# Lagrange-Multiplikatoren: Methode, Idee und Rechenbeispiele > Die Lagrange-Multiplikatorenmethode für Extremwerte unter Nebenbedingungen: warum die Gradienten parallel sind und wie du das Gleichungssystem löst. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/lagrange-multiplikatoren Aktualisiert: 2026-09-18 ## Das Wichtigste - Um $f(x, y)$ unter der Nebenbedingung $g(x, y) = c$ zu optimieren, löst du $\nabla f = \lambda \nabla g$ zusammen mit $g(x, y) = c$. - In einem Extremum unter Nebenbedingung berührt die Niveaulinie von $f$ die Kurve der Nebenbedingung gerade, deshalb sind ihre Gradienten parallel. - Werte $f$ an jeder gefundenen Lösung aus. Der größte Wert ist das Maximum und der kleinste das Minimum, sofern die Nebenbedingungskurve geschlossen und beschränkt ist. - Der Multiplikator $\lambda$ misst, wie schnell sich der optimale Wert ändert, wenn sich die Konstante $c$ der Nebenbedingung ändert. Die meisten echten Optimierungsaufgaben haben einen Haken. Maximiere die Fläche, aber der Zaun hat eine feste Länge. Minimiere die Kosten, aber du musst eine feste Menge produzieren. Wenn die Variablen durch eine Nebenbedingung verbunden sind, reicht es nicht mehr, die partiellen Ableitungen null zu setzen. Lagrange-Multiplikatoren liefern dir ein übersichtliches Gleichungssystem, das die Lösung trotzdem findet. Dieser Artikel erklärt die Methode, die Geometrie dahinter und drei vollständig durchgerechnete Beispiele, eines davon mit drei Variablen. ## Was ist die Methode der Lagrange-Multiplikatoren? Angenommen, du suchst das Maximum oder Minimum von $f(x, y)$, aber nur über den Punkten, die eine Nebenbedingung $g(x, y) = c$ erfüllen. Die **Methode der Lagrange-Multiplikatoren** besagt: In jedem solchen Extrempunkt (mit $\nabla g \ne \mathbf{0}$) gibt es eine Zahl $\lambda$ mit $$\nabla f(x, y) = \lambda\, \nabla g(x, y), \qquad g(x, y) = c$$ Komponentenweise ausgeschrieben sind das drei Gleichungen für die drei Unbekannten $x$, $y$ und $\lambda$: $$f_x = \lambda g_x, \qquad f_y = \lambda g_y, \qquad g(x, y) = c$$ Der griechische Buchstabe $\lambda$ (Lambda) ist der **Lagrange-Multiplikator**. Bei drei Variablen kommt $f_z = \lambda g_z$ hinzu, und die Nebenbedingung lautet $g(x, y, z) = c$. ## Warum es funktioniert: Die Gradienten sind parallel Stell dir die Nebenbedingung $g(x, y) = c$ als Weg auf einer Landkarte vor und die Niveaulinien von $f$ als Höhenlinien. Geh den Weg entlang und beobachte den Wert von $f$. - Wo der Weg eine Höhenlinie **schneidet**, kannst du weitergehen und eine höhere Höhenlinie erreichen. Das ist kein Maximum. - Am höchsten Punkt des Weges **berührt** der Weg eine Höhenlinie, ohne sie zu schneiden. Die beiden Kurven berühren sich tangential. Zwei sich berührende Kurven haben im Berührpunkt dieselbe Tangente. Da ein [Gradient](/blog/gradient-and-directional-derivatives) senkrecht auf seiner eigenen Niveaulinie steht, stehen $\nabla f$ und $\nabla g$ beide senkrecht auf dieser gemeinsamen Tangente. Sie zeigen also entlang derselben Geraden, das heißt, der eine ist ein Vielfaches des anderen: $\nabla f = \lambda \nabla g$. ## Lagrange-Multiplikatoren Schritt für Schritt anwenden 1. **Bestimme** die zu optimierende Funktion $f$ und schreibe die Nebenbedingung als $g = c$. 2. **Berechne** $\nabla f$ und $\nabla g$. 