Die interaktive Lektion unten mischt Reihen aller Typen und gibt dir sofort Rückmeldung zu deiner Wahl des Kriteriums und zu deiner Schlussfolgerung.

## Häufig gestellte Fragen

### Woran erkenne ich, welches Konvergenzkriterium ich verwenden soll?

Schau dir die Form der Glieder an. Fakultäten oder $c^n$ sprechen für das Quotientenkriterium, eine $n$-te Potenz für das Wurzelkriterium, eine gebrochenrationale Funktion in $n$ für das Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe und wechselnde Vorzeichen für das Leibniz-Kriterium. Prüfe immer zuerst, ob die Glieder gegen 0 gehen.

### Wenn die Glieder einer Reihe gegen 0 gehen, konvergiert die Reihe dann?

Nicht unbedingt. Die harmonische Reihe $\sum \frac1n$ hat Glieder, die gegen 0 gehen, und divergiert trotzdem. Dass die Glieder gegen 0 gehen, ist für Konvergenz notwendig, reicht allein aber nicht aus, daher kann das Nullfolgenkriterium immer nur Divergenz beweisen.

### Was ist der Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz?

Eine Reihe konvergiert absolut, wenn $\sum |a_n|$ konvergiert. Sie konvergiert bedingt, wenn $\sum a_n$ konvergiert, $\sum |a_n|$ aber divergiert. Zum Beispiel konvergiert $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ bedingt, während $\sum \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ absolut konvergiert.

### Was passiert, wenn das Quotientenkriterium 1 ergibt?

Dann ist das Kriterium nicht aussagekräftig. Sowohl $\sum \frac1n$ (divergent) als auch $\sum \frac1{n^2}$ (konvergent) liefern den Quotientengrenzwert 1, dieser Wert kann sie also nicht unterscheiden. Versuche stattdessen ein Vergleichskriterium, das Integralkriterium oder die Regel für p-Reihen.

### Was ist das Kriterium für p-Reihen?

Eine p-Reihe hat die Form $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^p}$. Sie konvergiert für $p > 1$ und divergiert für $p \le 1$. Sie ist die häufigste Vergleichsreihe für Vergleichskriterien.