# Die Potenzregel beim Ableiten: Regeln, Beispiele und Tricks > Die Potenzregel sicher anwenden: wie sie funktioniert, negative und gebrochene Exponenten, Wurzeln und Brüche umschreiben, dazu Summen- und Faktorregel. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/potenzregel Aktualisiert: 2026-08-17 ## Das Wichtigste - Die Potenzregel besagt $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$: Zieh den Exponenten nach vorne und verringere ihn dann um eins. - Sie gilt für jeden reellen Exponenten, auch für negative Zahlen und Brüche. - Schreibe Wurzeln und Brüche zuerst als Potenzen: $\sqrt{x} = x^{1/2}$ und $\frac{1}{x^3} = x^{-3}$. - Konstante Faktoren bleiben stehen, Summen leitest du gliedweise ab, und die Ableitung einer Konstanten ist $0$. Ableitungen mit der Grenzwertdefinition zu berechnen bedeutet eine Seite Algebra für jede Funktion. Die **Potenzregel** ersetzt all das durch eine Abkürzung in einer Zeile, und zusammen mit zwei einfachen Begleitregeln kannst du damit jedes Polynom, jede Wurzel und jede Potenz von $x$ in Sekunden ableiten. Sie ist die erste Regel, die du lernst, und die, die du am häufigsten brauchst. ## Was ist die Potenzregel? Die Potenzregel liefert die Ableitung von $x$ hoch einem konstanten Exponenten: $$\frac{d}{dx}\, x^n = n x^{n-1}$$ In Worten: **Zieh den Exponenten nach vorne und verringere ihn dann um eins.** $$\frac{d}{dx} x^5 = 5x^4 \qquad \frac{d}{dx} x^2 = 2x \qquad \frac{d}{dx} x = 1$$ Die Regel gilt für jede reelle Zahl $n$: positive ganze Zahlen, negative Zahlen und Brüche. Die einzige Bedingung ist, dass die Variable in der Basis steht und der Exponent konstant ist. ## Warum die Potenzregel gilt Für eine positive ganze Zahl $n$ erkennst du das Muster mit der [Grenzwertdefinition der Ableitung](/blog/limit-definition-of-the-derivative). Ausmultiplizieren von $(x + h)^n$ ergibt $$(x + h)^n = x^n + n x^{n-1} h + (\text{Terme mit } h^2 \text{ oder höher})$$ Also ist $$\frac{(x+h)^n - x^n}{h} = n x^{n-1} + (\text{Terme mit } h \text{ oder höher})$$ und für $h \to 0$ verschwindet alles außer $n x^{n-1}$. Das ist die Potenzregel. Für $n = 2$ ist das genau die bekannte Rechnung $(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$, die $2x$ liefert. Der Beweis für negative und gebrochene Exponenten braucht andere Werkzeuge, aber die Regel bleibt dieselbe. ## Konstantenregel, Faktorregel und Summenregel Die Potenzregel kommt selten allein vor. Drei Begleitregeln erlauben es dir, sie mit Koeffizienten und mehreren Termen zu kombinieren. | Regel | Formel | Beispiel | | --- | --- | --- | | Konstantenregel | $\frac{d}{dx} c = 0$ | $\frac{d}{dx} 7 = 0$ | | Faktorregel | $\frac{d}{dx} [c f(x)] = c f'(x)$ | $\frac{d}{dx} 4x^3 = 12x^2$ | | Summen- und Differenzregel | $\frac{d}{dx} [f \pm g] = f' \pm g'$ | $\frac{d}{dx} (x^2 + x) = 2x + 1$ | Die Konstantenregel sagt, dass eine waagerechte Gerade die Steigung $0$ hat. Die Faktorregel sagt, dass eine senkrechte Streckung des Graphen um $c$ jede Steigung mit $c$ multipliziert. Die Summenregel sagt, dass du ein Polynom Term für Term ableiten darfst. ## Rechenbeispiel 1: ein Polynom Leite $f(x) = 3x^4 - 5x^2 + 7x - 2$ ab. **Schritt 1. In Terme zerlegen.