# Substitutionsregel: So wählst du u, mit Rechenbeispielen > Integration durch Substitution Schritt für Schritt: u geschickt wählen, Grenzen bestimmter Integrale umrechnen, Beispiele und Grenzen der Methode. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/substitutionsregel Aktualisiert: 2026-08-21 ## Das Wichtigste - Die Substitutionsregel ist die umgekehrte Kettenregel: Sieht der Integrand aus wie $f(g(x))\,g'(x)$, setzt du $u = g(x)$ und $du = g'(x)\,dx$. - Wähle als $u$ die innere Funktion, deren Ableitung (bis auf eine Konstante) ebenfalls irgendwo im Integranden steht. - Bei einem bestimmten Integral rechnest du entweder die Grenzen in $u$-Werte um oder kehrst vor dem Einsetzen zu $x$ zurück, aber vermische niemals beides. - Nach dem Substituieren muss jedes $x$ verschwunden sein. Bleibt eines übrig, das du nicht durch $u$ ausdrücken kannst, probiere ein anderes $u$ oder eine andere Methode. Du weißt, dass $\int \cos u\,du = \sin u + C$ gilt. Aber was ist mit $\int 2x\cos(x^2)\,dx$? Keine der Grundregeln greift direkt, und für Integrale gibt es keine Produktregel. Die **Substitutionsregel** ist das Werkzeug, das solche Integrale in welche zurückverwandelt, die du schon kennst, und sie ist bei fast jedem Integral die erste Technik, zu der du greifen solltest. ## Was ist die Substitutionsregel? Die Substitutionsregel (auch Integration durch Substitution oder Variablenwechsel) ist die **Kettenregel rückwärts**. Die Kettenregel besagt $$\frac{d}{dx}\,F(g(x)) = F'(g(x))\cdot g'(x).$$ Jeder Integrand der Form "eine Funktion von $g(x)$, mal $g'(x)$" hat also eine einfache Stammfunktion. Mit $u = g(x)$ wird diese Form offensichtlich: $$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\quad du = g'(x)\,dx.$$ In Worten: Benenne die innere Funktion in $u$ um, ersetze $g'(x)\,dx$ durch $du$, integriere nach $u$ und setze dann wieder $g(x)$ ein. ## Die Substitutionsregel in fünf Schritten 1. **Wähle $u$.** Nimm eine innere Funktion $g(x)$. 2. **Bestimme $du$.** Ableiten: $du = g'(x)\,dx$. 3. **Schreibe alles in $u$ um.** Ersetze $g(x)$ durch $u$ und $g'(x)\,dx$ durch $du$. Es darf kein $x$ übrig bleiben. 4. **Integriere** das neue, einfachere Integral. 5. **Setze zurück** $u = g(x)$ ein und ergänze $+C$. ## So wählst du u Die meiste Kunst bei der Substitution liegt in der Wahl von $u$. Frag dich: **Steckt eine Funktion in einer anderen Funktion, deren Ableitung ebenfalls im Integranden steht?** Wenn ja, ist diese innere Funktion dein $u$. | Integrand | Gute Wahl für $u$ | Warum es funktioniert | | --- | --- | --- | | $2x\cos(x^2)$ | $x^2$ | $du = 2x\,dx$ steht schon da | | $x(x^2+3)^4$ | $x^2+3$ | $du = 2x\,dx$, und $x\,dx$ ist vorhanden | | $\frac{e^x}{e^x+1}$ | $e^x+1$ | $du = e^x\,dx$ ist der Zähler | | $\tan x\sec^2 x$ | $\tan x$ | $du = \sec^2 x\,dx$ | | $\frac{\ln x}{x}$ | $\ln x$ | $du = \frac{1}{x}\,dx$ | | $\sin^4 x \cos x$ | $\sin x$ | $du = \cos x\,dx$ | Einige nützliche Muster: - **Eine Klammer hoch einer Potenz:** Setze $u$ gleich dem Inhalt der Klammer. - **Ein Bruch, dessen Zähler (fast) die Ableitung des Nenners ist:** Setze $u$ gleich dem Nenner. Im Ergebnis taucht $\ln|u|$ auf. - **Eine Exponential- oder trigonometrische Funktion mit kompliziertem Argument:** Setze $u$ gleich dem Argument. > **Tipp:** Konstante Faktoren spielen nie eine Rolle. Ist $du = 2x\,dx$, aber dein Integrand enthält nur $x\,dx$, schreibst du $x\,dx = \tfrac12\,du$ und machst weiter. ## Rechenbeispiel 1: das Grundmuster Berechne $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. **Schritt 1. $u$ wählen.