# Sandwich-Satz: sin x/x, x² sin(1/x) und klassische Trig-Grenzwerte > Den Sandwich-Satz Schritt für Schritt verstehen: warum sin x/x gegen 1 geht, dazu klassische Grenzwerte wie x² sin(1/x) und (1 - cos x)/x. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/sandwich-satz-trigonometrische-grenzwerte Aktualisiert: 2026-11-05 ## Das Wichtigste - Gilt $g(x) \le f(x) \le h(x)$ in der Nähe von $a$ und streben $g$ und $h$ gegen denselben Grenzwert $L$, dann strebt auch $f(x)$ gegen $L$. - Die Abschätzung $-1 \le \sin(\text{anything}) \le 1$ ist der Ausgangspunkt für fast jede Aufgabe zum Sandwich-Satz. - Ein Flächenvergleich am Einheitskreis liefert $\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$, wodurch $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ auf genau $1$ eingeschnürt wird. - Aus $\frac{\sin x}{x} \to 1$ erhältst du die anderen klassischen trigonometrischen Grenzwerte allein durch Umformen, etwa $\frac{1 - \cos x}{x} \to 0$ und $\frac{\tan x}{x} \to 1$. - Die beiden einschließenden Funktionen müssen gegen dieselbe Zahl streben, sonst sagt dir der Sandwich-Satz nichts. Du setzt $x = 0$ in $\frac{\sin x}{x}$ ein und erhältst $\frac{0}{0}$. Du versuchst es mit $x^2 \sin(1/x)$, und der Taschenrechner zeigt ein Zittern, das nie zur Ruhe kommt. Faktorisieren bringt nichts, und laut Grenzwertsätzen darfst du das Produkt nicht aufteilen, weil $\sin(1/x)$ keinen Grenzwert hat. Der **Sandwich-Satz** (auch Einschnürungssatz) ist genau für solche Grenzwerte gemacht. Dieser Leitfaden erklärt, was der Sandwich-Satz besagt, stellt ein zuverlässiges Vorgehen in vier Schritten vor und rechnet die klassischen trigonometrischen Grenzwerte durch, die in jeder Analysis-Grundvorlesung und in der Oberstufe drankommen, einschließlich des berühmten Beweises, dass $\frac{\sin x}{x} \to 1$ gilt. ## Was ist der Sandwich-Satz? Anschaulich gesagt: Steckt eine Funktion zwischen einem Boden und einer Decke fest und treffen sich Boden und Decke in derselben Höhe, dann wird auch die Funktion in der Mitte auf diese Höhe zusammengedrückt. Hier die formale Aussage. Angenommen, für alle $x$ in der Nähe von $a$ (eventuell mit Ausnahme von $x = a$ selbst) gilt $$g(x) \le f(x) \le h(x)$$ und außerdem $$\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L.$$ Dann gilt $$\lim_{x \to a} f(x) = L.$$ Dieselbe Aussage gilt für einseitige Grenzwerte und für Grenzwerte mit $x \to \infty$. Du findest den Satz auch unter den Namen **Einschnürungssatz**, **Einschließungskriterium** oder **Polizistenregel**. Auf der [Übersichtsseite zum Sandwich-Satz](/theorems/squeeze-theorem) steht die Aussage in kompakter Form. Zwei Details sind wichtig: 1. Die Ungleichung muss nur **in der Nähe** von $a$ gelten, nicht überall. Für $x \to 0$ genügt es, wenn sie auf einem kleinen Intervall wie $0 < \lvert x \rvert < 1$ gilt. 2. Die beiden Schranken müssen **denselben** Grenzwert haben. Geht der Boden gegen $-1$ und die Decke gegen $1$, weißt du nur, dass $f$ dazwischen bleibt, aber nicht, wohin es strebt. Wenn du vorher noch einmal auffrischen möchtest, was ein Grenzwert ist, lies [Was ist ein Grenzwert in der Analysis?](/blog/what-is-a-limit). ## Die Abschätzung hinter fast jeder Aufgabe Sinus und Kosinus verlassen nie das Intervall $[-1, 1]$, ganz egal, was du einsetzt: $$-1 \le \sin(\text{anything}) \le 1, \qquad -1 \le \cos(\text{anything}) \le 1.