# Produktregel und Quotientenregel: Formeln, Merksätze, Beispiele > Produktregel und Quotientenregel Schritt für Schritt: einfache Merksätze, wann du vorher vereinfachen solltest und vollständig gerechnete Ableitungsbeispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/produktregel-und-quotientenregel Aktualisiert: 2026-08-15 ## Das Wichtigste - Die Produktregel lautet $(uv)' = u'v + uv'$: Leite immer nur einen Faktor ab und addiere die Ergebnisse. - Die Quotientenregel lautet $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, als Merksatz "NAZ minus ZAN durch N-Quadrat". - Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen, und dasselbe gilt für Quotienten. - Vereinfache zuerst, wenn es geht: Durch ein Monom teilen oder $\frac{5}{x^2}$ als $5x^{-2}$ schreiben macht die Quotientenregel oft ganz überflüssig. Du weißt, wie man $x^3$ ableitet, und du weißt, wie man $\sin x$ ableitet. Aber was ist die Ableitung von $x^3 \sin x$ oder von $\frac{x^2+1}{x-1}$? Es ist verlockend, jeden Teil abzuleiten und die Ergebnisse zu multiplizieren oder zu teilen, und das liefert jedes Mal das falsche Ergebnis. Die **Produktregel** und die **Quotientenregel** sind die richtigen Werkzeuge, und wenn du die Muster einmal draufhast, brauchst du nur Sekunden. ## Was sind Produktregel und Quotientenregel? Die **Produktregel** ist die Formel für die Ableitung zweier miteinander multiplizierter Funktionen. Die **Quotientenregel** ist die Formel für die Ableitung einer Funktion, die durch eine andere geteilt wird. Beide sind Abkürzungen, die aus der [Grenzwertdefinition der Ableitung](/blog/limit-definition-of-the-derivative) folgen, du musst bei einem Produkt oder Bruch also nie zu Grenzwerten zurück. Schreibe $u$ und $v$ für zwei differenzierbare Funktionen von $x$ und $u'$ und $v'$ für ihre Ableitungen. **Produktregel:** $$\frac{d}{dx}\big(uv\big) = u'v + uv'$$ **Quotientenregel:** $$\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Beachte, dass keine der Regeln "Ableitungen multiplizieren" oder "Ableitungen teilen" lautet. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}(x \cdot x) = \frac{d}{dx}x^2 = 2x$, aber das Produkt der Ableitungen wäre $1 \cdot 1 = 1$. Die Regeln gibt es genau deshalb, weil die naive Vermutung scheitert. ## Merksätze, die hängen bleiben Für die Produktregel sag dir: **"Ableitung des ersten mal den zweiten, plus den ersten mal Ableitung des zweiten."** Da es bei der Addition nicht auf die Reihenfolge ankommt, kannst du auch $uv' + u'v$ schreiben. In jedem Fall enthält jeder Term genau eine Ableitung. Für die Quotientenregel lautet der klassische Merksatz: > **Tipp:** "NAZ minus ZAN durch N-Quadrat." Dabei steht N für den Nenner $v$, Z für den Zähler $u$ und A für "Ableitung von". Also: $v \cdot u'$ minus $u \cdot v'$, alles geteilt durch $v^2$. Wegen des Minuszeichens ist die Reihenfolge in der Quotientenregel wichtig. Beginne immer mit der Ableitung des **Zählers**. Vertauschst du die beiden Terme, hat dein Ergebnis das falsche Vorzeichen. ## Warum die Produktregel gilt Stell dir ein Rechteck mit den Seiten $u$ und $v$ vor, seine Fläche ist