# Partielle Ableitungen: Schreibweise, Bedeutung und Rechenbeispiele > So berechnest du partielle Ableitungen, was sie als Steigungen von Schnittkurven bedeuten, wie du zweite Ableitungen bildest und was der Satz von Schwarz sagt. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/partielle-ableitungen Aktualisiert: 2026-09-02 ## Das Wichtigste - Um $\frac{\partial f}{\partial x}$ zu bestimmen, behandelst du jede andere Variable als Konstante und leitest mit den üblichen Regeln nach $x$ ab. - Geometrisch ist $f_x(a, b)$ die Steigung der Kurve, die entsteht, wenn du die Fläche $z = f(x, y)$ mit der Ebene $y = b$ schneidest. - Es gibt vier zweite partielle Ableitungen von $f(x, y)$: $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$ und $f_{yx}$. - Satz von Schwarz: Sind die gemischten Ableitungen stetig, dann gilt $f_{xy} = f_{yx}$. Das ist eine hervorragende Kontrolle deiner Rechnung. Eine Funktion wie $f(x, y) = x^2 y + y^3$ hängt von zwei Eingaben gleichzeitig ab, "die Ableitung" ist also keine einzelne Zahl mehr. Veränderst du $x$ ein wenig, ändert sich der Funktionswert auf eine Weise. Veränderst du $y$, ändert er sich auf eine andere. Partielle Ableitungen messen jede dieser Raten einzeln, und die gute Nachricht: Du kennst schon jede Regel, die du dafür brauchst. Dieser Artikel erklärt, was partielle Ableitungen bedeuten, wie man sie schreibt, wie man sie berechnet (auch mit der Kettenregel), wie man sie als Steigungen auf einer Fläche liest und was es mit zweiten Ableitungen und dem Satz von Schwarz auf sich hat. ## Was ist eine partielle Ableitung? Die **partielle Ableitung von $f$ nach $x$** ist die Änderungsrate von $f$, wenn sich $x$ ändert und jede andere Variable konstant bleibt. Für eine Funktion zweier Variablen ist sie wie eine gewöhnliche Ableitung über einen Grenzwert definiert: $$f_x(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h, y) - f(x, y)}{h}$$ $$f_y(x, y) = \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y + h) - f(x, y)}{h}$$ In jedem Grenzwert bewegt sich nur eine Variable. Das ist die ganze Idee: die anderen einfrieren und ganz normal ableiten. ## Schreibweisen für partielle Ableitungen Für dasselbe gibt es mehrere gleichwertige Schreibweisen: | Bedeutung | Index | Leibniz | Operator | | --- | --- | --- | --- | | Rate in $x$-Richtung | $f_x$ | $\frac{\partial f}{\partial x}$ | $\partial_x f$ | | Rate in $y$-Richtung | $f_y$ | $\frac{\partial f}{\partial y}$ | $\partial_y f$ | | Wert an einer Stelle | $f_x(a, b)$ | $\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\rvert_{(a,b)}$ | | Ist $z = f(x, y)$, siehst du auch $\frac{\partial z}{\partial x}$ oder $z_x$. ## So bestimmst du partielle Ableitungen Die Faustregel: **Jede Variable außer der, nach der du ableitest, ist eine Konstante.** $y^3$, $5y$ und $\sin y$ verhalten sich bei $\frac{\partial}{\partial x}$ also alle wie Zahlen. ### Rechenbeispiel 1: ein Polynom Bestimme $f_x$ und $f_y$ für $f(x, y) = 3x^2 y + y^3 - 4x$. **Schritt 1. Nach $x$ ableiten, $y$ konstant halten.