$$ Das ist schon der ganze Trick. Das Argument kann $1/x$, $x^3$ oder $e^x$ sein, der Funktionswert bleibt trotzdem eingesperrt. Die meisten Aufgaben zum Sandwich-Satz beginnen mit dieser Zeile und multiplizieren oder dividieren dann jeden Teil mit etwas, das gegen $0$ oder $\infty$ geht. Die beschränkte Welle siehst du auf der [Seite zur Sinusfunktion](/functions/sine-function). ## Den Sandwich-Satz in 4 Schritten anwenden 1. **Den beschränkten Teil isolieren.** Suche den oszillierenden Teil, meist einen Sinus oder Kosinus, und schreibe $-1 \le \sin(\dots) \le 1$. 2. **Den Rest der Funktion aufbauen.** Multipliziere (oder dividiere) alle drei Teile mit dem übrigen Faktor. Kann dieser Faktor negativ werden, arbeite mit Beträgen, damit sich die Ungleichung nicht unbemerkt umdreht. 3. **Den Grenzwert beider Schranken bilden.** Verwende direktes Einsetzen oder die [Grenzwertsätze](/rules/limit-laws). 4. **Prüfen, ob sie übereinstimmen.** Streben beide Schranken gegen $L$, folgt, dass auch die mittlere Funktion dorthin strebt. ## Rechenbeispiel 1: x² sin(1/x) für x gegen 0 Bestimme $\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$. **Warum andere Methoden scheitern.** Einsetzen liefert $0 \cdot \sin(1/0)$, und das ist nicht definiert. Der Produktsatz verlangt, dass beide Grenzwerte existieren, aber $\sin(1/x)$ schwankt zwischen $-1$ und $1$, und zwar unendlich oft in der Nähe von $0$, und hat keinen Grenzwert. **Schritt 1. Den oszillierenden Teil abschätzen.** Für jedes $x \ne 0$ gilt $$-1 \le \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le 1.$$ **Schritt 2. Mit $x^2$ multiplizieren.** Da $x^2 > 0$ für $x \ne 0$ gilt, drehen sich die Ungleichungen beim Multiplizieren nicht um: $$-x^2 \le x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \le x^2.$$ **Schritt 3. Die Grenzwerte der Schranken bilden.** $$\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0, \qquad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.$$ **Schritt 4. Folgern.** Beide Schranken gehen gegen $0$, also gilt $$\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0.$$ ```graph title: 'x² sin(1/x) eingeschnürt zwischen y = x² und y = -x² nahe 0' caption: 'Die Kurve $x^2 \sin(1/x)$ schwingt in der Nähe von $0$ unendlich oft, ist aber zwischen $-x^2$ und $x^2$ eingesperrt, die beide auf $0$ zusammenschrumpfen.' x: [-0.5, 0.5] y: [-0.25, 0.25] functions: - expr: x^2*sin(1/x) label: y = x² sin(1/x) - expr: x^2 label: y = x² dashed: true - expr: -x^2 label: y = -x² dashed: true ``` ## Rechenbeispiel 2: sin x / x für x gegen unendlich Bestimme $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$. **Schritt 1.** Beginne mit $-1 \le \sin x \le 1$. **Schritt 2.** Uns interessieren nur große $x$, also nehmen wir $x > 0$ an. Beim Dividieren durch eine positive Zahl bleibt die Richtung der Ungleichung erhalten: $$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}.$$ **Schritt 3.** Beide Schranken gehen gegen $0$ für $x \to \infty$ (lies [Grenzwerte im Unendlichen](/blog/limits-at-infinity), falls dir dieser Schritt nicht vertraut ist). **Schritt 4.** Daher gilt $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0.