also $uv$. Jetzt veränderst du $x$ ein wenig. Die Seite $u$ wächst um einen kleinen Betrag $\Delta u$ und die Seite $v$ um $\Delta v$. Zur Fläche kommen drei Stücke hinzu: ein Streifen der Größe $\Delta u \cdot v$, ein Streifen der Größe $u \cdot \Delta v$ und eine winzige Ecke $\Delta u \cdot \Delta v$. Teile durch $\Delta x$ und lass $\Delta x \to 0$ gehen. Die beiden Streifen werden zu $u'v$ und $uv'$. Die Ecke schrumpft viel schneller als die Streifen gegen null und verschwindet. Übrig bleibt genau $u'v + uv'$. Die Fläche ändert sich, weil sich *beide* Seiten ändern, und jede Seite steuert ihren eigenen Streifen bei. ## Rechenbeispiel 1: ein Polynom mal eine trigonometrische Funktion Leite $y = x^3 \sin x$ ab. **Schritt 1. Faktoren benennen.** $u = x^3$ und $v = \sin x$. **Schritt 2. Jeden Faktor ableiten.** $u' = 3x^2$ und $v' = \cos x$. **Schritt 3. In $u'v + uv'$ einsetzen.** $$y' = 3x^2 \sin x + x^3 \cos x$$ **Schritt 4. Ausklammern, wenn es hilft.** Klammerst du $x^2$ aus, erhältst du $y' = x^2(3\sin x + x\cos x)$. Beide Formen sind richtig. ## Rechenbeispiel 2: die Regel an einem Produkt von Polynomen prüfen Leite $y = (2x+1)(x^2-3)$ ab. **Schritt 1.** $u = 2x + 1$, also $u' = 2$. Und $v = x^2 - 3$, also $v' = 2x$. **Schritt 2. Produktregel anwenden.** $$y' = 2(x^2 - 3) + (2x+1)(2x)$$ **Schritt 3. Vereinfachen.** $$y' = 2x^2 - 6 + 4x^2 + 2x = 6x^2 + 2x - 6$$ **Kontrolle durch vorheriges Ausmultiplizieren.** $(2x+1)(x^2-3) = 2x^3 + x^2 - 6x - 3$, die Ableitung ist $6x^2 + 2x - 6$. Dasselbe Ergebnis. Bei zwei Polynomen ist Ausmultiplizieren und die [Potenzregel](/blog/power-rule) oft genauso schnell. Die Produktregel lohnt sich, wenn sich die Faktoren nicht ausmultiplizieren lassen, wie bei $x^3 \sin x$ oder $x^2 e^x$. ## Rechenbeispiel 3: wo ein Produkt eine waagerechte Tangente hat Bestimme, wo $y = x^2 e^x$ eine waagerechte Tangente hat. **Schritt 1.** $u = x^2$, $u' = 2x$, $v = e^x$, $v' = e^x$. **Schritt 2. Produktregel anwenden.** $$y' = 2x e^x + x^2 e^x$$ **Schritt 3. Ausklammern.** Beide Terme enthalten $x e^x$: $$y' = x e^x (x + 2)$$ **Schritt 4. Gleich null setzen.** Da $e^x$ nie null ist, gilt $y' = 0$ nur bei $x = 0$ oder $x = -2$. Die Punkte sind $(0, 0)$ und $(-2, 4e^{-2}) \approx (-2, 0.54)$. ```graph title: 'Graph von y = x² eˣ mit waagerechten Tangenten bei x = -2 und x = 0' caption: 'Die Ableitung $x e^x (x+2)$ ist null bei $x = -2$ (lokales Maximum) und bei $x = 0$ (lokales Minimum).' x: [-6, 1.5] y: [-0.5, 3] functions: - expr: x^2 e^x label: y = x² eˣ points: - [-2, 0.5413, '(-2, 4/e²)'] - [0, 0, '(0, 0)'] ``` Die Ableitung zu faktorisieren ist die Gewohnheit, die sich hier auszahlt. Eine faktorisierte Ableitung zeigt dir ihre Nullstellen auf einen Blick. ## Rechenbeispiel 4: die Quotientenregel bei Polynomen Leite $y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ ab. **Schritt 1. Zähler und Nenner benennen.** Zähler: $u = x^2 + 1$, also $u' = 2x$. Nenner: $v = x - 1$, also $v' = 1$. **Schritt 2. NAZ minus ZAN.** $$y' = \frac{(x-1)(2x) - (x^2+1)(1)}{(x-1)^2}$$ **Schritt 3. Nur den Zähler ausmultiplizieren.