** Nach der Summenregel leitest du jeden Term einzeln ab. **Schritt 2. Potenzregel mit Faktoren anwenden.** - $3x^4 \to 3 \cdot 4x^3 = 12x^3$ - $-5x^2 \to -5 \cdot 2x = -10x$ - $7x \to 7 \cdot 1 = 7$ - $-2 \to 0$ **Schritt 3. Zusammenfassen.** $$f'(x) = 12x^3 - 10x + 7$$ ## Negative Exponenten: Brüche umschreiben Eine Potenz von $x$ im Nenner ist ein verkleideter negativer Exponent: $$\frac{1}{x^n} = x^{-n}$$ Schreibe zuerst um und wende dann die Potenzregel an. Achte genau darauf, wenn du eins abziehst: Der Exponent wird **noch** negativer. ### Rechenbeispiel 2: ein Bruch mit Koeffizient Leite $y = \frac{4}{x^3}$ ab. **Schritt 1. Als Potenz schreiben.** $y = 4x^{-3}$. **Schritt 2. Potenzregel anwenden.** Zieh $-3$ nach vorne und subtrahiere eins: $-3 - 1 = -4$. $$\frac{dy}{dx} = 4 \cdot (-3) x^{-4} = -12x^{-4}$$ **Schritt 3. Ohne negative Exponenten schreiben** (optional, aber meist erwartet). $$\frac{dy}{dx} = -\frac{12}{x^4}$$ Einen Spezialfall solltest du auswendig kennen: $\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = \frac{d}{dx} x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$, dasselbe Ergebnis wie mit der Grenzwertdefinition. > **Tipp:** Achte darauf, wo der Koeffizient steht. $\frac{1}{3x^2}$ ist $\frac{1}{3}x^{-2}$, aber $\frac{3}{x^2}$ ist $3x^{-2}$. Nur die Potenz von $x$ wandert als negativer Exponent in den Zähler. ## Gebrochene Exponenten: Wurzeln umschreiben Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenen Exponenten: $$\sqrt{x} = x^{1/2} \qquad \sqrt[3]{x} = x^{1/3} \qquad \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$$ ### Rechenbeispiel 3: eine Quadratwurzel Leite $y = \sqrt{x}$ ab. **Schritt 1. Umschreiben.** $y = x^{1/2}$. **Schritt 2. Potenzregel anwenden.** $\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$, also $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$ ### Rechenbeispiel 4: die Wurzel einer Potenz Leite $y = \sqrt[3]{x^2}$ ab. **Schritt 1. Umschreiben.** $y = x^{2/3}$. **Schritt 2. Potenzregel anwenden.** $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$, also $$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ Beachte, dass die Ableitung bei $x = 0$ nicht definiert ist. Der Graph von $x^{2/3}$ hat dort eine Spitze. ## Rechenbeispiel 5: erst vereinfachen, dann ableiten Leite $y = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}$ ab. Du könntest die [Quotientenregel](/blog/product-and-quotient-rules) verwenden, aber den Bruch aufzuteilen geht schneller. **Schritt 1. In einzelne Terme aufteilen.** $$y = \frac{x^2}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}}$$ **Schritt 2. Exponenten subtrahieren.** $x^{2 - 1/2} = x^{3/2}$, also $$y = x^{3/2} + x^{-1/2}$$ **Schritt 3. Potenzregel auf jeden Term anwenden.