# Lineare Approximation: Schätzen mit der Tangente und Differentiale > Lineare Approximation Schritt für Schritt: die Tangentengleichung, Wurzeln wie sqrt(4.1) schätzen, Differentiale, Fehler sowie Über- und Unterschätzung. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/lineare-approximation Aktualisiert: 2026-10-10 ## Das Wichtigste - Die Linearisierung von $f$ an der Stelle $a$ ist die Tangente $L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$, und sie schätzt $f(x)$ gut, wenn $x$ nahe bei $a$ liegt. - Wähle $a$ so, dass sich $f(a)$ und $f'(a)$ leicht exakt berechnen lassen, bei einer Wurzel etwa eine Quadratzahl. - Differentiale sagen dasselbe in anderer Schreibweise: $dy = f'(x)\,dx$ schätzt die Änderung $\Delta y$. - Ist $f$ rechtsgekrümmt, liegt die Tangente über der Kurve und überschätzt. Ist die Funktion linksgekrümmt, unterschätzt sie. Du brauchst $\sqrt{4.1}$, $\sin(0.1)$ oder den Volumenfehler einer gemessenen Kugel und hast keinen Taschenrechner (oder er ist in der Klausur nicht erlaubt). Die **lineare Approximation** macht daraus eine Zeile Rechnung, indem sie die Tangente an die Stelle der Kurve setzt. Auf derselben Idee beruhen auch Fehlerabschätzungen in Physik und Technik. ## Was ist lineare Approximation? Zoomst du weit genug in eine glatte Kurve hinein, sieht sie aus wie eine Gerade. Diese Gerade ist die Tangente. **Lineare Approximation** bedeutet, mit der Tangente an einer Stelle $a$ die Funktionswerte an benachbarten Stellen zu schätzen. Die Tangente bei $x = a$ heißt **Linearisierung** von $f$ an der Stelle $a$: $$L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)$$ und für $x$ nahe bei $a$ gilt $$f(x) \approx L(x)$$ Lies die Formel so: Starte bei der bekannten Höhe $f(a)$ und bewege dich dann entlang der Tangente mit der Steigung $f'(a)$ um die horizontale Strecke $x - a$. ```graph title: 'Graph von y = √x mit seiner Tangente bei x = 4, mit der man √4,1 schätzt' caption: 'In der Nähe von $x = 4$ ist die Tangente $L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)$ kaum von $\sqrt{x}$ zu unterscheiden, deshalb ist $L(4.1)$ ein hervorragender Schätzwert für $\sqrt{4.1}$.' x: [-0.5, 9] y: [-0.5, 3.5] functions: - expr: sqrt(x) label: y = √x - expr: 2 + (x - 4)/4 label: Tangente bei x = 4 dashed: true points: - [4, 2, '(4, 2)'] ``` Beachte, dass die Tangente auf beiden Seiten etwas über der Kurve liegt. Dieses Detail verrät dir, ob dein Schätzwert zu groß oder zu klein ist. Darauf kommen wir unten zurück. ## Warum die Tangente eine gute Schätzung liefert Die Ableitung ist als Grenzwert von Differenzenquotienten definiert: $$f'(a) = \lim_{x \to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$ Wenn $x$ nahe bei $a$ liegt, ist der Quotient $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ also nahe bei $f'(a)$. Multiplizierst du beide Seiten mit $(x - a)$ und addierst $f(a)$, erhältst du genau $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$. Lineare Approximation ist einfach die Definition der Ableitung, rückwärts gelesen. Diese Eigenschaft glatter Funktionen, aus der Nähe gerade auszusehen, heißt **lokale Linearität**. Sie erklärt auch, warum die Schätzung schlechter wird, je weiter du dich von $a$ entfernst: Der Differenzenquotient weicht immer mehr von $f'(a)$ ab, und die Kurve biegt sich von der Geraden weg. ## Lineare Approximation in 4 Schritten 1. **Wähle $f$.