$$ ```graph title: 'sin(x)/x eingesperrt zwischen 1/x und -1/x für wachsendes x' caption: 'Für $x \to \infty$ ziehen sich die Schranken $\pm\frac{1}{x}$ auf $0$ zusammen, und $\frac{\sin x}{x}$ wird mit ihnen auf $0$ eingeschnürt.' x: [0, 20] y: [-0.6, 1.1] functions: - expr: sin(x)/x label: y = sin(x)/x - expr: 1/x label: y = 1/x dashed: true domain: [1, 20] - expr: -1/x label: y = -1/x dashed: true domain: [1, 20] ``` Achte auf den Gegensatz zum nächsten Beispiel. Derselbe Ausdruck hat im Unendlichen den Grenzwert $0$, an der Stelle null aber den Grenzwert $1$. Prüfe immer, wohin $x$ strebt. ## Rechenbeispiel 3: warum der Grenzwert von sin x / x für x gegen 0 gleich 1 ist Das ist der wichtigste trigonometrische Grenzwert der einführenden Analysis: $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$ Einsetzen liefert $\frac{0}{0}$, und die einfache Abschätzung $-1 \le \sin x \le 1$ reicht hier nicht aus (Division durch $x$ ergibt die Schranken $\pm\frac{1}{x}$, die explodieren). Wir brauchen schärfere Schranken, und die liefert die Geometrie. **Schritt 1. Den Einheitskreis aufstellen.** Sei $0 < x < \frac{\pi}{2}$, gemessen im Bogenmaß. Sei $O$ der Ursprung, $A = (1, 0)$, $P = (\cos x, \sin x)$ auf dem Kreis und $T = (1, \tan x)$ der Punkt, in dem die Gerade durch $O$ und $P$ die senkrechte Gerade $x = 1$ schneidet. **Schritt 2. Drei Flächen vergleichen.** Das kleine Dreieck $OAP$ liegt im Kreissektor $OAP$, und dieser liegt im großen Dreieck $OAT$: - Dreieck $OAP$: Grundseite $1$, Höhe $\sin x$, Fläche $\frac{1}{2}\sin x$. - Sektor mit Winkel $x$ in einem Kreis mit Radius $1$: Fläche $\frac{1}{2}x$. - Dreieck $OAT$: Grundseite $1$, Höhe $\tan x$, Fläche $\frac{1}{2}\tan x$. Also gilt $$\frac{1}{2}\sin x \le \frac{1}{2}x \le \frac{1}{2}\tan x \quad\Longrightarrow\quad \sin x \le x \le \frac{\sin x}{\cos x}.$$ **Schritt 3. Durch $\sin x$ dividieren.** Der Sinus ist auf $0 < x < \frac{\pi}{2}$ positiv, also dreht sich nichts um: $$1 \le \frac{x}{\sin x} \le \frac{1}{\cos x}.$$ **Schritt 4. Kehrwerte bilden.** Alle drei Größen sind positiv, und beim Übergang zu den Kehrwerten positiver Zahlen drehen sich die Ungleichungen um: $$\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1.$$ **Schritt 5. Negative $x$ behandeln.** Sowohl $\cos x$ als auch $\frac{\sin x}{x}$ sind gerade Funktionen (das Ersetzen von $x$ durch $-x$ ändert nichts), also gilt dieselbe Ungleichung für $-\frac{\pi}{2} < x < 0$. **Schritt 6. Einschnüren.** Es gilt $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ und $\lim_{x \to 0} 1 = 1$, also $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$$ ```graph title: 'sin(x)/x eingeschnürt zwischen cos(x) und 1 nahe x = 0' caption: 'Für $0 < \lvert x \rvert < \frac{\pi}{2}$ liegt der Graph von $\frac{\sin x}{x}$ zwischen $\cos x$ und $1$. Beide Schranken liefern den Wert $1$ an der Stelle $x = 0$, also ist der Grenzwert $1$.' x: [-1.6, 1.6] y: [-0.1, 1.3] functions: - expr: sin(x)/x label: y = sin(x)/x - expr: cos(x) label: y = cos(x) dashed: true - expr: '1' label: y = 1 dashed: true points: - [0, 1, 'Lücke bei (0, 1)', open] ``` > **Tipp:** Dieser Grenzwert ist der Grund, warum die Ableitung von $\sin x$ gleich $\cos x$ ist. Der Beweis in [Ableitungen trigonometrischer Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions) verwendet ihn direkt. Deshalb ist es auch ein Zirkelschluss, die [Regel von L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule) auf $\frac{\sin x}{x}$ anzuwenden: L'Hôpital braucht diese Ableitung bereits. ## Rechenbeispiel 4: der Grenzwert von (1 - cos x)/x Bestimme $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$. Sobald du $\frac{\sin x}{x} \to 1$ kennst, brauchst du keine neue Einschnürung. Durch Umformen wird daraus der Grenzwert, den du schon hast. **Schritt 1. Mit dem konjugierten Ausdruck** $1 + \cos x$ **erweitern:** $$\frac{1 - \cos x}{x} \cdot \frac{1 + \cos x}{1 + \cos x} = \frac{1 - \cos^2 x}{x(1 + \cos x)}.