** $$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-3/2}$$ **Schritt 4. Mit Wurzeln schreiben** (optional). $$\frac{dy}{dx} = \frac{3\sqrt{x}}{2} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}$$ Derselbe Trick funktioniert bei Produkten: Multipliziere $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ aus und leite dann ab, das ergibt $8x + 4$. ## Alles zusammen Leite $y = 6\sqrt[3]{x^5} - \frac{2}{x} + 9$ ab. **Schritt 1. Jeden Term als Potenz von $x$ schreiben.** $$y = 6x^{5/3} - 2x^{-1} + 9$$ **Schritt 2. Potenzregel Term für Term anwenden.** Beim ersten Term ist $\frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$. Beim zweiten ist $-1 - 1 = -2$. Die Konstante $9$ wird zu $0$. $$\frac{dy}{dx} = 6 \cdot \frac{5}{3} x^{2/3} - 2 \cdot (-1) x^{-2} = 10x^{2/3} + 2x^{-2}$$ **Schritt 3. In Wurzel- und Bruchform schreiben.** $$\frac{dy}{dx} = 10\sqrt[3]{x^2} + \frac{2}{x^2}$$ Beachte, wie die beiden Minuszeichen im mittleren Term zu einem Plus geworden sind. Auf solche Vorzeichenfehler musst du vor allem achten, sobald die Regel selbst sitzt. ## Rechenbeispiel 6: eine Tangente Bestimme die Gleichung der Tangente an $y = x^3$ bei $x = 2$. **Schritt 1. Punkt bestimmen.** $y(2) = 2^3 = 8$, der Punkt ist also $(2, 8)$. **Schritt 2. Steigung bestimmen.** $\frac{dy}{dx} = 3x^2$, die Steigung bei $x = 2$ ist also $3(2)^2 = 12$. **Schritt 3. Punkt-Steigungs-Form verwenden.** $$y - 8 = 12(x - 2) \quad \Longrightarrow \quad y = 12x - 16$$ ```graph title: 'Graph von y = x³ mit seiner Tangente y = 12x − 16 im Punkt (2, 8)' caption: 'Nach der Potenzregel ist die Steigung von $y = x^3$ bei $x = 2$ gleich $3(2)^2 = 12$, das ergibt die Tangente $y = 12x - 16$.' x: [-3, 3.5] y: [-12, 20] functions: - expr: x^3 label: y = x³ - expr: 12x - 16 label: Tangente bei x = 2 dashed: true points: - [2, 8, '(2, 8)'] ``` ## Höhere Ableitungen mit der Potenzregel Weil die Ableitung eines Polynoms wieder ein Polynom ist, kannst du die Potenzregel immer wieder anwenden. Die **zweite Ableitung** $f''(x)$ ist die Ableitung von $f'(x)$ und misst, wie sich die Steigung selbst ändert (Krümmung). ### Rechenbeispiel 7: erste, zweite und dritte Ableitung Bestimme $f'$, $f''$ und $f'''$ für $f(x) = 2x^5 - x^3 + 4x$. **Schritt 1. Erste Ableitung.** Wende die Potenzregel Term für Term an: $$f'(x) = 10x^4 - 3x^2 + 4$$ **Schritt 2. Zweite Ableitung.** Leite $f'$ ab. Die Konstante $4$ fällt weg: $$f''(x) = 40x^3 - 6x$$ **Schritt 3. Dritte Ableitung.** $$f'''(x) = 120x^2 - 6$$ Jede Runde senkt jeden Exponenten um eins, ein Polynom vom Grad $n$ wird also nach $n + 1$ Ableitungen zu $0$. ## Die Potenzregel als Änderungsrate Ableitungen sind Raten, also macht die Potenzregel aus Ortsfunktionen sofort Geschwindigkeitsfunktionen. Angenommen, die Höhe eines Balls in Metern nach $t$ Sekunden ist $$s(t) = -5t^2 + 20t + 2$$ Die Variable heißt $t$ statt $x$, aber die Regel ist dieselbe. Die Geschwindigkeit ist $$v(t) = s'(t) = -10t + 20$$ und die Beschleunigung ist $a(t) = v'(t) = -10$ Meter pro Quadratsekunde. $v(t) = 0$ liefert $t = 2$, den Moment, in dem der Ball nicht mehr steigt, in einer Höhe von $s(2) = -20 + 40 + 2 = 22$ Metern. Jede dieser Antworten kam allein aus der Potenzregel. ## Typische Fehler bei der Potenzregel 1. **Bei negativen Exponenten falsch eins abziehen.