** Die innere Funktion ist $x^2$, also setze $u = x^2$. **Schritt 2. $du$ bestimmen.** $du = 2x\,dx$. **Schritt 3. Umschreiben.** Der Integrand ist $\cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \cos u\,du$. **Schritt 4. Integrieren.** $\int \cos u\,du = \sin u + C$. **Schritt 5. Zurück einsetzen.** $$\int 2x\cos(x^2)\,dx = \sin(x^2) + C$$ Kontrolle durch Ableiten: Die Kettenregel liefert $\cos(x^2)\cdot 2x$. Es passt. ## Rechenbeispiel 2: einen konstanten Faktor anpassen Berechne $\int x(x^2+3)^4\,dx$. **Schritt 1.** Setze $u = x^2 + 3$. **Schritt 2.** $du = 2x\,dx$, also $x\,dx = \tfrac12\,du$. **Schritt 3.** Substituieren: $$\int (x^2+3)^4\,x\,dx = \int u^4 \cdot \tfrac12\,du = \tfrac12\int u^4\,du.$$ **Schritt 4.** $\tfrac12\cdot\frac{u^5}{5} = \frac{u^5}{10} + C$. **Schritt 5.** $$\int x(x^2+3)^4\,dx = \frac{(x^2+3)^5}{10} + C$$ $(x^2+3)^4$ auszumultiplizieren hätte auch funktioniert, aber viel länger gedauert und zu Rechenfehlern eingeladen. ## Rechenbeispiel 3: ein Ergebnis mit Logarithmus Berechne $\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx$. **Schritt 1.** Setze $u = e^x + 1$, den Nenner. **Schritt 2.** $du = e^x\,dx$, und das ist genau der Zähler mal $dx$. **Schritt 3.** Das Integral wird zu $\int \frac{1}{u}\,du$. **Schritt 4.** $\int \frac1u\,du = \ln|u| + C$. **Schritt 5.** Da $e^x + 1 > 0$ gilt, kann der Betrag weg: $$\int \frac{e^x}{e^x+1}\,dx = \ln(e^x+1) + C$$ ## Rechenbeispiel 4: wenn ein x übrig bleibt Berechne $\int x\sqrt{x+1}\,dx$. Setze $u = x + 1$, also $du = dx$. Die Wurzel wird zu $\sqrt u$, aber vorne steht noch ein $x$. Der Trick: Löse die Substitution nach $x$ auf. Aus $u = x+1$ folgt $x = u - 1$. $$\int x\sqrt{x+1}\,dx = \int (u-1)\,u^{1/2}\,du = \int \left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du$$ Integriere jede Potenz: $$= \tfrac25 u^{5/2} - \tfrac23 u^{3/2} + C = \tfrac25 (x+1)^{5/2} - \tfrac23 (x+1)^{3/2} + C$$ Dieses "nach $x$ auflösen" rettet viele Substitutionen, bei denen $u$ linear ist. ## Rechenbeispiel: ein Logarithmus im Zähler Berechne $\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx$. **Schritt 1. Das Paar erkennen.** Die Funktion $\ln x$ ist quadriert, und ihre Ableitung $\frac1x$ steht als Faktor da. Also setze $u = \ln x$. **Schritt 2.** $du = \frac1x\,dx$. **Schritt 3. Umschreiben.** $\frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = (\ln x)^2\cdot\frac1x\,dx = u^2\,du$. **Schritt 4.** $\int u^2\,du = \frac{u^3}{3} + C$. **Schritt 5.** $$\int \frac{(\ln x)^2}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$$ $\frac1x$ als Ableitung von $\ln x$ zu erkennen ist eine Fähigkeit, die es wert ist, eigens geübt zu werden. Sie taucht ständig auf, oft getarnt als Division durch $x$. ## Immer durch Ableiten kontrollieren Jedes Ergebnis einer Substitution lässt sich in Sekunden überprüfen, denn das Ableiten ist einfach die Kettenregel. Nimm das Ergebnis aus Beispiel 2, $\frac{(x^2+3)^5}{10}$. Seine Ableitung ist $$\frac{5(x^2+3)^4\cdot 