# Riemann-Summen: Linke, rechte und Mittelpunktsregel mit Beispielen

> Riemann-Summen Schritt für Schritt: Rechtecke links, rechts und mittig, Summenschreibweise, Über- und Unterschätzung und der Grenzübergang zum Integral.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/riemann-summen
Aktualisiert: 2026-09-12

## Das Wichtigste

- Eine Riemann-Summe schätzt die Fläche unter einer Kurve, indem sie die Flächen von Rechtecken addiert: $\sum f(x_i^*)\,\Delta x$.
- Bei $n$ gleich breiten Teilen von $[a, b]$ hat jedes Rechteck die Breite $\Delta x = \frac{b - a}{n}$, und die Höhe stammt vom linken Rand, vom rechten Rand oder aus der Mitte.
- Bei einer steigenden Funktion unterschätzt die linke Summe und die rechte Summe überschätzt. Bei einer fallenden Funktion ist es umgekehrt.
- Für $n \to \infty$ nähern sich die Riemann-Summen dem bestimmten Integral $\int_a^b f(x)\,dx$.

Die Fläche eines Rechtecks zu bestimmen ist einfach. Die Fläche unter einer Kurve wie $y = x^2$ zu bestimmen ist es nicht, weil der obere Rand gekrümmt ist. **Riemann-Summen** lösen das, indem sie die Fläche mit schmalen Rechtecken füllen und diese addieren, und auf dieser Idee baut das gesamte bestimmte Integral auf.

## Was ist eine Riemann-Summe?

Eine **Riemann-Summe** ist eine Schätzung der Fläche unter $y = f(x)$ auf einem Intervall $[a, b]$ mithilfe von Rechtecken:

1. Zerlege $[a, b]$ in $n$ gleich große Teile, jeder mit der Breite

$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$

2. Wähle in jedem Teil eine Stützstelle $x_i^*$ und nimm $f(x_i^*)$ als Höhe des Rechtecks.
3. Addiere die Flächen, Höhe mal Breite:

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

Die einzige Entscheidung, die du triffst, ist, **wo** in jedem Teil du die Höhe abliest. Daraus ergeben sich die drei Standardregeln.

## Linke, rechte und Mittelpunkts-Riemann-Summen

Mit $x_0 = a$, $x_1 = a + \Delta x$, $x_2 = a + 2\Delta x$ und so weiter bis $x_n = b$:

| Regel | Stützstelle im Teil $i$ | Summe |
| --- | --- | --- |
| Linke Summe | linker Rand, $x_{i-1} = a + (i-1)\Delta x$ | $L_n = \Delta x\,[f(x_0) + f(x_1) + \cdots + f(x_{n-1})]$ |
| Rechte Summe | rechter Rand, $x_i = a + i\,\Delta x$ | $R_n = \Delta x\,[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)]$ |
| Mittelpunktssumme | Mitte, $a + (i - \frac{1}{2})\Delta x$ | $M_n = \Delta x\,[f(m_1) + f(m_2) + \cdots + f(m_n)]$ |

Beachte, dass die linke Summe jeden Punkt **außer dem letzten** verwendet und die rechte Summe jeden Punkt **außer dem ersten**.

## Rechenbeispiel 1: Fläche unter y = x² von 0 bis 2

Schätze $\int_0^2 x^2\,dx$ mit $n = 4$ über linke, rechte und Mittelpunktssumme.

**Schritt 1. Breite.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$. Die Teilungspunkte sind $0, 0.5, 1, 1.5, 2$.

```graph
title: 'Riemann-Summen: Linke, rechte und Mittelpunktsregel mit Beispielen'
caption: 'Jedes Teilstück hat die Breite $0.5$. Die Punkte markieren die Höhen am rechten Rand $0.25, 1, 2.25$ und $4$. Die schattierte exakte Fläche ist $\frac{8}{3}$.'
x: [-0.5, 2.5]
y: [-0.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x²
shade: {expr: x^2, from: 0, to: 2}
points:
  - [0.5, 0.25, '0.25']
  - [1, 1, '1']
  - [1.5, 2.25, '2.25']
  - [2, 4, '4']
vertical:
  - {x: 0.5}
  - {x: 1}
  - {x: 1.5}
  - {x: 2}
```

**Schritt 2. Linke Summe.** Höhen bei $0, 0.5, 1, 1.5$:

$$L_4 = 0.5\,[0 + 0.25 + 1 + 2.25] = 0.5(3.5) = 1.75$$

**Schritt 3. Rechte Summe.** Höhen bei $0.5, 1, 1.5, 2$:

$$R_4 = 0.5\,[0.25 + 1 + 2.25 + 4] = 0.5(7.5) = 3.75$$

**Schritt 4. Mittelpunktssumme.** Mittelpunkte $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$:

$$M_4 = 0.5\,[0.0625 + 0.5625 + 1.5625 + 3.0625] = 0.5(5.25) = 2.625$$

Die exakte Fläche (die wir unten bestätigen) ist $\frac{8}{3} \approx 2.667$. Die linke Summe ist viel zu klein, die rechte viel zu groß, und die Mittelpunktssumme weicht nur um $0.04$ ab.

