# Partielle Integration: Formel, LIATE-Regel und Rechenbeispiele

> Partielle Integration: die Formel, wie LIATE u auswählt, die Tabellenmethode, der Trick bei e^x sin x und vollständig durchgerechnete Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/partielle-integration
Aktualisiert: 2026-10-08

## Das Wichtigste

- Die partielle Integration kehrt die Produktregel um: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.
- Wähle $u$ mit LIATE (Logarithmus, Inverse Winkelfunktionen, Algebraische Funktionen, Trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen): Nimm den Typ, der zuerst kommt.
- Ist $u$ ein Polynom, erledigt die Tabellenmethode wiederholte partielle Integration in einer einzigen Tabelle.
- Taucht das ursprüngliche Integral nach zwei Runden wieder auf, behandle es als Unbekannte und löse algebraisch danach auf.

Die Substitutionsregel erledigt $\int 2x e^{x^2}\,dx$ mühelos. Ändere es aber zu $\int x e^x\,dx$, und keine Substitution hilft, weil die beiden Faktoren nichts miteinander zu tun haben. Die **partielle Integration** ist genau für diese Situation gemacht: ein Produkt aus zwei verschiedenen Arten von Funktionen.

## Was ist partielle Integration?

Die partielle Integration ist die **umgekehrte Produktregel**. Die Produktregel besagt $(uv)' = u'v + uv'$. Integriere beide Seiten, stelle um, und du erhältst die Formel der partiellen Integration:

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

Dabei ist $u$ eine Funktion, die du **ableitest** (um $du$ zu erhalten), und $dv$ der Teil, den du **integrierst** (um $v$ zu erhalten). Die Formel tauscht das ursprüngliche Integral $\int u\,dv$ gegen ein neues, $\int v\,du$. Die ganze Kunst besteht darin, $u$ und $dv$ so zu wählen, dass das neue Integral einfacher ist.

Für bestimmte Integrale lautet dieselbe Formel

$$\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du.$$

## Wann man partiell integriert

Greif zur partiellen Integration, nachdem du eine einfachere [Substitution](/blog/u-substitution) ausgeschlossen hast. Gute Anzeichen dafür, dass die partielle Integration das richtige Werkzeug ist:

- Der Integrand ist ein **Produkt aus zwei verschiedenen Arten von Funktionen**, etwa ein Polynom mal eine Exponentialfunktion oder ein Polynom mal eine trigonometrische Funktion.
- Der Integrand ist eine **einzelne Funktion, die sich leicht ableiten, aber schwer integrieren lässt**, etwa $\ln x$, $\arctan x$ oder $\arcsin x$.
- Keiner der Faktoren ist die Ableitung von etwas im anderen. (Wäre es so, würde die Substitution funktionieren.)

## So wählst du u: die LIATE-Regel

Ein gutes $u$ wird beim Ableiten **einfacher**, und ein gutes $dv$ muss etwas sein, das du **integrieren kannst**. Die LIATE-Regel ordnet Funktionstypen. Wähle als $u$ den Faktor, der zuerst kommt:

| Buchstabe | Typ                         | Beispiele                      |
| --------- | --------------------------- | ------------------------------ |
| L         | Logarithmus                 | $\ln x$, $\log_2 x$            |
| I         | Inverse Winkelfunktionen    | $\arctan x$, $\arcsin x$       |
| A         | Algebraische Funktionen     | $x$, $x^2$, $3x + 1$           |
| T         | Trigonometrische Funktionen | $\sin x$, $\cos 2x$            |
| E         | Exponentialfunktionen       | $e^x$, $e^{3x}$, $2^x$         |

Warum diese Reihenfolge? Logarithmen und Arkusfunktionen sind schwer zu integrieren, haben aber einfache Ableitungen, sie gehören also in $u$. Exponentialfunktionen und Sinusfunktionen lassen sich genauso leicht integrieren wie ableiten, sie eignen sich daher natürlich als $dv$.

> **Tipp:** LIATE ist eine starke Richtlinie, kein Gesetz. Macht deine Wahl das neue Integral schwieriger, tausche $u$ und $dv$ und versuche es noch einmal.

## Rechenbeispiel 1: x mal e^x

Berechne $\int x e^x\,dx$.

**Schritt 1. $u$ und $dv$ wählen.** Algebraisch kommt vor exponentiell, also $u = x$ und $dv = e^x\,dx$.

**Schritt 2. $du$ und $v$ berechnen.** $du = dx$ und $v = e^x$.

**Schritt 3. Die Formel anwenden.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx$$

**Schritt 4. Das einfachere Integral lösen.**

$$\int x e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C$$

**Probe:** Die Ableitung von $e^x(x-1)$ ist $e^x(x-1) + e^x = x e^x$. Richtig.

Hättest du stattdessen $u = e^x$ und $dv = x\,dx$ gewählt, wäre das neue Integral $\int \tfrac{x^2}{2}e^x\,dx$, und das ist schlimmer. Hier rettet dich LIATE.

## Rechenbeispiel 2: x mal cos x

Berechne $\int x\cos x\,dx$.