2x}{10} = x(x^2+3)^4,$$ und das ist genau der Integrand. Liefert die Kontrolle einen zusätzlichen oder fehlenden Faktor (etwa $2x(x^2+3)^4$), weißt du sofort, dass ein $\tfrac12$ verloren gegangen ist. Diese Gewohnheit fängt fast jeden Fehler bei konstanten Faktoren ab, bevor er dich Punkte kostet. ## Substitution bei bestimmten Integralen: die Grenzen umrechnen Bei einem bestimmten Integral sind die Grenzen $a$ und $b$ Werte von $x$. Sobald du zu $u$ wechselst, müssen sie zu $u$-Werten werden: $$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$ ### Rechenbeispiel 5: die Grenzen umrechnen Berechne $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx$. **Schritt 1.** Setze $u = x^2 + 1$, also $du = 2x\,dx$. **Schritt 2. Grenzen umrechnen.** Bei $x = 0$ ist $u = 0^2 + 1 = 1$. Bei $x = 1$ ist $u = 1^2 + 1 = 2$. **Schritt 3. Vollständig in $u$ umschreiben und integrieren.** $$\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^2 = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$ Ein Zurücksetzen ist nicht nötig, weil die neuen Grenzen schon zu $u$ gehören. ```graph title: 'Fläche unter y = 2x(x² + 1)³ von x = 0 bis x = 1' caption: 'Die schattierte Fläche ist $\int_0^1 2x(x^2+1)^3\,dx = \int_1^2 u^3\,du = \frac{15}{4}$.' x: [-0.5, 1.3] y: [-2, 18] functions: - expr: 2x(x^2+1)^3 label: y = 2x(x² + 1)³ shade: {expr: 2x(x^2+1)^3, from: 0, to: 1} points: - [1, 16, '(1, 16)'] ``` ### Rechenbeispiel 6: ein trigonometrisches bestimmtes Integral Berechne $\int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx$. Setze $u = \tan x$, also $du = \sec^2 x\,dx$. Neue Grenzen: $\tan 0 = 0$ und $\tan\frac{\pi}{4} = 1$. $$\int_0^{\pi/4} \tan x\sec^2 x\,dx = \int_0^1 u\,du = \left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 = \frac12$$ > **Tipp:** Wenn du willst, kannst du auch die Stammfunktion $\tfrac12\tan^2 x$ bestimmen und dann die ursprünglichen $x$-Grenzen einsetzen. Du erhältst dasselbe $\tfrac12$. Setze nur niemals $x$-Grenzen in einen Ausdruck in $u$ ein. ## Wann die Substitutionsregel scheitert Die Substitution ist mächtig, aber nicht universell. Achte auf diese Anzeichen, dass sie nicht funktioniert: - **Die Ableitung von $u$ fehlt.** Bei $\int e^{x^2}\,dx$ bräuchte $u = x^2$ den Faktor $2x\,dx$, aber im Integranden steht kein $x$. Du kannst keines erfinden. (Dieses Integral hat überhaupt keine elementare Stammfunktion.) - **Ein Produkt nicht zusammenhängender Funktionen.** $\int x e^x\,dx$ und $\int x\cos x\,dx$ vereinfachen sich unter keiner Substitution. Sie brauchen [partielle Integration](/blog/integration-by-parts). - **Eine gebrochenrationale Funktion mit faktorisiertem Nenner.** $\int \frac{1}{x^2-1}\,dx$ erledigst du mit [Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions). - **Die Wurzel eines quadratischen Terms ohne passende Ableitung.** $\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$ verlangt nach [trigonometrischer Substitution](/blog/trig-substitution). Ein nützlicher Test: Bleibt nach dem Substituieren ein $x$ übrig, das du nicht mit $u$ umschreiben kannst, ist deine Wahl von $u$ falsch oder die Methode nicht anwendbar. ## Typische Fehler bei der Substitutionsregel 1. **Vergessen, $dx$ zu ersetzen.