$$ **Schritt 2. $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ verwenden:** $$\frac{\sin^2 x}{x(1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{\sin x}{1 + \cos x}.$$ **Schritt 3. Die einzelnen Grenzwerte bilden.** Der erste Faktor geht gegen $1$. Der zweite ist bei $0$ stetig, also setzt du ein: $\frac{\sin 0}{1 + \cos 0} = \frac{0}{2} = 0$. $$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 1 \cdot 0 = 0.$$ Mit denselben Schritten erhältst du einen nahen Verwandten. Für $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ ergibt sich $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. ## Rechenbeispiel 5: sin(kx)/x und tan x/x umskalieren Viele Prüfungsaufgaben verstecken $\frac{\sin x}{x}$. Die Lösung: Sorge dafür, dass der Nenner zum Argument des Sinus passt. **Bestimme $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}$.** Das Argument ist $5x$, also wollen wir $5x$ im Nenner haben. Multipliziere und dividiere durch $5$: $$\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}.$$ Für $x \to 0$ geht auch $u = 5x \to 0$, also $\frac{\sin u}{u} \to 1$. Das Ergebnis ist $\frac{5}{3}$. **Bestimme $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$.** Schreibe den Tangens als Sinus durch Kosinus: $$\frac{\tan x}{x} = \frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} \to 1 \cdot \frac{1}{1} = 1.$$ ## Die Version mit Betrag Aus dem Sandwich-Satz folgt eine praktische Abkürzung: Gilt $\lvert f(x) \rvert \le h(x)$ und $h(x) \to 0$, dann gilt $f(x) \to 0$. Denn es ist $-h(x) \le f(x) \le h(x)$, und beide Seiten gehen gegen $0$. Zum Beispiel gilt $\lvert x \sin(1/x) \rvert \le \lvert x \rvert$ und $\lvert x \rvert \to 0$, also $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$. Diese Version funktioniert nur, wenn der gesuchte Grenzwert $0$ ist. ## Häufige Fehler beim Sandwich-Satz 1. **Schranken, die nicht übereinstimmen.** Wer $-1 \le \cos x \le 1$ hinschreibt und dort aufhört, hat über den Grenzwert nichts bewiesen. Boden und Decke müssen gegen dieselbe Zahl streben. 2. **Unachtsam mit Vorzeichen.** Für $x \sin(1/x)$ ist $-x \le x\sin(1/x) \le x$ falsch, wenn $x < 0$ ist, denn die Multiplikation mit einer negativen Zahl dreht die Ungleichungen um. Verwende stattdessen $-\lvert x \rvert \le x\sin(1/x) \le \lvert x \rvert$. 3. **Den Grenzwert mit dem Produktsatz aufteilen.** $\lim x^2 \cdot \lim \sin(1/x) = 0 \cdot (\text{something})$ zu schreiben ist unzulässig, weil $\lim_{x \to 0}\sin(1/x)$ nicht existiert. Die Grenzwertsätze verlangen, dass jeder Teil einen Grenzwert hat. 4. **$x \to 0$ mit $x \to \infty$ verwechseln.** $\frac{\sin x}{x}$ geht gegen $1$ an der Stelle $0$, im Unendlichen aber gegen $0$. 5. **Argument und Nenner passen nicht zusammen.** $\frac{\sin(5x)}{x}$ geht nicht gegen $1$. Es ist $5 \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} \to 5$. 6. **Rechnen im Gradmaß.