**Schritt 1.** $u = x$ (algebraisch), $dv = \cos x\,dx$ (trigonometrisch).

**Schritt 2.** $du = dx$, $v = \sin x$.

**Schritt 3.**

$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C$$

Achte auf das Vorzeichen: $\int \sin x\,dx = -\cos x$, und wenn du das subtrahierst, ergibt sich $+\cos x$.

## Rechenbeispiel 3: das Integral von ln x

Berechne $\int \ln x\,dx$.

Es scheint nur einen Faktor zu geben, aber du kannst immer $dv = dx$ setzen.

**Schritt 1.** $u = \ln x$, $dv = dx$.

**Schritt 2.** $du = \frac1x\,dx$, $v = x$.

**Schritt 3.**

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac1x\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x + C$$

Derselbe Trick hilft bei $\int \arctan x\,dx$. Mit $u = \arctan x$ und $dv = dx$ erhältst du $x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$, und eine schnelle [Substitution](/blog/u-substitution) erledigt den Rest:

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \tfrac12\ln(1+x^2) + C$$

## Rechenbeispiel 4: ein bestimmtes Integral

Berechne $\int_1^e \ln x\,dx$.

Mit der Stammfunktion aus Beispiel 3:

$$\int_1^e \ln x\,dx = \Big[x\ln x - x\Big]_1^e = (e\cdot 1 - e) - (1\cdot 0 - 1) = 0 - (-1) = 1$$

```graph
title: 'Die Fläche unter y = ln x von x = 1 bis x = e ist 1'
caption: 'Die partielle Integration zeigt, dass die schraffierte Fläche genau $\int_1^e \ln x\,dx = 1$ ist.'
x: [0, 4]
y: [-1.5, 1.8]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
shade: {expr: ln(x), from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
vertical:
  - {x: 2.71828, label: 'x = e'}
```

## Die Tabellenmethode für wiederholte partielle Integration

Ist $u$ ein Polynom wie $x^3$, müsstest du dreimal partiell integrieren und jedes Mal den Exponenten um eins senken. Die **Tabellenmethode** (manchmal auch DI-Methode genannt) erledigt alle Runden auf einmal.

1. Schreib in die linke Spalte $u$ und **leite ab**, bis du bei $0$ ankommst.
2. Schreib in die rechte Spalte $dv$ und **integriere** weiter, eine Zeile pro Ableitung.
3. Zieh Diagonalen von jedem linken Eintrag zum rechten Eintrag eine Zeile tiefer, mit abwechselnden Vorzeichen $+, -, +, -, \dots$
4. Addiere die Produkte entlang der Diagonalen.

### Rechenbeispiel 5: Tabellenmethode für x³ sin x

Berechne $\int x^3\sin x\,dx$.

| Vorzeichen | $u$ ableiten | $dv$ integrieren |
| ---------- | ------------ | ---------------- |
| $+$        | $x^3$        | $\sin x$         |
| $-$        | $3x^2$       | $-\cos x$        |
| $+$        | $6x$         | $-\sin x$        |
| $-$        | $6$          | $\cos x$         |
|            | $0$          | $\sin x$         |

Multipliziere jeden linken Eintrag mit dem rechten Eintrag eine Zeile darunter und verwende das Vorzeichen seiner Zeile:

$$\int x^3\sin x\,dx = (+)x^3(-\cos x) + (-)3x^2(-\sin x) + (+)6x(\cos x) + (-)6(\sin x)$$

$$= -x^3\cos x + 3x^2\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + C$$

**Probe:** Ableiten ergibt $-3x^2\cos x + x^3\sin x + 6x\sin x + 3x^2\cos x + 6\cos x - 6x\sin x - 6\cos x = x^3\sin x$. Alles andere hebt sich auf.

Die Tabellenmethode funktioniert reibungslos, wann immer $u$ beim Ableiten irgendwann null wird und sich $dv$ immer wieder leicht integrieren lässt, also bei einem Polynom mal $e^{ax}$, $\sin(ax)$ oder $\cos(ax)$.

## Der Fall mit Schleife: e^x sin x

Manche Integrale werden nie zu null. Stattdessen **kehrt nach zwei Runden das ursprüngliche Integral zurück**. Das ist keine Sackgasse. Es ist die Lösung.

### Rechenbeispiel 6: e^x sin x integrieren

Berechne $I = \int e^x\sin x\,dx$.

**Schritt 1. Erste Runde.** Sei $u = \sin x$, $dv = e^x\,dx$. Dann ist $du = \cos x\,dx$, $v = e^x$:

$$I = e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$$

**Schritt 2. Zweite Runde, gleiches Muster.** Im neuen Integral sei $u = \cos x$, $dv = e^x\,dx$. Dann ist $du = -\sin x\,dx$, $v = e^x$:

$$\int e^x\cos x\,dx = e^x\cos x + \int e^x\sin x\,dx = e^x\cos x + I$$

**Schritt 3. Zurück einsetzen.**

$$I = e^x\sin x - \left(e^x\cos x + I\right) = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$

**Schritt 4. Nach $I$ auflösen.** Addiere auf beiden Seiten $I$: $2I = e^x(\sin x - \cos x)$, also

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

**Probe:** Die Ableitung ist $\tfrac12\left[e^x(\sin x - \cos x) + e^x(\cos x + \sin x)\right] = \tfrac12\cdot 2e^x\sin x = e^x\sin x$.

