# Regel von L'Hospital: Wann und wie du sie anwendest, mit Beispielen > Die Regel von L'Hospital für 0/0 und ∞/∞, wie du 0·∞, ∞ − ∞ und 1^∞ umformst, Rechenbeispiele und wann die Regel nicht anwendbar ist. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/regel-von-l-hospital Aktualisiert: 2026-09-30 ## Das Wichtigste - Die Regel von L'Hospital besagt: Für einen Grenzwert der Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ gilt $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$, sofern der zweite Grenzwert existiert oder unendlich ist. - Leite Zähler und Nenner getrennt ab. Verwende nicht die Quotientenregel. - Prüfe vor jeder Anwendung die Form: Die Regel gilt nur für $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$. - Schreibe $0 \cdot \infty$ und $\infty - \infty$ zuerst als Bruch, und behandle $1^\infty$, $0^0$ und $\infty^0$ mit einem Logarithmus. Manche Grenzwerte lassen sich mit Algebra nicht knacken. $\frac{e^x - 1}{x}$ kannst du nicht faktorisieren, und keine Erweiterung bändigt $\frac{x^2}{e^x}$. Die **Regel von L'Hospital** erledigt solche Fälle in wenigen Zeilen, indem sie den ursprünglichen Bruch gegen einen Bruch aus Ableitungen tauscht. Sie ist mächtig, hat aber strenge Voraussetzungen, und wer sie im falschen Moment anwendet, bekommt selbstbewusst falsche Ergebnisse. ## Was die Regel von L'Hospital besagt Seien $f$ und $g$ in der Nähe von $a$ differenzierbar (außer eventuell in $a$ selbst), mit $g'(x) \neq 0$ nahe $a$. Wenn der Grenzwert $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \text{ hat die Form } \frac{0}{0} \text{ oder } \frac{\infty}{\infty}$$ dann gilt $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ sofern der Grenzwert rechts existiert (oder $\pm\infty$ ist). Dieselbe Regel gilt für einseitige Grenzwerte und für $x \to \pm\infty$. Anschaulich: Wenn Zähler und Nenner beide gegen $0$ gehen oder beide über alle Grenzen wachsen, entscheidet darüber, wie schnell sich jeder von ihnen ändert. Genau das messen die Ableitungen. > **Tipp:** Leite Zähler und Nenner **getrennt** ab. Du leitest nicht den Bruch ab, die Quotientenregel hat hier also nichts zu suchen. ### Warum sie gilt In der Nähe von $x = a$ ist eine differenzierbare Funktion fast eine Gerade: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a)$. Im Fall $\frac{0}{0}$ ist $f(a) = g(a) = 0$, also $$\frac{f(x)}{g(x)} \approx \frac{f'(a)(x - a)}{g'(a)(x - a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Die Faktoren $(x - a)$ kürzen sich, übrig bleibt das Verhältnis der Steigungen. Der vollständige Beweis nutzt den verallgemeinerten Mittelwertsatz von Cauchy, aber dieses Bild erklärt die Idee. ## Die Regel von L'Hospital Schritt für Schritt anwenden 1. **Setze ein**, um die Form zu bestimmen. Ist sie nicht $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$, hör auf: Die Regel ist nicht anwendbar. 2. **Leite** Zähler und Nenner getrennt **ab**. 3. **Bilde den Grenzwert** des neuen Bruchs. Vereinfache vorher, wenn möglich. 4. Ist der neue Grenzwert **wieder** $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$, wende die Regel erneut an. Andernfalls hast du dein Ergebnis. ## Rechenbeispiel 1: ein Grenzwert der Form 0/0 Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$. **Schritt 1. Form prüfen.** $\frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. Die Regel ist anwendbar. **Schritt 2. Zähler und Nenner ableiten.** $\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x$ und $\frac{d}{dx}(x) = 1$. **Schritt 3. Neuen Grenzwert bilden.** $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1$$ ## Rechenbeispiel 2: die Regel zweimal anwenden Berechne $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$. **Schritt 1. Form prüfen.** $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. **Schritt 2. Erste Anwendung.** $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$$ **Schritt 3. Form erneut prüfen.** $\frac{\sin 0}{0} = \frac{0}{0}$. Immer noch unbestimmt, also wende die Regel noch einmal an. **Schritt 4. Zweite Anwendung.** $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$$ ## Rechenbeispiel 3: ein Grenzwert der Form ∞/∞ Berechne $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$. **Schritt 1. Form prüfen.** Sowohl $x^2$ als auch $e^x$ wachsen unbeschränkt: $\frac{\infty}{\infty}$. **Schritt 2. Erste Anwendung.** $\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x}$, immer noch $\frac{\infty}{\infty}$. **Schritt 3. Zweite Anwendung.