## Über- oder Unterschätzung?

Bei einer **steigenden** Funktion wie $x^2$ auf $[0, 2]$ ist der linke Rand jedes Teilstücks der tiefste Punkt, also liegt jedes linke Rechteck unter der Kurve: **Linke Summen unterschätzen** (sie sind hier Untersummen). Der rechte Rand ist der höchste Punkt, also **überschätzen rechte Summen** (sie sind hier Obersummen). Bei einer fallenden Funktion ist es umgekehrt.

Bei der Mittelpunktsregel kommt es dagegen auf die **Krümmung** an. Bei einer linksgekrümmten Kurve wie $x^2$ unterschätzt die Mittelpunktssumme (nur leicht), bei einer rechtsgekrümmten Kurve überschätzt sie.

| Form der Funktion | Linke Summe | Rechte Summe | Mittelpunktssumme |
| --- | --- | --- | --- |
| Steigend | zu klein | zu groß | (Krümmung prüfen) |
| Fallend | zu groß | zu klein | (Krümmung prüfen) |
| Linksgekrümmt | | | zu klein |
| Rechtsgekrümmt | | | zu groß |

Der Mittelwert aus linker und rechter Summe ergibt die **Trapezregel**: $\frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$. Bei einer linksgekrümmten Kurve überschätzt die Trapezregel, der wahre Wert liegt also zwischen Mittelpunkts- und Trapezschätzung: $2.625 < \frac{8}{3} < 2.75$.

## Rechenbeispiel 2: eine fallende Funktion

Schätze $\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ mit $n = 4$ nach allen drei Regeln.

**Schritt 1. Breite.** $\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = 0.5$. Teilungspunkte: $1, 1.5, 2, 2.5, 3$.

**Schritt 2. Linke Summe.** Höhen $f(1) = 1$, $f(1.5) \approx 0.6667$, $f(2) = 0.5$, $f(2.5) = 0.4$:

$$L_4 = 0.5\,[1 + 0.6667 + 0.5 + 0.4] \approx 1.2833$$

**Schritt 3. Rechte Summe.** Höhen bei $1.5, 2, 2.5, 3$:

$$R_4 = 0.5\,[0.6667 + 0.5 + 0.4 + 0.3333] = 0.5(1.9) = 0.95$$

**Schritt 4. Mittelpunktssumme.** Die Mittelpunkte $1.25, 1.75, 2.25, 2.75$ liefern die Höhen $0.8$, $0.5714$, $0.4444$, $0.3636$:

$$M_4 \approx 0.5(2.1795) \approx 1.0898$$

Der exakte Wert ist $\ln 3 \approx 1.0986$. Diesmal ist die Funktion **fallend**, die linke Summe ist also zu groß und die rechte zu klein: genau umgekehrt wie in Beispiel 1. Die Kurve ist linksgekrümmt, deshalb ist die Mittelpunktssumme wieder etwas zu klein.

## Rechenbeispiel 3: Riemann-Summen aus einer Tabelle

Die Geschwindigkeit eines Autos wird jede Sekunde gemessen:

| $t$ (s) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $v$ (m/s) | 0 | 4 | 7 | 9 | 10 |

Schätze die zurückgelegte Strecke von $t = 0$ bis $t = 4$.

Die Strecke ist die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve, und $\Delta t = 1$.

**Linke Summe:** $1 \cdot (0 + 4 + 7 + 9) = 20$ m.

**Rechte Summe:** $1 \cdot (4 + 7 + 9 + 10) = 30$ m.

In der Tabelle steigt die Geschwindigkeit nur an, also liegt die wahre Strecke (sofern sie auch zwischen den Messungen steigt) zwischen $20$ und $30$ Metern. Eine Mittelpunktssumme mit $n = 4$ ist hier nicht möglich, weil die Tabelle keine Werte bei $t = 0.5, 1.5, \ldots$ enthält. Mit $n = 2$ geht es: Die Mittelpunkte $t = 1$ und $t = 3$ liefern $2 \cdot (4 + 9) = 26$ m.

## Riemann-Summen mit dem Summenzeichen schreiben

Für eine rechte Summe auf $[a, b]$ mit $n$ Teilen sind die Stützstellen $x_i = a + i\,\Delta x$, also

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} f\!\left(a + i\,\frac{b - a}{n}\right)\frac{b - a}{n}$$

Für linke Summen ersetzt du $i$ durch $i - 1$, für Mittelpunkte durch $i - \frac{1}{2}$.

### Rechenbeispiel 4: die exakte Fläche als Grenzwert

Bestimme $\int_0^2 x^2\,dx$ als Grenzwert rechter Summen.

**Schritt 1. Ansatz.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ und $x_i = \frac{2i}{n}$, also $f(x_i) = \frac{4i^2}{n^2}$.