** Überlege, aus welcher Funktion die Zahl stammt, zum Beispiel $f(x) = \sqrt{x}$ für $\sqrt{4.1}$. 2. **Wähle ein nahes $a$**, an dem sich $f(a)$ leicht exakt berechnen lässt. Bei Wurzeln nimm eine Quadratzahl, bei trigonometrischen Funktionen einen Winkel wie $0$ oder $\frac{\pi}{6}$. 3. **Berechne $f(a)$ und $f'(a)$** und schreibe $L(x)$ auf. 4. **Setze** den gewünschten Wert **ein**. Die ganze Kunst steckt in Schritt 2. Eine gute Wahl von $a$ macht die Rechnung trivial und hält den Fehler klein. ## Rechenbeispiel 1: die Wurzel aus 4,1 schätzen **Schritt 1.** Sei $f(x) = \sqrt{x}$. Dann ist $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. **Schritt 2.** Die nächste Quadratzahl zu $4.1$ ist $4$, also $a = 4$. **Schritt 3.** $f(4) = 2$ und $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. Also $$L(x) = 2 + \tfrac{1}{4}(x - 4)$$ **Schritt 4.** Setze $x = 4.1$ ein: $$\sqrt{4.1} \approx L(4.1) = 2 + \tfrac{1}{4}(0.1) = 2.025$$ Der wahre Wert ist $\sqrt{4.1} = 2.024846\ldots$, die Schätzung weicht also um etwa $0.00015$ ab. Nicht schlecht für Kopfrechnen. ## Rechenbeispiel 2: die Kubikwurzel aus 27,3 schätzen **Schritt 1.** Sei $f(x) = x^{1/3}$, also $f'(x) = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. **Schritt 2.** $27$ ist eine Kubikzahl nahe $27.3$, also $a = 27$. **Schritt 3.** $f(27) = 3$. Für die Steigung gilt $27^{2/3} = 9$, also $f'(27) = \frac{1}{3 \cdot 9} = \frac{1}{27}$. Die Linearisierung ist $$L(x) = 3 + \tfrac{1}{27}(x - 27)$$ **Schritt 4.** $$\sqrt[3]{27.3} \approx 3 + \frac{0.3}{27} = 3 + \frac{1}{90} \approx 3.01111$$ Der wahre Wert ist etwa $3.01109$. Die Schätzung stimmt auf vier Nachkommastellen. ## Rechenbeispiel 3: sin(0,1) und e^0,1 schätzen Für $f(x) = \sin x$ bei $a = 0$ gilt $f(0) = 0$ und $f'(0) = \cos 0 = 1$, also $L(x) = x$. Daher ist $$\sin(0.1) \approx 0.1$$ Der wahre Wert ist $0.09983\ldots$ Das ist die berühmte **Kleinwinkelnäherung** $\sin x \approx x$ (mit $x$ im Bogenmaß), die in der Physik überall verwendet wird, zum Beispiel beim schwingenden Pendel. Für $f(x) = e^x$ bei $a = 0$ gilt $f(0) = 1$ und $f'(0) = 1$, also $L(x) = 1 + x$ und $$e^{0.1} \approx 1.1$$ verglichen mit dem wahren Wert $1.10517\ldots$ ## Über- oder Unterschätzung? Nutze die Krümmung Die zweite Ableitung verrät dir, auf welcher Seite der Kurve die Tangente liegt: - Ist $f''(a) < 0$ (rechtsgekrümmt), biegt sich die Kurve **unter** die Tangente, $L(x)$ ist also eine **Überschätzung**. - Ist $f''(a) > 0$ (linksgekrümmt), biegt sich die Kurve **über** die Tangente, $L(x)$ ist also eine **Unterschätzung**. Prüfe Beispiel 1: $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ ist bei $x = 4$ negativ. Also sollte $2.025$ zu groß sein, und das stimmt ($2.025 > 2.02485$). Bei $e^x$ ist die zweite Ableitung $e^x > 0$, also ist $1.1$ zu klein, passend zu $1.1 < 