# Potenzreihen: Konvergenzradius und Konvergenzbereich mit Beispielen > Bestimme Konvergenzradius und Konvergenzbereich einer Potenzreihe mit dem Quotientenkriterium, prüfe beide Randpunkte richtig und rechne fünf Beispiele mit. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/potenzreihen Aktualisiert: 2026-09-20 ## Das Wichtigste - Eine Potenzreihe $\sum c_n (x-a)^n$ konvergiert immer auf einem Intervall um $a$, und dessen halbe Breite ist der Konvergenzradius $R$. - Das Quotientenkriterium liefert den Radius: Setze $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| |x-a| < 1$ an und löse nach $|x-a|$ auf. - An den Randpunkten liefert das Quotientenkriterium nie eine Aussage. Setze also jeden Randpunkt ein und untersuche die entstehende Zahlenreihe getrennt. - Der Radius kann $0$, eine positive Zahl oder $\infty$ sein, und die beiden Randpunkte können sich unterschiedlich verhalten. Du weißt, wie man entscheidet, ob eine Zahlenreihe konvergiert. Eine Potenzreihe hat eine Besonderheit: In jedem Term steht ein $x$, sie konvergiert also für manche Werte von $x$ und divergiert für andere. Deine Aufgabe ist es, genau herauszufinden, für welche, und das Quotientenkriterium erledigt dabei fast die ganze Arbeit. Dieser Artikel zeigt dir Schritt für Schritt, wie du Konvergenzradius und Konvergenzbereich bestimmst, warum die Randpunkte besondere Sorgfalt brauchen, und rechnet fünf Beispiele durch, die jeden Fall abdecken, der dir in einer Klausur begegnet. ## Was ist eine Potenzreihe? Eine **Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $a$** ist eine unendliche Summe von Potenzen von $(x - a)$, jede mit ihrem eigenen Koeffizienten: $$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$$ Stell sie dir als Polynom vor, das nie aufhört. Für jede Zahl, die du für $x$ einsetzt, erhältst du eine gewöhnliche Zahlenreihe, die entweder konvergiert oder divergiert. Das bekannteste Beispiel ist die geometrische Reihe $$\sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \frac{1}{1-x}, \quad |x| < 1$$ Sie funktioniert innerhalb von $(-1, 1)$ perfekt und versagt überall sonst. Dieses Muster, ein sauberes Intervall um den Entwicklungspunkt, gilt für jede Potenzreihe. ```graph title: 'Partialsummen der geometrischen Potenzreihe 1 + x + x² + ... im Vergleich mit 1/(1 − x)' caption: 'Innerhalb von $(-1, 1)$ schmiegen sich die Partialsummen an $\frac{1}{1-x}$ an. Außerhalb dieses Intervalls lösen sie sich ab, weil die Reihe dort divergiert.' x: [-1.8, 1.4] y: [-2, 6] functions: - expr: 1/(1-x) label: y = 1/(1 − x) - expr: 1 + x + x^2 + x^3 label: Partialsumme vom Grad 3 dashed: true - expr: 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 label: Partialsumme vom Grad 8 dashed: true vertical: - {x: -1, label: 'x = −1'} - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Konvergenzradius: die drei Möglichkeiten Für jede Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $a$ trifft genau eine dieser Aussagen zu: 1. Sie konvergiert **nur bei $x = a$**. Der Radius ist $R = 0$. 2. Sie konvergiert **für jedes $x$**. Der Radius ist $R = \infty$. 