** $$(x-1)(2x) - (x^2 + 1) = 2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$$ **Schritt 4. Ergebnis aufschreiben.** Lass den Nenner quadriert stehen, ausmultiplizieren hilft selten. $$y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$$ Bei $x = 2$ ist der Funktionswert $\frac{5}{1} = 5$ und die Steigung $\frac{4 - 4 - 1}{1} = -1$, die Tangente dort ist also $y = -x + 7$. ```graph title: 'Graph von y = (x² + 1)/(x - 1) mit seiner Tangente bei x = 2' caption: 'Bei $x = 2$ liefert die Quotientenregel die Steigung $-1$, die Tangente ist also $y = -x + 7$. Die Kurve hat eine senkrechte Asymptote bei $x = 1$.' x: [-4, 6] y: [-10, 14] functions: - expr: (x^2+1)/(x-1) label: y = (x² + 1)/(x - 1) - expr: -x + 7 label: Tangente bei x = 2 dashed: true points: - [2, 5, '(2, 5)'] vertical: - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Rechenbeispiel 5: die Ableitung von tan x herleiten Leite $y = \tan x$ ab, indem du es als $\dfrac{\sin x}{\cos x}$ schreibst. **Schritt 1.** Zähler: $u = \sin x$, $u' = \cos x$. Nenner: $v = \cos x$, $v' = -\sin x$. **Schritt 2. Quotientenregel anwenden.** $$y' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$ **Schritt 3. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ verwenden.** $$y' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$ So findet man die Ableitungen von $\tan x$, $\cot x$, $\sec x$ und $\csc x$. Die vollständige Liste findest du unter [Ableitungen trigonometrischer Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions). ## Wann du lieber zuerst vereinfachst Die Quotientenregel ist zuverlässig, aber umständlich. Bevor du zu ihr greifst, frag dich, ob ein wenig Algebra sie überflüssig macht. **Eine Konstante im Nenner.** $y = \dfrac{x^3 - 5x}{4}$ ist einfach $\tfrac{1}{4}(x^3 - 5x)$, also $y' = \tfrac{1}{4}(3x^2 - 5)$. **Eine Konstante im Zähler.** $y = \dfrac{5}{x^2}$ ist $5x^{-2}$, also $y' = -10x^{-3} = -\dfrac{10}{x^3}$. Die Quotientenregel liefert dasselbe, aber mit vier zusätzlichen Zeilen. **Eine einzelne Potenz von $x$ im Nenner.** Teile Term für Term: $$\frac{x^3 + 2x}{x} = x^2 + 2 \quad (x \neq 0), \qquad \text{also } y' = 2x$$ Ebenso ist $\dfrac{x^2 + \sqrt{x}}{x} = x + x^{-1/2}$, mit der Ableitung $1 - \tfrac{1}{2}x^{-3/2}$. **Ein Produkt, das du ausmultiplizieren kannst.** Wie in Beispiel 2 vermeidest du die Produktregel ganz, wenn du zwei kurze Polynome ausmultiplizierst und die Potenzregel verwendest. > **Tipp:** Besteht der Nenner aus einem einzigen Term, teile. Ist er eine Summe wie $x - 1$ oder $x^2 + 4$, verwende die Quotientenregel. ## Produkte aus drei Funktionen Die Produktregel lässt sich ganz natürlich erweitern. Bei drei Faktoren leitest du jeweils einen ab und addierst: $$(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$$ Zum Beispiel gilt für $y = x e^x \sin x$: $$y' = e^x \sin x + x e^x \sin x + x e^x \cos x$$ In jedem Term ist genau ein Faktor abgeleitet. ## Typische Fehler bei Produkt- und Quotientenregel 1. **Die Ableitungen multiplizieren.** $\frac{d}{dx}(x^2 \sin x) \neq 2x \cos x$. Richtig ist $2x\sin x + x^2 \cos x$. 2. **Den Zähler der Quotientenregel umdrehen.