** $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x}$. Jetzt ist der Zähler konstant und der Nenner wächst unbeschränkt. $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$$ Dasselbe Argument, $n$-mal wiederholt, zeigt $\frac{x^n}{e^x} \to 0$ für jede Potenz $n$. Exponentialfunktionen schlagen Polynome, deshalb steigt der Graph unten zuerst an, wird aber schließlich gegen $0$ gedrückt. ```graph title: 'Graph von y = x²/eˣ, der bis zu einem Hochpunkt bei x = 2 steigt und dann gegen 0 abfällt' caption: 'Zwei Anwendungen der Regel von L''Hospital zeigen $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0$. Der Hochpunkt liegt bei $\left(2, \frac{4}{e^2}\right) \approx (2, 0.54)$.' x: [-0.5, 12] y: [-0.2, 1] functions: - expr: x^2/e^x label: y = x²/eˣ points: - [2, 0.5413, 'Hochpunkt (2, 4/e²)'] ``` ## Andere unbestimmte Ausdrücke Die Regel von L'Hospital funktioniert nur bei Brüchen. Die anderen unbestimmten Ausdrücke musst du zuerst in die Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ bringen. | Form | Beispiel | So formst du um | | --- | --- | --- | | $0 \cdot \infty$ | $x \ln x$ für $x \to 0^+$ | Einen Faktor in den Nenner schieben: $\frac{\ln x}{1/x}$ | | $\infty - \infty$ | $\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}$ für $x \to 0^+$ | Auf einen Bruch bringen | | $1^\infty$ | $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ für $x \to \infty$ | $\ln$ bilden, dann als Bruch schreiben | | $0^0$ | $x^x$ für $x \to 0^+$ | $\ln$ bilden, dann als Bruch schreiben | | $\infty^0$ | $x^{1/x}$ für $x \to \infty$ | $\ln$ bilden, dann als Bruch schreiben | ### Rechenbeispiel 4: die Form 0 · ∞ Berechne $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$. **Schritt 1. Form bestimmen.** $x \to 0$ und $\ln x \to -\infty$: Das ist $0 \cdot \infty$. **Schritt 2. Als Bruch schreiben.** Teile durch den Kehrwert von $x$: $$x \ln x = \frac{\ln x}{1/x}$$ Das hat die Form $\frac{-\infty}{\infty}$. **Schritt 3. Regel anwenden.** $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$ Also gilt $x \ln x \to 0$. Das $x$ schrumpft schneller, als $\ln x$ explodiert. ```graph title: 'Graph von y = x ln(x) für x > 0, der sich 0 nähert, wenn x von rechts gegen 0 geht' caption: 'Schreibt man $x \ln x$ als $\frac{\ln x}{1/x}$ und wendet die Regel von L''Hospital an, erhält man $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$.' x: [-0.2, 2] y: [-0.6, 1.5] functions: - expr: x*ln(x) label: y = x ln x points: - [0, 0, 'nähert sich (0, 0)', open] ``` ### Rechenbeispiel 5: die Form ∞ − ∞ Berechne $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)$. **Schritt 1. Auf einen Bruch bringen.** $$\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$ Bei $x = 0$ ist das $\frac{0}{0}$. **Schritt 2. Erste Anwendung.** Die Ableitung des Nenners $x e^x - x$ ist $e^x + x e^x - 1$: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x - 1}{e^x + x e^x - 1}$$ immer noch $\frac{0}{0}$. **Schritt 3. Zweite Anwendung.** $$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x}{2e^x + x e^x} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$ ### Rechenbeispiel 6: die Form 1^∞ Berechne $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$. **Schritt 1. Form bestimmen.** Die Basis geht gegen $1$ und der Exponent gegen $\infty$. Das ist $1^\infty$, und das ist **nicht** automatisch $1$. **Schritt 2. Natürlichen Logarithmus bilden.** Sei $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$. Dann ist $$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)}{1/x}$$ und das hat die Form $\frac{0}{0}$. **Schritt 3. Regel anwenden.** Die Ableitung des Zählers ist $\frac{1}{1 + \frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$ und die Ableitung des Nenners ist $-\frac{1}{x^2}$. Beide enthalten den Faktor $-\frac{1}{x^2}$, also $$\lim_{x \to \infty} \ln y = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1$$ **Schritt 4. Logarithmus rückgängig machen.** Da $\ln y \to 1$, folgt $y \to e^1$: $$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$$ Das ist eine der klassischen Definitionen von $e$. Dieselbe Methode liefert $\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$ und $\lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1$. ## Wann du die Regel von L'Hospital nicht anwenden solltest ### Wenn der Grenzwert nicht unbestimmt ist Betrachte $\lim_{x \to 0} \frac{x + 1}{x + 2}$. Direktes Einsetzen ergibt $\frac{1}{2}$, und das ist das Ergebnis. Wendest du die Regel trotzdem fälschlich an, erhältst du $\frac{1}{1} = 1$, und das ist falsch. **Prüfe immer zuerst die Form.