3. **Stelle** das System $\nabla f = \lambda \nabla g$, $g = c$ **auf**. 4. **Löse** es. Ein zuverlässiger Trick: Löse jede Gradientengleichung nach $\lambda$ auf und setze die Ergebnisse gleich, oder teile eine Gleichung durch eine andere, um $\lambda$ zu eliminieren. Achte auf Fälle, in denen eine Variable $0$ ist. 5. **Werte** $f$ an jeder Lösung **aus**. Der größte Wert ist das Maximum und der kleinste das Minimum. > **Tipp:** Schritt 5 ist nicht optional. Die Gleichungen liefern Kandidaten, und erst der Vergleich der $f$-Werte sagt dir, welcher welcher ist. ## Rechenbeispiel 1: Eine Gerade trifft einen Kreis Bestimme Maximum und Minimum von $f(x, y) = x + y$ auf dem Kreis $x^2 + y^2 = 2$. **Schritt 1. Gradienten.** $\nabla f = \langle 1, 1 \rangle$ und mit $g = x^2 + y^2$ gilt $\nabla g = \langle 2x, 2y \rangle$. **Schritt 2. Das System.** $$1 = 2\lambda x, \qquad 1 = 2\lambda y, \qquad x^2 + y^2 = 2$$ **Schritt 3. $\lambda$ eliminieren.** Weder $\lambda$ noch $x$ noch $y$ kann $0$ sein (sonst wäre $1 = 0$). Löse nach $\lambda$ auf: $\lambda = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2y}$, also $x = y$. **Schritt 4. Die Nebenbedingung nutzen.** $x^2 + x^2 = 2$ ergibt $x = \pm 1$. Die Kandidaten sind $(1, 1)$ und $(-1, -1)$. **Schritt 5. Auswerten.** $f(1, 1) = 2$ und $f(-1, -1) = -2$. Das Maximum ist $2$ bei $(1, 1)$ und das Minimum ist $-2$ bei $(-1, -1)$. Im Graphen berühren die Niveaulinien $x + y = 2$ und $x + y = -2$ den Kreis gerade, während jede Gerade dazwischen, etwa $x + y = 0$, ihn glatt durchschneidet. ```graph title: 'Der Kreis x² + y² = 2 mit den Niveaulinien x + y = 2 und x + y = −2, die ihn bei (1, 1) und (−1, −1) berühren' caption: 'Die Niveaulinien von $f = x + y$ sind Geraden. Die höchste, die den Kreis noch berührt, ist $x + y = 2$ bei $(1, 1)$, die tiefste ist $x + y = -2$ bei $(-1, -1)$.' x: [-3.5, 3.5] y: [-2.1, 2.1] functions: - expr: sqrt(2 - x^2) label: Nebenbedingung x² + y² = 2 - expr: -sqrt(2 - x^2) color: '#5b4fe0' - expr: 2 - x label: x + y = 2 (Maximum) dashed: true - expr: -2 - x label: x + y = −2 (Minimum) dashed: true points: - [1, 1, '(1, 1)'] - [-1, -1, '(−1, −1)'] ``` ## Rechenbeispiel 2: Ein Produkt auf einer Ellipse Bestimme Maximum und Minimum von $f(x, y) = xy$ auf der Ellipse $x^2 + 4y^2 = 8$. **Schritt 1. Gradienten.** $\nabla f = \langle y, x \rangle$ und $\nabla g = \langle 2x, 8y \rangle$. **Schritt 2. Das System.** $$y = 2\lambda x, \qquad x = 8\lambda y, \qquad x^2 + 4y^2 = 8$$ **Schritt 3. Einsetzen.** Setze die zweite Gleichung in die erste ein: $y = 2\lambda(8\lambda y) = 16\lambda^2 y$, also $y(1 - 16\lambda^2) = 0$. - **Fall $y = 0$.** Dann ist $x = 8\lambda \cdot 0 = 0$, aber $(0, 0)$ liegt nicht auf der Ellipse. Keine Lösung. - **Fall $\lambda^2 = \frac{1}{16}$.** Dann ist $\lambda = \pm\frac{1}{4}$ und $y = 2\lambda x = \pm\frac{x}{2}$. **Schritt 4. Die Nebenbedingung nutzen.** Mit $y = \pm\frac{x}{2}$ ist $4y^2 = x^2$, also $x^2 + x^2 = 8$ und $x = \pm 2$. Das ergibt vier Kandidaten: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(2, -1)$ und $(-2, 1)$. **Schritt 5. Auswerten.