** $uv' - u'v$ kehrt das Vorzeichen des ganzen Ergebnisses um. Beginne mit der Ableitung des Zählers. 3. **Vergessen, den Nenner zu quadrieren.** Unten steht $v^2$, nicht $v$. 4. **Klammern weglassen.** In $(x-1)(2x) - (x^2+1)(1)$ wirkt das Minuszeichen auf das ganze $x^2 + 1$. Ohne Klammern wird aus $-1$ ein $+1$. 5. **Die Quotientenregel bei konstantem Nenner verwenden.** Das funktioniert, ist aber langsam und eine Fehlerquelle. Zieh die Konstante heraus. 6. **Den Nenner ausmultiplizieren.** $(x-1)^2$ ist faktorisiert leichter zu lesen und leichter zu nutzen, um herauszufinden, wo die Ableitung nicht definiert ist. ## Kurzübersicht | Situation | Regel | Beispiel | | --- | --- | --- | | $u \cdot v$ | $u'v + uv'$ | $(x^2 \sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$ | | $u \cdot v \cdot w$ | $u'vw + uv'w + uvw'$ | $(x e^x \sin x)'$ hat drei Terme | | $\frac{u}{v}$ | $\frac{u'v - uv'}{v^2}$ | $\left(\frac{x}{x+1}\right)' = \frac{1}{(x+1)^2}$ | | $\frac{u}{c}$, $c$ konstant | $\frac{u'}{c}$ | $\left(\frac{x^3}{4}\right)' = \frac{3x^2}{4}$ | | $\frac{c}{x^n}$ | als $cx^{-n}$ schreiben | $\left(\frac{5}{x^2}\right)' = -\frac{10}{x^3}$ | | $\frac{\text{Polynom}}{x^n}$ | zuerst Term für Term teilen | $\left(\frac{x^3+2x}{x}\right)' = 2x$ | Taucht eine innere Funktion auf, etwa $\sin(3x)$ in einem Produkt, kombinierst du diese Regeln mit der [Kettenregel](/blog/chain-rule). ## Üben, bis das Muster automatisch sitzt Produkt- und Quotientenregel sind mechanisch, und das ist eine gute Nachricht: Ein paar Dutzend Aufgaben reichen, damit sie dir in Fleisch und Blut übergehen. Arbeite die interaktive Lektion unten durch. Jede Antwort wird sofort geprüft, und wenn du die Terme in einem Quotienten vertauschst oder einen Faktor vergisst, siehst du genau, wo es schiefging, bevor du weitermachst. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Produktregel? Die Produktregel sagt dir, wie du zwei miteinander multiplizierte Funktionen ableitest. Ist $y = u \cdot v$, dann gilt $y' = u'v + uv'$: die Ableitung des ersten Faktors mal den zweiten, plus den ersten mal die Ableitung des zweiten. ### Wie lautet die Formel der Quotientenregel? Ist $y = \frac{u}{v}$, dann gilt $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Wegen des Minuszeichens ist die Reihenfolge im Zähler wichtig, beginne also immer mit der Ableitung des Zählers. ### Welchen Merksatz gibt es für die Quotientenregel? Der Klassiker ist "NAZ minus ZAN durch N-Quadrat": Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, geteilt durch den Nenner zum Quadrat. ### Kann ich die Produktregel statt der Quotientenregel verwenden? Ja. Schreibe $\frac{u}{v}$ als $u \cdot v^{-1}$ und verwende die Produktregel zusammen mit der Kettenregel. Du erhältst dasselbe Ergebnis, musst am Ende aber meist etwas mehr vereinfachen. ### Wann sollte ich die Quotientenregel nicht verwenden? Lass sie weg, wenn der Nenner eine Konstante oder eine einzelne Potenz von $x$ ist. Bei $\frac{x^2+3}{4}$ ziehst du einfach $\frac{1}{4}$ heraus, und bei $\frac{x^3+2x}{x}$ teilst du zuerst und erhältst $x^2 + 2$. Beides geht viel schneller als mit der Quotientenregel.