** $\int \cos u\,dx$ vermischt Variablen. Das $dx$ muss zu $du$ werden (mit einem eventuell nötigen konstanten Faktor). 2. **Einen konstanten Faktor ignorieren.** Lässt du in Beispiel 2 das $\tfrac12$ weg, erhältst du $\frac{(x^2+3)^5}{5}$, und das ist doppelt so groß. 3. **Die alten Grenzen verwenden.** In Beispiel 5 liefert $\left[\frac{u^4}{4}\right]_0^1$ den Wert $\tfrac14$ statt $\tfrac{15}{4}$. 4. **Nicht zurück einsetzen.** Bei unbestimmten Integralen muss das Endergebnis in $x$ stehen. 5. **$+C$ weglassen** bei unbestimmten Integralen. 6. **Eine Variable wie eine Konstante behandeln.** Ein $\tfrac12$ darfst du vor das Integral ziehen, ein $x$ niemals. ## Kurzübersicht | Muster im Integranden | Substitution | Ergebnis | | --- | --- | --- | | $(ax+b)^n$ | $u = ax+b$ | $\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C$ | | $\frac{g'(x)}{g(x)}$ | $u = g(x)$ | $\ln\lvert g(x)\rvert + C$ | | $e^{g(x)}g'(x)$ | $u = g(x)$ | $e^{g(x)} + C$ | | $[g(x)]^n g'(x)$, $n \ne -1$ | $u = g(x)$ | $\frac{[g(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ | | $\cos(g(x))\,g'(x)$ | $u = g(x)$ | $\sin(g(x)) + C$ | | $\int_a^b f(g(x))g'(x)\,dx$ | $u = g(x)$ | $\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$ | ## Mit Übung zur Gewohnheit Die Wahl von $u$ fühlt sich anfangs wie Raten an, aber nach ein paar Dutzend Aufgaben siehst du die innere Funktion und ihre Ableitung fast sofort. Arbeite die interaktive Lektion unten durch: Jede Aufgabe prüft deine Antwort sofort und zeigt dir, wo eine Substitution schiefgelaufen ist, damit das Muster hängen bleibt. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Substitutionsregel einfach erklärt? Die Substitutionsregel ist die Kettenregel rückwärts. Du benennst eine innere Funktion in $u$ um, ersetzt $g'(x)\,dx$ durch $du$ und verwandelst ein unübersichtliches Integral in ein einfaches wie $\int u^4\,du$. Am Ende setzt du wieder $g(x)$ für $u$ ein. ### Woran erkenne ich, was ich als u wählen soll? Suche eine Funktion, die in einer anderen Funktion steckt (in einer Potenz, einer Wurzel, einer trigonometrischen Funktion, einer Exponentialfunktion oder einem Nenner) und deren Ableitung ebenfalls als Faktor vorkommt. Diese innere Funktion ist meist das richtige $u$. Konstante Faktoren spielen keine Rolle, weil du sie herausteilen kannst. ### Muss man bei der Substitution die Integrationsgrenzen ändern? Wenn du bis zum Schluss in $u$ rechnest, ja: Ersetze jede $x$-Grenze durch $u = g(\text{Grenze})$. Die Alternative ist, die Stammfunktion zu bestimmen, zu $x$ zurückzukehren und dann die ursprünglichen Grenzen zu verwenden. Beides liefert dasselbe Ergebnis. ### Wann funktioniert die Substitutionsregel nicht? Sie scheitert, wenn die Ableitung deines $u$ fehlt, sodass übrig gebliebene $x$-Terme nicht durch $u$ ausgedrückt werden können. Zum Beispiel hat $\int e^{x^2}\,dx$ keinen Faktor $x$, der zu $du = 2x\,dx$ passen würde. Produkte wie $\int x e^x\,dx$ brauchen stattdessen partielle Integration. ### Ist die Substitutionsregel dasselbe wie die umgekehrte Kettenregel? Ja. Leitet man $F(g(x))$ ab, erhält man nach der Kettenregel $F'(g(x))\,g'(x)$, also liefert das Integrieren von $F'(g(x))\,g'(x)$ wieder $F(g(x)) + C$. Die Substitution ist nur eine übersichtliche Schreibweise, um dieses Muster zu erkennen und rückgängig zu machen.