** | Punkt | $f = xy$ | | --- | --- | | $(2, 1)$ | $2$ | | $(-2, -1)$ | $2$ | | $(2, -1)$ | $-2$ | | $(-2, 1)$ | $-2$ | Das Maximum ist $2$, angenommen bei $(2, 1)$ und $(-2, -1)$. Das Minimum ist $-2$, angenommen bei $(2, -1)$ und $(-2, 1)$. Da die Ellipse geschlossen und beschränkt ist, existieren beide garantiert. Die Niveaulinien von $xy$ sind Hyperbeln. Die Hyperbel $xy = 2$ berührt die Ellipse in den beiden Maximumstellen, genau wie es die Bedingung paralleler Gradienten vorhersagt. ```graph title: 'Die Ellipse x² + 4y² = 8 mit der Hyperbel xy = 2, die sie bei (2, 1) und (−2, −1) berührt' caption: 'Die Niveaulinie $xy = 2$ berührt die Ellipse in den beiden Maximumstellen. Bei $(2, 1)$ haben beide Kurven die Steigung $-\frac{1}{2}$, also sind ihre Gradienten parallel.' x: [-5, 5] y: [-3, 3] functions: - expr: sqrt(8 - x^2)/2 label: Nebenbedingung x² + 4y² = 8 - expr: -sqrt(8 - x^2)/2 color: '#5b4fe0' - expr: 2/sqrt(x)^2 label: Niveaulinie xy = 2 dashed: true - expr: -2/sqrt(-x)^2 color: '#16a34a' dashed: true points: - [2, 1, '(2, 1)'] - [-2, -1, '(−2, −1)'] ``` ## Rechenbeispiel 3: Der nächste Punkt auf einer Ebene Bestimme den Punkt auf der Ebene $x + 2y + 2z = 9$, der dem Ursprung am nächsten liegt. **Schritt 1. $f$ wählen.** Der Abstand ist $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$. Die Wurzel zu minimieren ist dasselbe, wie ihren Radikanden zu minimieren, also nimm $f = x^2 + y^2 + z^2$. Die Nebenbedingung ist $g = x + 2y + 2z = 9$. **Schritt 2. Gradienten.** $\nabla f = \langle 2x, 2y, 2z \rangle$ und $\nabla g = \langle 1, 2, 2 \rangle$. **Schritt 3. Das System.** $$2x = \lambda, \qquad 2y = 2\lambda, \qquad 2z = 2\lambda, \qquad x + 2y + 2z = 9$$ **Schritt 4. Alles durch $\lambda$ ausdrücken.** $x = \frac{\lambda}{2}$, $y = \lambda$, $z = \lambda$. **Schritt 5. Die Nebenbedingung nutzen.** $$\frac{\lambda}{2} + 2\lambda + 2\lambda = \frac{9\lambda}{2} = 9 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = 2$$ Der Punkt ist also $(1, 2, 2)$, und $f = 1 + 4 + 4 = 9$, was einen Abstand von $\sqrt{9} = 3$ ergibt. **Schritt 6. Minimum oder Maximum?** Es gibt nur einen Kandidaten, und eine Ebene hat Punkte, die beliebig weit vom Ursprung entfernt sind, also gibt es kein Maximum. Der einzige Kandidat muss das Minimum sein. Zur Kontrolle liefert die Abstandsformel Punkt-Ebene $\frac{|9|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = 3$. ## Was bedeutet Lambda? Der Multiplikator ist nicht nur eine Hilfsvariable. **$\lambda$ ist die Rate, mit der sich der optimale Wert ändert, wenn sich die Konstante $c$ der Nebenbedingung ändert.** Prüfe das an Beispiel 1 mit einem allgemeinen Kreis $x^2 + y^2 = c$. Dieselben Schritte liefern ein Maximum bei $x = y = \sqrt{c/2}$ mit dem Wert $f^* = 2\sqrt{c/2} = \sqrt{2c}$. Dann gilt $$\frac{df^*}{dc} = \frac{1}{\sqrt{2c}} = \frac{1}{2} \text{ bei } c = 2$$ Und bei $(1, 1)$ lieferte die Gleichung $1 = 2\lambda x$ genau $\lambda = \frac{1}{2}$. Die Werte stimmen überein. In der Wirtschaftswissenschaft ist das der **Schattenpreis**: wie viel zusätzlichen Gewinn eine weitere Einheit einer knappen Ressource wert ist. ## Typische Fehler bei Lagrange-Multiplikatoren 1. **Durch eine Variable teilen, die null sein könnte.** Würdest du in Beispiel 2 die Gleichung $y = 16\lambda^2 y$ durch $y$ teilen, ginge der Fall $y = 0$ verloren. Klammere stattdessen aus und behandle jeden Fall einzeln. 2. **Die Nebenbedingung vergessen.** $\nabla f = \lambda\nabla g$ allein hat zu viele Lösungen. Du brauchst $g = c$, um sie festzulegen. 