3. Es gibt eine Zahl $R > 0$, sodass sie für $|x - a| < R$ konvergiert und für $|x - a| > R$ divergiert. Die Zahl $R$ ist der **Konvergenzradius**. Der **Konvergenzbereich** ist die Menge aller $x$, für die die Reihe konvergiert. Im Fall 3 ist das das Intervall von $a - R$ bis $a + R$, plus die Randpunkte, die gerade funktionieren. ## So bestimmst du den Konvergenzradius mit dem Quotientenkriterium Das Quotientenkriterium besagt, dass eine Reihe $\sum b_n$ absolut konvergiert, wenn $\lim_{n\to\infty} \left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right| < 1$ ist, und divergiert, wenn dieser Grenzwert größer als 1 ist. Wende es auf die Terme $b_n = c_n (x-a)^n$ an: $$L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n (x-a)^n} \right| = |x-a| \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right|$$ Setze dann $L < 1$ an und löse nach $|x - a|$ auf. Das Rezept: 1. Schreibe den Quotienten $\left|\frac{b_{n+1}}{b_n}\right|$ auf und vereinfache ihn. Die Potenzen von $(x - a)$ kürzen sich auf ein einzelnes $|x - a|$. 2. Bilde den Grenzwert für $n \to \infty$. Das $x$ bleibt stehen, weil es nicht von $n$ abhängt. 3. Löse $L < 1$. Du erhältst $|x - a| < R$. 4. **Prüfe beide Randpunkte** $x = a - R$ und $x = a + R$ durch Einsetzen. ## Warum die Randpunkte getrennt geprüft werden müssen Bei $x = a \pm R$ ist der Grenzwert im Quotientenkriterium genau 1, und ein Grenzwert von 1 sagt dir nichts. Die Reihe kann konvergieren oder divergieren, und die beiden Randpunkte müssen nicht übereinstimmen. An jedem Randpunkt setzt du also die Zahl in die Reihe ein und verwendest ein anderes Kriterium: die Konvergenz von p-Reihen, das Leibniz-Kriterium, das Nullfolgenkriterium oder einen Vergleich. Wenn du dazu eine Auffrischung brauchst, sieh dir unseren Artikel zu [Konvergenzkriterien](/blog/convergence-tests) an. > **Tipp:** Überspringe nie die Randpunkte. Eine Antwort $(-1, 1)$, wenn eigentlich $[-1, 1)$ richtig ist, gilt als falsch, auch wenn der Radius stimmt. ## Rechenbeispiel 1: Randpunkte, die sich unterscheiden Bestimme den Konvergenzbereich von $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$. **Schritt 1. Quotienten aufstellen.** $$\left|\frac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\right| = |x| \cdot \frac{n}{n+1}$$ **Schritt 2. Grenzwert bilden.** Wegen $\frac{n}{n+1} \to 1$ erhalten wir $L = |x|$. **Schritt 3. $L < 1$ lösen.** Die Reihe konvergiert für $|x| < 1$, also $R = 1$. **Schritt 4. Randpunkte prüfen.** - Bei $x = 1$ ist die Reihe $\sum \frac{1}{n}$, die harmonische Reihe, und die **divergiert**. - Bei $x = -1$ ist die Reihe $\sum \frac{(-1)^n}{n}$, die alternierende harmonische Reihe, und die **konvergiert** nach dem Leibniz-Kriterium. Der Konvergenzbereich ist $[-1, 1)$. ## Rechenbeispiel 2: eine Reihe mit Entwicklungspunkt ungleich 0 Bestimme den Konvergenzbereich von $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}$. **Schritt 1. Quotienten aufstellen.** $$\left|\frac{(x-3)^{n+1}}{(n+1)^2\, 2^{n+1}} \cdot \frac{n^2\, 2^n}{(x-3)^n}\right| = \frac{|x-3|}{2} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2}$$ **Schritt 2. Grenzwert bilden.** Der Bruch $\frac{n^2}{(n+1)^2}$ geht gegen 1, also $L = \frac{|x-3|}{2}$. **Schritt 3. $L < 1$ lösen.** Wir brauchen $|x - 3| < 2$, also $R = 2$, und das offene Intervall ist $1 < x < 5$. **Schritt 4. Randpunkte prüfen.