** ### Wenn sich die Ableitungen im Kreis drehen Bei $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$ liefert eine Anwendung $\frac{x/\sqrt{x^2+1}}{1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, also den ursprünglichen Bruch auf den Kopf gestellt. Eine zweite Anwendung dreht ihn wieder zurück. Der Ausweg ist Algebra: Teile Zähler und Nenner durch $x$ und du erhältst $\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \to 1$. ### Wenn der neue Grenzwert nicht existiert Bei $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$ liefert die Regel $\lim (1 + \cos x)$, das oszilliert und nicht existiert. Das bedeutet **nicht**, dass der ursprüngliche Grenzwert nicht existiert. Teilen durch $x$ ergibt $1 + \frac{\sin x}{x} \to 1$. Die Regel verspricht nur dann ein Ergebnis, wenn der neue Grenzwert existiert. ### Wenn Algebra einfacher ist $\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ geht schneller durch Faktorisieren, und Grenzwerte gebrochenrationaler Funktionen im Unendlichen gehen schneller mit den [Gradregeln](/blog/limits-at-infinity). Die Regel von L'Hospital ist ein Werkzeug, kein Reflex. ## Typische Fehler bei der Regel von L'Hospital 1. **Die Quotientenregel verwenden.** Leite Zähler und Nenner getrennt ab. 2. **Die Formprüfung überspringen.** Die Regel auf einen bestimmten Grenzwert anzuwenden liefert ein falsches Ergebnis. 3. **Sie direkt auf Produkte, Differenzen oder Potenzen anwenden.** Schreibe $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^\infty$, $0^0$ und $\infty^0$ zuerst als Brüche. 4. **Das Potenzieren vergessen.** Bei der Logarithmusmethode ist der Grenzwert von $\ln y$ nicht das Endergebnis. Nimm $e$ hoch diesen Wert. 5. **Annehmen, dass $1^\infty = 1$ ist.** Es kann jede positive Zahl sein, wie $e^k$ zeigt. ## Kurzübersicht | Grenzwert | Form | Ergebnis | | --- | --- | --- | | $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | $\frac{0}{0}$ | $1$ | | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{0}{0}$ | $\frac{1}{2}$ | | $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ | $\frac{\infty}{\infty}$ | $0$ | | $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$ | $\frac{\infty}{\infty}$ | $0$ | | $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ | $0 \cdot \infty$ | $0$ | | $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ | $1^\infty$ | $e$ | | $\lim_{x \to 0^+} x^x$ | $0^0$ | $1$ | ## Üben, bis die Formprüfung automatisch sitzt Das Schwierige an der Regel von L'Hospital sind nicht die Ableitungen. Es ist, die Form zu erkennen, richtig umzuformen und zu wissen, wann Schluss ist. Die interaktive Lektion unten gibt dir eine Mischung unbestimmter Ausdrücke, prüft jeden Schritt sofort und zeigt dir genau, wo eine Formprüfung oder ein Logarithmus gefehlt hat. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Regel von L'Hospital einfach erklärt? Wenn der Grenzwert eines Bruchs $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ergibt, darfst du Zähler und Nenner durch ihre Ableitungen ersetzen und den Grenzwert erneut bilden. Der neue Grenzwert stimmt, falls er existiert, mit dem ursprünglichen überein. ### Verwendet man bei L'Hospital die Quotientenregel? Nein. Du leitest Zähler und Nenner getrennt ab und erhältst $\frac{f'(x)}{g'(x)}$. Die Quotientenregel auf den ganzen Bruch anzuwenden ist der häufigste Fehler bei dieser Regel. ### Darf man L'Hospital mehrmals anwenden? Ja, solange der neue Grenzwert immer noch die Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ hat. Prüfe die Form jedes Mal. Zum Beispiel braucht $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}$ zwei Anwendungen und ergibt $0$. ### Wie wendet man L'Hospital bei 1 hoch unendlich an? Setze $y$ gleich dem Ausdruck, bilde den natürlichen Logarithmus, damit der Exponent nach vorne kommt, und berechne $\lim \ln y$ als Bruch mit der Regel von L'Hospital. Ist $\lim \ln y = L$, dann ist der ursprüngliche Grenzwert $e^L$. ### Wann darf man L'Hospital nicht anwenden? Nicht, wenn der Grenzwert kein unbestimmter Ausdruck ist, etwa $\frac{1}{2}$ oder $\frac{5}{0}$. Die Regel hilft auch nicht, wenn die Ableitungen immer wieder zum selben Ausdruck zurückführen oder wenn der Grenzwert von $\frac{f'}{g'}$ nicht existiert.