** Die Fläche eines Sektors ist nur im Bogenmaß gleich $\frac{1}{2}x$. Im Gradmaß strebt $\frac{\sin x}{x}$ gegen $\frac{\pi}{180}$, nicht gegen $1$. Weitere solche Fallen aus der gesamten einführenden Analysis findest du in [12 häufige Fehler in der Analysis](/blog/common-calculus-mistakes). ## Kurzübersicht: klassische trigonometrische Grenzwerte | Grenzwert | Wert | So kommst du darauf | | --- | --- | --- | | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ | $1$ | Einschnüren mit $\cos x$ und $1$ | | $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x}$ | $k$ | Umschreiben zu $k \cdot \frac{\sin(kx)}{kx}$ | | $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ | $1$ | $\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x}$ | | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x}$ | $0$ | Mit dem konjugierten Ausdruck $1 + \cos x$ erweitern | | $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$ | $\frac{1}{2}$ | Konjugiert erweitern, dann $\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1 + \cos x}$ | | $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ | $0$ | Einschnüren mit $\pm x^2$ | | $\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ | $0$ | Einschnüren mit $\pm\lvert x \rvert$ | | $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ | $0$ | Einschnüren mit $\pm\frac{1}{x}$ | Der Sandwich-Satz ist eine von fünf Standardstrategien für Grenzwerte. Den kompletten Werkzeugkasten, einschließlich der Frage, wann du zuerst zu Einsetzen, Faktorisieren oder konjugiertem Erweitern greifen solltest, findest du in [Grenzwerte berechnen](/blog/how-to-evaluate-limits). ## Üben, bis die Schranken wie von selbst kommen Das Schwierige am Sandwich-Satz ist nicht der Satz selbst. Es ist die Wahl der Schranken und der saubere Umgang mit den Ungleichheitszeichen. Nach etwa einem Dutzend Aufgaben geht das automatisch. Arbeite die interaktiven Übungen zu Grenzwerten unten durch: Jede Aufgabe gibt sofort Rückmeldung, weist direkt auf nicht passende Schranken oder umgedrehte Ungleichungen hin und zeigt die vollständige Lösung, damit du genau siehst, wo die Einschnürung passiert. ## Häufig gestellte Fragen ### Was besagt der Sandwich-Satz in einfachen Worten? Ist eine Funktion zwischen zwei anderen Funktionen eingeklemmt und streben diese beiden gegen denselben Wert, dann bleibt der eingeklemmten Funktion keine andere Wahl. Sie muss gegen denselben Wert streben. Deshalb heißt der Satz auch Einschnürungssatz oder Einschließungskriterium. ### Wann sollte ich den Sandwich-Satz verwenden? Verwende ihn, wenn ein Grenzwert einen beschränkten, aber stark oszillierenden Teil enthält, etwa $\sin(1/x)$ oder $\cos x$ für $x \to \infty$, der mit etwas multipliziert oder durch etwas geteilt wird, das gegen null oder unendlich geht. Direktes Einsetzen und Faktorisieren scheitern hier, und die Grenzwertsätze greifen nicht, weil der oszillierende Teil selbst keinen Grenzwert hat. ### Warum ist der Grenzwert von sin x durch x gleich 1? Vergleicht man am Einheitskreis die Flächen zweier Dreiecke und eines Kreissektors, so ergibt sich $\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1$ für $x$ nahe $0$. Da $\cos x \to 1$ gilt, erzwingt der Sandwich-Satz $\frac{\sin x}{x} \to 1$. Das funktioniert nur, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird. ### Kann ich für sin x durch x stattdessen die Regel von L'Hôpital verwenden? Du erhältst zwar die richtige Zahl, aber die Argumentation ist ein Zirkelschluss. Die Regel von L'Hôpital braucht die Ableitung von $\sin x$, und diese Ableitung wird mit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ bewiesen. Genau aus diesem Grund verlangen viele Lehrkräfte den Beweis mit dem Sandwich-Satz. ### Was ist der Grenzwert von sin x durch x für x gegen unendlich? Er ist $0$, nicht $1$. Für $x > 0$ gilt $-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$, und beide Schranken gehen gegen $0$, also liefert der Sandwich-Satz $0$.