** - $3x^2 y$: Die Konstante $3y$ fährt mit, und $x^2$ wird zu $2x$, das ergibt $6xy$. - $y^3$: Kein $x$ enthalten, also eine Konstante mit Ableitung $0$. - $-4x$: Ableitung $-4$. $$f_x = 6xy - 4$$ **Schritt 2. Nach $y$ ableiten, $x$ konstant halten.** - $3x^2 y$: Die Konstante $3x^2$ fährt mit, und $y$ wird zu $1$, das ergibt $3x^2$. - $y^3$: Ableitung $3y^2$. - $-4x$: Kein $y$, also $0$. $$f_y = 3x^2 + 3y^2$$ ### Rechenbeispiel 2: mit der Kettenregel Bestimme $f_x$ und $f_y$ für $f(x, y) = \sin(x^2 y)$. Die äußere Funktion ist $\sin u$ und die innere $u = x^2 y$, die [Kettenregel](/blog/chain-rule) gilt also genau wie bei Funktionen einer Variablen. **Schritt 1. Nach $x$.** Die innere Ableitung ist $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy$. $$f_x = \cos(x^2 y) \cdot 2xy = 2xy\cos(x^2 y)$$ **Schritt 2. Nach $y$.** Die innere Ableitung ist $\frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) = x^2$. $$f_y = x^2\cos(x^2 y)$$ ### Rechenbeispiel 3: ein Logarithmus und drei Variablen Bestimme $\frac{\partial f}{\partial x}$ für $f(x, y) = \ln(x^2 + y^2)$ und danach $g_z$ für $g(x, y, z) = x y^2 z^3$. **Schritt 1.** Beim Logarithmus leitest du $\ln u$ zu $\frac{1}{u}$ ab und multiplizierst mit $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$: $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2}$$ **Schritt 2.** Mit drei Variablen ändert sich nichts: Halte $x$ und $y$ fest und leite $z^3$ ab. $$g_z = 3x y^2 z^2$$ ## Was eine partielle Ableitung bedeutet: Steigungen von Schnittkurven Der Graph von $z = f(x, y)$ ist eine Fläche. Schneidest du sie mit der senkrechten Ebene $y = b$, entsteht eine Kurve, die **Schnittkurve**, die nur noch von $x$ abhängt: $z = f(x, b)$. Die partielle Ableitung $f_x(a, b)$ ist die **Steigung dieser Kurve** bei $x = a$. Nimm die Kuppel $f(x, y) = 6 - x^2 - 2y^2$ im Punkt $(1, 1)$, wo $f(1, 1) = 3$ gilt. **Schritt 1. Mit $y = 1$ schneiden.** Die Schnittkurve ist $z = 6 - x^2 - 2 = 4 - x^2$. **Schritt 2. Ableiten.** $f_x = -2x$, also $f_x(1, 1) = -2$. Die Schnittkurve fällt mit der Steigung $-2$, wenn $x$ wächst. **Schritt 3. Tangente in der Schnittebene.** $z = 3 - 2(x - 1) = 5 - 2x$. ```graph title: 'Die Schnittkurve z = 4 − x² der Fläche z = 6 − x² − 2y² in der Ebene y = 1, mit Steigung −2 bei x = 1' caption: 'Schneidet man $z = 6 - x^2 - 2y^2$ bei $y = 1$, erhält man $z = 4 - x^2$. Ihre Tangente bei $x = 1$ hat die Steigung $f_x(1, 1) = -2$. Die senkrechte Achse ist hier $z$.' x: [-3, 3.5] y: [-2, 6] functions: - expr: 4 - x^2 label: Schnittkurve z = f(x, 1) = 4 − x² - expr: 5 - 2x label: Tangente, Steigung f_x(1, 1) = −2 dashed: true points: - [1, 3, '(1, 3)'] ``` Schneidest du in der anderen Richtung mit $x = 1$, erhältst du die Schnittkurve $z = 5 - 2y^2$. Ihre Steigung bei $y = 1$ ist $f_y(1, 1) = -4y\big|_{y=1} = -4$. In diesem Punkt fällt die Kuppel in $y$-Richtung also doppelt so steil ab wie in $x$-Richtung. Angewandt beantwortet $f_x$ die Frage: "Wie schnell ändert sich der Funktionswert pro Einheit $x$, wenn sich sonst nichts ändert?" Ist $P(L, K)$ die Produktion einer Fabrik aus Arbeit $L$ und Kapital $K$, dann ist $P_L$ die zusätzliche Produktion durch eine weitere Einheit Arbeit bei festem Kapital. ## Zweite partielle Ableitungen Jede erste partielle Ableitung ist wieder eine Funktion von $x$ und $y$, du kannst sie also erneut partiell ableiten. Eine Funktion zweier Variablen hat vier zweite partielle Ableitungen: $$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}, \quad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$$ Die letzten beiden sind die **gemischten Ableitungen**. Indizes liest du von links nach rechts: $f_{xy}$ heißt "zuerst $x$, dann $y$". Die Leibniz-Form listet die Variablen von rechts nach links, also bedeutet auch $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ "zuerst $x$, dann $y$". $f_{xx}$ misst die Krümmung der Schnittkurve in $x$-Richtung und $f_{yy}$ die Krümmung in $y$-Richtung. Bei der Kuppel oben ist $f_{xx} = -2$ und $f_{yy} = -4$, beide negativ, die Fläche biegt sich also in beiden Richtungen nach unten. ### Rechenbeispiel 4: alle vier zweiten Ableitungen Bestimme alle zweiten partiellen Ableitungen von $f(x, y) = x^3 y^2 + 2xy^4$. **Schritt 1. Erste partielle Ableitungen.** $$f_x = 3x^2 y^2 + 2y^4, \qquad f_y = 2x^3 y + 8xy^3$$ **Schritt 2. $f_x$ ableiten.** $$f_{xx} = 6xy^2, \qquad f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(3x^2 y^2 + 2y^4\right) = 6x^2 y + 8y^3$$ **Schritt 3. $f_y$ ableiten.** $$f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x^3 y + 8xy^3\right) = 6x^2 y + 8y^3, \qquad f_{yy} = 2x^3 + 24xy^2$$ **Schritt 4. Gemischte Ableitungen vergleichen.** $f_{xy} = f_{yx} = 6x^2 y + 8y^3$. Sie stimmen überein. ## Der Satz von Schwarz: warum gemischte Ableitungen übereinstimmen Die Übereinstimmung in Beispiel 4 war kein Zufall. > **Satz von Schwarz (im Englischen Satz von Clairaut):** Sind $f_{xy}$ und $f_{yx}$ beide auf einer offenen Kreisscheibe um $(a, b)$ stetig, dann gilt $f_{xy}(a, b) = f_{yx}(a, b)$. Polynome, Exponentialfunktionen, Sinus, Kosinus und ihre Kombinationen haben überall dort, wo sie definiert sind, stetige partielle Ableitungen. In der Praxis spielt die Reihenfolge des Ableitens also keine Rolle. Das bringt dir zwei praktische Vorteile: 1. **Eine kostenlose Kontrolle.** Berechne beide gemischten Ableitungen. Stimmen sie nicht überein, hast du dich verrechnet. 2. **Eine Abkürzung.** Wähle die einfachere Reihenfolge. Für $f(x, y) = y e^{x^2} + x$ geht $f_{yx}$ schneller: $f_y = e^{x^2}$, also $f_{yx} = 2x e^{x^2}$. Nach Schwarz ist $f_{xy}$ dasselbe. ## Typische Fehler bei partiellen Ableitungen 1. **Die "konstante" Variable mit ableiten.** Bei $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3)$ bleibt $y^3$ einfach $y^3$. Das Ergebnis ist $2xy^3$, nicht $6xy^2$. 2. **Terme behalten, die wegfallen müssten.** Jeder Term ohne $x$, etwa $y^3$ oder $\sin y$, hat $\frac{\partial}{\partial x} = 0$. 3. **Die Produktregel verwenden, obwohl sie nicht nötig ist.** $x^2 y^3$ ist beim Ableiten nach $x$ eine Konstante mal $x^2$, die Produktregel brauchst du also nicht. 