** $\frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}$. Von $-3$ auf $-2$ zu gehen ist der häufigste Fehler. 2. **Einen Bruch stückweise ableiten.** $\frac{d}{dx} \frac{1}{x^3}$ ist nicht $\frac{1}{3x^2}$. Schreibe es zuerst als $x^{-3}$. 3. **Vergessen, dass Konstanten zu $0$ werden.** Die Ableitung von $-2$, $\pi^2$ oder $e^3$ ist $0$, nicht die Konstante selbst. 4. **Die Potenzregel auf Exponentialfunktionen anwenden.** $\frac{d}{dx} 2^x$ ist nicht $x \cdot 2^{x-1}$. Die Variable steht im Exponenten, die Potenzregel gilt also nicht. 5. **Sie auf eine Potenz von etwas anderem als $x$ anwenden.** $\frac{d}{dx} (3x+1)^5$ braucht die [Kettenregel](/blog/chain-rule), die einen Faktor $3$ hinzufügt. 6. **Einen Koeffizienten mit der Potenz verschieben.** $\frac{5}{x^2} = 5x^{-2}$, nicht $5^{-1}x^{-2}$. ## Kurzübersicht | Funktion | Umgeschrieben | Ableitung | | --- | --- | --- | | $x^n$ | $x^n$ | $n x^{n-1}$ | | $c$ (Konstante) | | $0$ | | $x$ | $x^1$ | $1$ | | $\frac{1}{x}$ | $x^{-1}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | | $\frac{1}{x^2}$ | $x^{-2}$ | $-\frac{2}{x^3}$ | | $\sqrt{x}$ | $x^{1/2}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | | $\sqrt[3]{x}$ | $x^{1/3}$ | $\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ | | $x\sqrt{x}$ | $x^{3/2}$ | $\frac{3}{2}\sqrt{x}$ | ## Üben, bis es automatisch geht Die Potenzregel selbst ist einfach. Was Übung braucht, ist das Umschreiben: Wurzeln und Brüche in Potenzen verwandeln und mit negativen und gebrochenen Exponenten umgehen, ohne dich zu verrechnen. Die interaktive Lektion unten gibt dir einen stetigen Strom an Aufgaben, prüft jede Antwort sofort und zeigt dir genau, welcher Exponent danebenlag. Eine kurze Übungsrunde heute macht jede spätere Ableitung schneller. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Potenzregel? Die Potenzregel besagt, dass die Ableitung von $x^n$ gleich $n x^{n-1}$ ist. Zieh den Exponenten als Faktor nach vorne und verringere den Exponenten dann um eins. Zum Beispiel ist die Ableitung von $x^5$ gleich $5x^4$. ### Gilt die Potenzregel auch für negative Exponenten? Ja. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx} x^{-3} = -3x^{-4}$. Pass auf, wenn du von einem negativen Exponenten eins abziehst: $-3 - 1 = -4$, nicht $-2$. ### Wie wendet man die Potenzregel auf eine Wurzel an? Schreibe die Wurzel als Potenz mit gebrochenem Exponenten und wende dann die Regel an. $\sqrt{x} = x^{1/2}$, die Ableitung ist also $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. ### Was ist die Ableitung einer Konstanten? Die Ableitung jeder Konstanten ist $0$, denn eine konstante Funktion ist eine waagerechte Gerade mit Steigung $0$. Das gilt auch für Konstanten wie $7$, $\pi^2$ und $e^3$. ### Kann man die Potenzregel auf e^x oder 2^x anwenden? Nein. Die Potenzregel verlangt die Variable in der Basis und eine Konstante im Exponenten, wie bei $x^2$. Bei $e^x$ und $2^x$ steht die Variable im Exponenten, deshalb gelten die Regeln für Exponentialfunktionen: $\frac{d}{dx} e^x = e^x$ und $\frac{d}{dx} 2^x = 2^x \ln 2$.