** - Bei $x = 5$: $(x-3)^n = 2^n$, und die Reihe wird zu $\sum \frac{2^n}{n^2\, 2^n} = \sum \frac{1}{n^2}$, einer p-Reihe mit $p = 2$. Sie **konvergiert**. - Bei $x = 1$: $(x-3)^n = (-2)^n$, und die Reihe wird zu $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$. Sie konvergiert absolut, weil $\sum \frac{1}{n^2}$ konvergiert. Der Konvergenzbereich ist $[1, 5]$. Beachte, dass der Entwicklungspunkt 3 ist und sich das Intervall um 2 Einheiten in jede Richtung erstreckt. ## Rechenbeispiel 3: beide Randpunkte divergieren Bestimme den Konvergenzbereich von $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\,(x+1)^n}{4^n}$. **Schritt 1. Quotienten aufstellen.** $$\left|\frac{(n+1)(x+1)^{n+1}}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n\,(x+1)^n}\right| = \frac{|x+1|}{4} \cdot \frac{n+1}{n}$$ **Schritt 2. Grenzwert bilden.** $L = \frac{|x+1|}{4}$. **Schritt 3. $L < 1$ lösen.** $|x + 1| < 4$, also $R = 4$, und der Entwicklungspunkt ist $a = -1$. Das ergibt $-5 < x < 3$. **Schritt 4. Randpunkte prüfen.** - Bei $x = 3$: Die Reihe ist $\sum \frac{n \cdot 4^n}{4^n} = \sum n$. Die Terme wachsen, sie **divergiert** also nach dem Nullfolgenkriterium. - Bei $x = -5$: Die Reihe ist $\sum n(-1)^n$. Die Terme gehen nicht gegen 0, sie **divergiert** also ebenfalls. Der Konvergenzbereich ist $(-5, 3)$. > **Achte auf den Entwicklungspunkt.** Bei $(x + 1)^n$ ist der Entwicklungspunkt $a = -1$, nicht $1$. Schreibe es als $(x - (-1))^n$, wenn dir das hilft. ## Rechenbeispiel 4: Radius unendlich und Radius null Fakultäten treiben den Radius zu einem der beiden Extreme. **Reihe A:** $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$. $$\left|\frac{x^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x^n}\right| = \frac{|x|}{n+1} \to 0$$ Der Grenzwert ist für jedes $x$ gleich 0, und $0 < 1$ gilt immer. Also ist $R = \infty$ und der Konvergenzbereich $(-\infty, \infty)$. Es gibt keine Randpunkte zu prüfen. (Diese Reihe ist gleich $e^x$, wie du in unserem Artikel zu [Taylorreihen](/blog/taylor-series) sehen wirst.) **Reihe B:** $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} n!\, x^n$. $$\left|\frac{(n+1)!\, x^{n+1}}{n!\, x^n}\right| = (n+1)|x|$$ Für $x \ne 0$ wächst das unbeschränkt, die Reihe divergiert also. Sie konvergiert nur im Entwicklungspunkt. Also ist $R = 0$, und der "Bereich" ist der einzelne Punkt $\{0\}$. ## Rechenbeispiel 5: ein Koeffizient vor x Bestimme den Konvergenzradius von $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x-1)^n}{5^n}$. **Schritt 1. Quotienten aufstellen.** Der Quotient aufeinanderfolgender Terme ist $\frac{|2x - 1|}{5}$, ohne übrig bleibendes $n$, also $L = \frac{|2x-1|}{5}$. **Schritt 2. $L < 1$ lösen.** $|2x - 1| < 5$. Klammere die 2 aus, um die Form $|x - a| < R$ zu erhalten: $$2\left|x - \tfrac{1}{2}\right| < 5 \quad\Longrightarrow\quad \left|x - \tfrac{1}{2}\right| < \tfrac{5}{2}$$ Der Entwicklungspunkt ist also $a = \frac{1}{2}$ und der Radius $R = \frac{5}{2}$, nicht 5. Das offene Intervall ist $-2 < x < 3$. **Schritt 3. Randpunkte prüfen.** Bei $x = 3$ ist die Reihe $\sum 1^n$, bei $x = -2$ ist sie $\sum (-1)^n$. Bei keiner gehen die Terme gegen 0, beide divergieren also. Der Konvergenzbereich ist $(-2, 3)$. ## Typische Fehler bei Potenzreihen 1. **Die Randpunkte vergessen.** Hier gehen die meisten Punkte verloren. Das Quotientenkriterium entscheidet sie nie. 2. **Den falschen Entwicklungspunkt ablesen.** $(x + 2)^n$ hat den Entwicklungspunkt $-2$, und $(3x - 6)^n$ hat den Entwicklungspunkt $2$. 3. **Den Koeffizienten vor $x$ nicht ausklammern.** Aus $|2x - 1| < 5$ folgt der Radius $\frac{5}{2}$. Schreibe immer zuerst in die Form $|x - a| < R$ um. 4. **Den Betrag weglassen.