**Schritt 2. Summe aufschreiben.**

$$R_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{4i^2}{n^2} \cdot \frac{2}{n} = \frac{8}{n^3}\sum_{i=1}^{n} i^2$$

**Schritt 3. Die Formel für die Summe der Quadratzahlen verwenden** $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$:

$$R_n = \frac{8}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{4}{3}\left(1 + \frac{1}{n}\right)\left(2 + \frac{1}{n}\right)$$

**Schritt 4. Grenzwert bilden.** Für $n \to \infty$ gehen beide Terme $\frac{1}{n}$ gegen $0$:

$$\lim_{n\to\infty} R_n = \frac{4}{3}(1)(2) = \frac{8}{3}$$

Die exakte Fläche ist also $\frac{8}{3}$. Mit $n = 4$ liefert die Formel $\frac{4}{3}(1.25)(2.25) = 3.75$, passend zu Rechenbeispiel 1.

## Von Riemann-Summen zum bestimmten Integral

Die Rechnung oben ist genau die Definition des **bestimmten Integrals**:

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

Selbst die Schreibweise spiegelt die Summe wider: $\int$ ist ein langgezogenes "S" für Summe, $f(x)$ ist die Höhe und $dx$ die unendlich schmale Breite. Wo $f$ negativ ist, haben die Rechtecke eine negative Höhe, das Integral misst also eine **orientierte** Fläche: Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche darunter negativ.

Jedes Mal einen Grenzwert von Summen zu berechnen wäre mühsam. Der [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/blog/fundamental-theorem-of-calculus) zeigt, dass du das überspringen kannst: $\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3}$, mithilfe von [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives). Riemann-Summen brauchst du trotzdem, um Integrale aus Messdaten oder von Funktionen ohne einfache Stammfunktion anzunähern.

## Typische Fehler bei Riemann-Summen

1. **$n + 1$ Höhen verwenden.** Bei $n = 4$ gibt es 5 Teilungspunkte, aber nur 4 Rechtecke. Die linke Summe lässt den letzten Punkt weg, die rechte den ersten.
2. **Vergessen, mit $\Delta x$ zu multiplizieren.** Die Summe der Höhen in Beispiel 1 ist $7.5$, nicht die Fläche $3.75$.
3. **Falsche Mittelpunkte.** Der Mittelpunkt von $[1, 1.5]$ ist $1.25$. Berechne $f(1.25)$, nicht den Mittelwert von $f(1)$ und $f(1.5)$ (das wäre die Trapezregel).
4. **Ungleiche Breiten in einer Tabelle.** Sind die Daten nicht gleichmäßig verteilt, braucht jedes Rechteck seine eigene Breite. Verwende dann kein einheitliches $\Delta x$.
5. **Über- und Unterschätzung verwechseln.** Steigen oder Fallen entscheidet über linke und rechte Summen, die Krümmung über Mittelpunkts- und Trapezregel.

## Üben mit Rechtecken

Riemann-Summen belohnen eine feste Routine: $\Delta x$ bestimmen, Stützstellen auflisten, auswerten, addieren, multiplizieren. In der interaktiven Lektion unten baust du linke, rechte und Mittelpunktssummen mit sofortiger Rückmeldung, damit du genau siehst, welche Höhe oder Breite falsch war, und es beim nächsten Versuch richtig machst.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist eine Riemann-Summe?

Eine Riemann-Summe nähert die Fläche unter einer Kurve an, indem man das Intervall in Teile zerlegt, auf jedem Teil ein Rechteck errichtet und die Rechteckflächen addiert. Mehr Teile liefern eine bessere Schätzung, und im Grenzwert erhältst du die exakte Fläche, das bestimmte Integral.

### Was ist der Unterschied zwischen linker und rechter Riemann-Summe?

Sie verwenden verschiedene Höhen. Die linke Riemann-Summe nimmt die Höhe jedes Rechtecks am linken Rand seines Teilstücks, die rechte am rechten Rand. Auf demselben Intervall mit demselben $n$ verwenden sie bis auf eine alle dieselben Höhen.

### Ist die Mittelpunktsregel genauer als linke und rechte Summen?

Meistens ja, und zwar deutlich. Die Mittelpunktsregel nimmt die Höhen aus der Mitte jedes Teilstücks, sodass sich das Zuviel auf der einen Seite jedes Rechtecks und das Zuwenig auf der anderen ungefähr ausgleichen. Ihr Fehler ist typischerweise etwa halb so groß wie bei der Trapezregel und viel kleiner als bei linken oder rechten Summen.

### Woran erkenne ich, ob eine Riemann-Summe über- oder unterschätzt?

Bei linken und rechten Summen schaust du, ob die Funktion steigt oder fällt. Steigt $f$, sind linke Summen zu klein und rechte zu groß. Bei der Mittelpunktsregel kommt es auf die Krümmung an: Bei Linkskrümmung ist die Mittelpunktssumme zu klein.

### Wie hängen Riemann-Summen mit Integralen zusammen?

Das bestimmte Integral ist als Grenzwert von Riemann-Summen definiert: $\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i^*)\,\Delta x$. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung liefert dann eine Abkürzung, um diesen Grenzwert mit Stammfunktionen zu berechnen.