1.10517$. > **Tipp:** Klausuraufgaben fragen gern: "Überschätzt oder unterschätzt dein Wert, und warum?" Die Antwort hängt immer vom Vorzeichen von $f''$ in der Nähe von $a$ ab. ## Differentiale: dieselbe Idee in anderer Schreibweise Schreibe $dx$ für eine kleine Änderung von $x$. Das **Differential** $dy$ ist die Höhenänderung entlang der Tangente: $$dy = f'(x)\,dx$$ Die tatsächliche Änderung der Funktion ist $\Delta y = f(x + dx) - f(x)$. Die lineare Approximation besagt, dass für kleine $dx$ $$\Delta y \approx dy$$ gilt. Das ist genau die umgestellte Linearisierung: $f(a + dx) \approx f(a) + f'(a)\,dx$. Differentiale sind am nützlichsten, wenn nach einer **Änderung** oder einem **Fehler** gefragt ist statt nach einem Wert. ## Rechenbeispiel 4: Fehler im Volumen einer Kugel Der Radius einer Kugel wird mit $10$ cm gemessen, mit einem möglichen Fehler von $\pm 0.1$ cm. Schätze den maximalen Fehler des berechneten Volumens. **Schritt 1. Formel aufschreiben.** $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. **Schritt 2. Differential bilden.** $dV = 4\pi r^2\,dr$. **Schritt 3. Einsetzen** von $r = 10$ und $dr = 0.1$: $$dV = 4\pi (10)^2 (0.1) = 40\pi \approx 125.7 \text{ cm}^3$$ **Schritt 4. Relativer Fehler.** Das Volumen ist $V = \frac{4}{3}\pi(1000) \approx 4188.8$ cm³, also $$\frac{dV}{V} = \frac{4\pi r^2\,dr}{\frac{4}{3}\pi r^3} = 3\,\frac{dr}{r} = 3(0.01) = 0.03$$ Aus $1\%$ Fehler im Radius werden etwa $3\%$ Fehler im Volumen. Der Faktor 3 kommt vom Exponenten in $r^3$, ein Muster, das du dir merken solltest. ## Rechenbeispiel 5: dy mit der tatsächlichen Änderung vergleichen Ein Quadrat hat die Seitenlänge $s = 5$ cm. Schätze mit Differentialen, wie stark seine Fläche wächst, wenn die Seite auf $5.02$ cm zunimmt, und vergleiche mit der exakten Änderung. **Schritt 1.** $A = s^2$, also $dA = 2s\,ds$. **Schritt 2.** Mit $s = 5$ und $ds = 0.02$: $dA = 2(5)(0.02) = 0.2$ cm². **Schritt 3. Exakte Änderung.** $\Delta A = (5.02)^2 - 5^2 = 25.2004 - 25 = 0.2004$ cm². Das Differential übersieht nur das winzige Eckquadrat $(ds)^2 = 0.0004$. Stell dir vor, wie das Quadrat wächst: Zwei dünne Streifen mit der Fläche $s\,ds$ bilden zusammen $dA$, und das kleine Eckstück ist genau das, was die lineare Schätzung ignoriert. Dieser Rest hat immer ungefähr die Größe $(ds)^2$, deshalb ist die Näherung für kleine Änderungen so gut. ## Kurzübersicht: gängige lineare Näherungen in der Nähe von 0 Sie alle stammen aus $L(x) = f(0) + f'(0)x$ und funktionieren am besten für kleine $x$: | Funktion | Lineare Näherung bei $x = 0$ | | --- | --- | | $\sin x$ | $x$ | | $\tan x$ | $x$ | | $\cos x$ | $1$ | | $e^x$ | $1 + x$ | | $\ln(1 + x)$ | $x$ | | $(1 + x)^k$ | $1 + kx$ | | $\sqrt{1+x}$ | $1 + \frac{x}{2}$ | Die letzten beiden sind dieselbe Regel. Zum Beispiel ist $(1.02)^{10} \approx 1 + 10(0.02) = 1.2$, nahe am wahren Wert $1.219$. ## Typische Fehler bei der linearen Approximation 1. **$a$ schlecht wählen.** $a = 0$ für $\sqrt{4.1}$ scheitert, denn $\sqrt{x}$ ist bei $0$ nicht einmal differenzierbar. Wähle immer eine nahe Stelle, an der die Werte exakt sind. 2. **$x$ in die Steigung einsetzen.