** Das Quotientenkriterium verwendet $|x - a|$. Ohne ihn verlierst du die linke Hälfte des Intervalls. 5. **$x$ mit $n$ "gegen unendlich gehen" lassen.** Im Grenzwert ist $x$ eine feste Zahl. Nur $n$ ändert sich. 6. **Das Ergebnis des Quotientenkriteriums an einem Randpunkt verwenden.** An einem Randpunkt brauchst du ein anderes Kriterium, angewandt auf die Reihe mit eingesetzter Zahl. ## Kurzübersicht: Konvergenzradius und Konvergenzbereich | Reihe | Grenzwert $L$ im Quotientenkriterium | Radius $R$ | Konvergenzbereich | | --- | --- | --- | --- | | $\sum x^n$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $(-1, 1)$ | | $\sum \frac{x^n}{n}$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $[-1, 1)$ | | $\sum \frac{x^n}{n^2}$ | $\lvert x \rvert$ | $1$ | $[-1, 1]$ | | $\sum \frac{(x-3)^n}{n^2\, 2^n}$ | $\frac{\lvert x-3 \rvert}{2}$ | $2$ | $[1, 5]$ | | $\sum \frac{x^n}{n!}$ | $0$ | $\infty$ | $(-\infty, \infty)$ | | $\sum n!\, x^n$ | $\infty$ für $x \ne 0$ | $0$ | $\{0\}$ | Ein nützliches Muster aus den ersten drei Zeilen: Polynomielle Faktoren wie $n$ oder $n^2$ ändern den Radius nicht, können aber das Verhalten an den Randpunkten ändern. ## Üben, bis die Schritte automatisch sitzen Einen Konvergenzbereich zu bestimmen ist eine feste Routine: Quotient, Grenzwert, auflösen, zwei Randpunkte prüfen. Schnell wird die Routine erst, wenn du sie an einem Dutzend verschiedener Reihen durchgespielt hast. Die interaktive Lektion unten gibt dir immer neue Reihen zum Durcharbeiten, prüft jeden Schritt sofort und zeigt dir genau, wo eine Randpunktprüfung schiefgelaufen ist. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der Konvergenzradius einer Potenzreihe? Er ist die Zahl $R$, für die die Reihe $\sum c_n (x-a)^n$ bei $|x-a| < R$ konvergiert und bei $|x-a| > R$ divergiert. Er misst, wie weit du dich vom Entwicklungspunkt $a$ entfernen kannst, bevor die Reihe versagt. $R$ kann $0$, eine positive Zahl oder unendlich sein. ### Was ist der Unterschied zwischen Konvergenzradius und Konvergenzbereich? Der Radius ist eine einzelne Zahl, der Abstand vom Entwicklungspunkt bis zum Rand. Der Konvergenzbereich ist die tatsächliche Menge der $x$-Werte, für die die Reihe konvergiert, einschließlich der Randpunkte, an denen sie funktioniert. Zwei Reihen können denselben Radius $R = 1$ haben, aber die Bereiche $(-1, 1)$, $[-1, 1)$ oder $[-1, 1]$. ### Warum muss man die Randpunkte getrennt prüfen? An den Randpunkten ist der Grenzwert im Quotientenkriterium genau 1, und ein Ergebnis von 1 liefert keine Aussage. Du setzt also jeden Randpunkt in die Reihe ein und verwendest ein anderes Kriterium, etwa die Konvergenz von p-Reihen, das Leibniz-Kriterium oder das Nullfolgenkriterium. ### Kann eine Potenzreihe für jedes x konvergieren? Ja. Ist der Grenzwert im Quotientenkriterium für jedes $x$ gleich 0, dann ist der Radius unendlich und der Konvergenzbereich $(-\infty, \infty)$. Die Reihen für $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ verhalten sich alle so, meist wegen einer Fakultät im Nenner. ### Konvergiert eine Potenzreihe immer in ihrem Entwicklungspunkt? Ja. Bei $x = a$ ist jeder Term nach dem ersten null, die Reihe ist also gleich $c_0$. Deshalb ist der kleinstmögliche Konvergenzbereich der einzelne Punkt $\{a\}$, und das passiert bei $R = 0$.