> **Tipp:** Behalte in der zweiten Runde denselben Funktionstyp als $u$ (beide Male trigonometrisch). Wechselst du und wählst $u = e^x$, machst du den ersten Schritt rückgängig und landest bei $I = I$.

## Typische Fehler bei der partiellen Integration

1. **$u$ verkehrt herum wählen.** Mit $u = e^x$ wird $\int x e^x\,dx$ schwieriger. Halte dich an LIATE.
2. **Vorzeichenfehler.** Die Formel hat ein Minuszeichen, und $\int\sin x\,dx = -\cos x$ fügt noch eins hinzu. Die meisten falschen Antworten entstehen hier.
3. **Das $v$ im Term $uv$ vergessen.** Es heißt $uv$, nicht $u\,dv$.
4. **Die abwechselnden Vorzeichen der Tabellenmethode übersehen.** Jede zweite Diagonale ist negativ.
5. **In der Schleife den Typ wechseln.** Bleib bei $\int e^x\sin x\,dx$ beide Male bei der trigonometrischen Funktion als $u$.
6. **Das $+C$ weglassen** oder bei einem bestimmten Integral vergessen, $uv$ an beiden Grenzen auszuwerten.

## Kurzübersicht

| Integral                 | Wahl von $u$ | Ergebnis                                       |
| ------------------------ | ------------ | ---------------------------------------------- |
| $\int x e^x\,dx$         | $x$          | $e^x(x-1) + C$                                 |
| $\int x\cos x\,dx$       | $x$          | $x\sin x + \cos x + C$                         |
| $\int x\sin x\,dx$       | $x$          | $-x\cos x + \sin x + C$                        |
| $\int \ln x\,dx$         | $\ln x$      | $x\ln x - x + C$                               |
| $\int \arctan x\,dx$     | $\arctan x$  | $x\arctan x - \frac12\ln(1+x^2) + C$           |
| $\int e^x\sin x\,dx$     | $\sin x$     | $\frac12 e^x(\sin x - \cos x) + C$             |
| $\int e^x\cos x\,dx$     | $\cos x$     | $\frac12 e^x(\sin x + \cos x) + C$             |

## Üben, bis LIATE automatisch sitzt

Die partielle Integration belohnt Wiederholung mehr als jede andere Technik: Die Formel ist kurz, aber $u$ gut zu wählen und die Vorzeichen im Griff zu behalten wird erst durch Übung zur zweiten Natur. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jedem Schritt sofort Rückmeldung, sodass du ein vertauschtes Vorzeichen bemerkst, bevor es zur Gewohnheit wird.

## Häufig gestellte Fragen

### Wie lautet die Formel der partiellen Integration?

Die Formel lautet $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Du teilst den Integranden in einen Teil $u$, den du ableitest, und einen Teil $dv$, den du integrierst, in der Hoffnung, dass das neue Integral $\int v\,du$ einfacher ist als das ursprüngliche.

### Wie wählt man u und dv?

Verwende die LIATE-Reihenfolge: Logarithmus, Inverse Winkelfunktionen, Algebraische Funktionen (Polynome), Trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktionen. Der Faktor, der in dieser Liste am weitesten vorn steht, wird zu $u$, und alles andere, einschließlich $dx$, wird zu $dv$. Ziel ist ein $u$, das beim Ableiten einfacher wird, und ein $dv$, das du tatsächlich integrieren kannst.

### Wann sollte man partiell integrieren statt zu substituieren?

Probiere zuerst die Substitutionsregel. Ist der Integrand ein Produkt zweier voneinander unabhängiger Funktionen wie $x e^x$ oder $x\cos x$, bei denen keiner der Faktoren die Ableitung von etwas im anderen ist, ist die partielle Integration meist das richtige Werkzeug. Sie hilft auch bei einzelnen Funktionen wie $\ln x$ und $\arctan x$.

### Was ist die Tabellenmethode der partiellen Integration?

Die Tabellenmethode ist eine Abkürzung für Integrale wie $\int x^3\sin x\,dx$, bei denen $u$ ein Polynom ist. Du schreibst die Ableitungen von $u$ bis zur Null in eine Spalte, wiederholte Stammfunktionen von $dv$ in eine andere und multiplizierst dann diagonal mit abwechselnden Vorzeichen $+, -, +, -$.

### Was macht man, wenn sich die partielle Integration im Kreis dreht?

Bei Integralen wie $\int e^x\sin x\,dx$ bringt zweimaliges partielles Integrieren das ursprüngliche Integral zurück. Nenne es $I$, schreib die Gleichung $I = (\text{Rest}) - I$ und löse auf: $2I = \text{Rest}$, also ist $I$ die Hälfte davon, plus $C$.