4. **Den Faktor der Kettenregel vergessen.** $\frac{\partial}{\partial y} e^{xy} = x e^{xy}$, nicht $e^{xy}$. 5. **Die Reihenfolge verwechseln** bei $f_{xy}$ und $\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y}$. Nach dem Satz von Schwarz ändert das selten das Ergebnis, aber es ändert den Rechenweg, den du aufschreibst. ## Kurzübersicht: partielle Ableitungen | Funktion | $f_x$ | $f_y$ | | --- | --- | --- | | $x^m y^n$ | $m x^{m-1} y^n$ | $n x^m y^{n-1}$ | | $e^{xy}$ | $y e^{xy}$ | $x e^{xy}$ | | $\sin(xy)$ | $y\cos(xy)$ | $x\cos(xy)$ | | $\ln(x^2 + y^2)$ | $\frac{2x}{x^2+y^2}$ | $\frac{2y}{x^2+y^2}$ | | $\frac{x}{y}$ | $\frac{1}{y}$ | $-\frac{x}{y^2}$ | | $g(x) + h(y)$ | $g'(x)$ | $h'(y)$ | ## Mit Übung wird es automatisch Partielle Ableitungen sind die Grundlage für alles Weitere in der mehrdimensionalen Analysis: den [Gradienten und Richtungsableitungen](/blog/gradient-and-directional-derivatives), Tangentialebenen, Optimierung und [Lagrange-Multiplikatoren](/blog/lagrange-multipliers). Die interaktive Lektion unten gibt dir Funktionen, die du Variable für Variable ableitest, mit sofortiger Rückmeldung, die dir sagt, welche Variable du versehentlich mit abgeleitet hast. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist eine partielle Ableitung einfach erklärt? Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen ändert, wenn du nur eine Variable veränderst und alle anderen festhältst. Für $f(x, y)$ ist $f_x$ die Änderungsrate in $x$-Richtung und $f_y$ die Änderungsrate in $y$-Richtung. ### Wie bildet man eine partielle Ableitung? Wähle die Variable, nach der du ableitest, und tu so, als wäre jede andere Variable eine Zahl. Dann verwendest du die gewohnten Ableitungsregeln: Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Zum Beispiel ist $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y^3) = 2x y^3$, weil $y^3$ wie eine Konstante wirkt. ### Was bedeutet das Symbol ∂? Das geschwungene $\partial$ (gelesen "partiell d" oder "del") kennzeichnet eine partielle Ableitung. $\frac{\partial f}{\partial x}$ bedeutet also "die Ableitung von $f$ nach $x$, wobei die anderen Variablen konstant gehalten werden". Es unterscheidet partielle Ableitungen von gewöhnlichen, die mit einem geraden $d$ geschrieben werden. ### Sind gemischte partielle Ableitungen immer gleich? Bei fast jeder Funktion, die dir in einer Analysis-Vorlesung begegnet, ja. Der Satz von Schwarz garantiert $f_{xy} = f_{yx}$, sobald beide gemischten Ableitungen in der Nähe des Punktes stetig sind. Es gibt konstruierte Funktionen, bei denen sie sich unterscheiden, aber dort ist immer eine gemischte Ableitung unstetig. ### Was ist der Unterschied zwischen f_xy und f_yx? Die Indizes liest man von links nach rechts: $f_{xy}$ bedeutet, zuerst nach $x$ und dann nach $y$ abzuleiten. In Bruchschreibweise kehrt sich die Reihenfolge um, also $f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\, \partial x}$. Nach dem Satz von Schwarz liefern beide Reihenfolgen ohnehin dasselbe Ergebnis.