3. **Aufhören, bevor $f$ ausgewertet ist.** Das System liefert Kandidaten, keine Antworten. 4. **Vorzeichenfälle übersehen.** Wurzeln ergeben $\pm$. Beispiel 2 hat vier Kandidaten, nicht einen. 5. **Ein Maximum behaupten, das es nicht gibt.** Auf einer unbeschränkten Nebenbedingung wie einer Geraden oder Ebene existiert eines der Extrema eventuell nicht. Begründe, welches du gefunden hast. 6. **Den Abstand mit Wurzel optimieren.** Das geht, aber die Rechnung ist mit dem Abstandsquadrat viel übersichtlicher. ## Kurzübersicht: Lagrange-Multiplikatoren | Punkt | Zwei Variablen | Drei Variablen | | --- | --- | --- | | Ziel | $f(x, y)$ unter $g(x, y) = c$ optimieren | $f(x, y, z)$ unter $g(x, y, z) = c$ optimieren | | Gleichungen | $f_x = \lambda g_x$, $f_y = \lambda g_y$, $g = c$ | zusätzlich $f_z = \lambda g_z$ | | Unbekannte | $x, y, \lambda$ | $x, y, z, \lambda$ | | Geometrie | Niveaulinie von $f$ berührt die Nebenbedingung | Niveaufläche von $f$ berührt die Nebenbedingung | | Maximum oder Minimum entscheiden | $f$ an jedem Kandidaten vergleichen | $f$ an jedem Kandidaten vergleichen | ## Übe die Algebra, beherrsche die Methode Die eigentliche Differentialrechnung in einer Lagrange-Aufgabe passt in eine Zeile. Die echte Arbeit besteht darin, das System zu lösen, ohne einen Fall zu verlieren, und das wird erst mit Übung zuverlässig. Die interaktive Lektion unten gibt dir Aufgaben mit Nebenbedingungen zum schrittweisen Lösen, prüft dein System und jeden Kandidaten sofort und zeigt dir jeden Fall, den du übersehen hast. ## Häufig gestellte Fragen ### Wofür braucht man Lagrange-Multiplikatoren? Mit ihnen findest du Maximum und Minimum einer Funktion, wenn die Variablen eine Nebenbedingung erfüllen müssen, etwa maximale Fläche bei festem Umfang oder minimale Kosten bei fester Produktionsmenge. Statt die Nebenbedingung nach einer Variablen aufzulösen und einzusetzen, löst du das System $\nabla f = \lambda \nabla g$, $g = c$. ### Warum sind die Gradienten im Optimum parallel? In einem Maximum oder Minimum unter Nebenbedingung berührt die Niveaulinie von $f$ die Nebenbedingungskurve, ohne sie zu schneiden. Zwei Kurven, die sich berühren, haben eine gemeinsame Tangente, und der Gradient jeder Funktion steht senkrecht auf ihrer eigenen Niveaulinie. Also zeigen beide Gradienten entlang derselben Geraden. ### Was bedeutet Lambda bei Lagrange-Multiplikatoren? Die Zahl $\lambda$ ist die Änderungsrate des optimalen Werts von $f$ bezüglich der Konstanten $c$ der Nebenbedingung. Ist $\lambda = 2$, dann steigt der beste Wert von $f$ um ungefähr $0.2$, wenn du die Nebenbedingung von $c$ auf $c + 0.1$ lockerst. In der Wirtschaftswissenschaft heißt diese Größe Schattenpreis. ### Woran erkenne ich, ob ein Punkt ein Maximum oder ein Minimum ist? Setze jeden Kandidaten in $f$ ein und vergleiche. Ist die Nebenbedingung eine geschlossene, beschränkte Kurve oder Fläche (etwa ein Kreis oder eine Ellipse), garantiert der Satz vom Maximum und Minimum, dass beide existieren. Dann ist der größte Wert das Maximum und der kleinste das Minimum. ### Kann Lambda null sein? Ja. Eine Lösung mit $\lambda = 0$ bedeutet $\nabla f = \mathbf{0}$, der Punkt ist also auch ohne Nebenbedingung ein kritischer Punkt von $f$. Du nimmst ihn trotzdem als Kandidaten auf und wertest $f$ dort aus.