** Die Steigung ist die Zahl $f'(a)$, nicht die Funktion $f'(x)$. In Beispiel 1 ist die Steigung $\frac{1}{4}$, Punkt. 3. **Das $(x - a)$ vergessen.** $L(4.1) = 2 + \frac{1}{4}(4.1)$ ergibt Unsinn. Du multiplizierst die Steigung mit dem Abstand von $a$, also mit $0.1$. 4. **Bei trigonometrischen Funktionen mit Grad rechnen.** $\sin x \approx x$ gilt nur im Bogenmaß. $\sin(5^\circ)$ ist etwa $0.087$, nicht $5$. 5. **Ihr weit weg von $a$ vertrauen.** Die Tangente entfernt sich von der Kurve, je weiter du dich von $a$ entfernst. $\sqrt{9} \approx L(9) = 3.25$ ist deutlich falsch. ## Warum lineare Approximation wichtig ist Lineare Approximation ist mehr als ein Trick für Wurzeln. Sie ist der Grund, warum Taschenrechner, physikalische Formeln und numerische Verfahren funktionieren: Das Newton-Verfahren löst Gleichungen, indem es immer wieder Tangenten verwendet, und Taylorpolynome (siehe [Taylorreihen](/blog/taylor-series)) erweitern die Idee von Geraden auf Parabeln und darüber hinaus. Sie hängt außerdem mit dem [Mittelwertsatz](/blog/mean-value-theorem) zusammen, der garantiert, dass irgendeine Tangente genau die mittlere Steigung hat. ## Übe das Schätzen mit Tangenten Die Schritte sind immer gleich: $f$ wählen, ein angenehmes $a$ wählen, $f(a)$ und $f'(a)$ bestimmen und einsetzen. Ein Dutzend Übungsaufgaben reicht meist, bis es automatisch geht. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jeder Schätzung sofort Rückmeldung und zeigt dir genau, wo eine Steigung oder ein Abstand schiefgelaufen ist. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist lineare Approximation in der Analysis? Bei der linearen Approximation ersetzt man eine Kurve in der Nähe eines Punktes durch ihre Tangente. Weil eine glatte Kurve beim Hineinzoomen fast gerade aussieht, liegt der Tangentenwert $L(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ für $x$ nahe $a$ sehr dicht an $f(x)$. ### Wie schätzt man die Wurzel aus 4,1 mit Analysis? Nimm $f(x) = \sqrt{x}$ an der Stelle $a = 4$, wo $f(4) = 2$ und $f'(4) = \frac{1}{4}$ gilt. Die Linearisierung liefert $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{1}{4}(0.1) = 2.025$, sehr nahe am wahren Wert $2.02485\ldots$ ### Ist lineare Approximation dasselbe wie Linearisierung? Ja. Die Linearisierung ist die Funktion $L(x)$, also die Tangente selbst. Lineare Approximation bezeichnet das Verwenden von $L(x)$ als Schätzwert für $f(x)$. Manche Bücher sprechen auch von Tangentennäherung. ### Woran erkenne ich, ob eine lineare Approximation über- oder unterschätzt? Prüfe die Krümmung mit der zweiten Ableitung. Ist $f''(a) < 0$, krümmt sich die Kurve unter ihre Tangente, der Schätzwert ist also zu groß. Ist $f''(a) > 0$, krümmt sich die Kurve über die Tangente, der Schätzwert ist also zu klein. ### Was ist der Unterschied zwischen dy und Delta y? Die Größe $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ ist die tatsächliche Änderung der Funktion. Das Differential $dy = f'(x)\,dx$ ist die Änderung entlang der Tangente. Für kleine $dx$ sind beide fast gleich, deshalb verwendet man $dy$, um $\Delta y$ zu schätzen.