# Taylorreihe und Maclaurin-Reihe: Formel, Beispiele, Fehlerabschätzung > Die Formeln für Taylor- und Maclaurin-Reihen, die vier wichtigsten Reihen, neue Reihen aus bekannten bilden und den Fehler eines Taylorpolynoms abschätzen. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/taylorreihen Aktualisiert: 2026-09-04 ## Das Wichtigste - Die Taylorreihe von $f$ an der Stelle $a$ ist $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, und eine Maclaurin-Reihe ist der Spezialfall $a = 0$. - Lerne vier Reihen auswendig: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ und $\frac{1}{1-x}$. Die meisten anderen Reihen entstehen daraus durch Einsetzen, Multiplizieren, Ableiten oder Integrieren. - Ein Taylorpolynom vom Grad $n$ stimmt im Entwicklungspunkt im Funktionswert und in den ersten $n$ Ableitungen mit $f$ überein, deshalb ist es nahe am Entwicklungspunkt am genauesten. - Die Restgliedabschätzung $|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$ sagt dir, wie groß der Fehler höchstens sein kann. Dein Taschenrechner liefert $\sin(0.5)$ sofort, aber $\sin$ lässt sich nicht mit Plus, Minus, Mal und Geteilt berechnen. Mit Taylorreihen verwandelst du eine Funktion wie $\sin x$, $e^x$ oder $\ln x$ in ein Polynom, das du tatsächlich auswerten kannst, und sie tauchen überall auf, von der Physik bis zum Innenleben genau dieses Taschenrechners. Dieser Artikel gibt dir die Formeln für Taylor- und Maclaurin-Reihen, die vier Reihen, die du auswendig kennen solltest, zeigt, wie du neue Reihen ohne Ableiten bildest und wie du den Fehler abschätzt, wenn du nach wenigen Termen aufhörst. ## Was ist eine Taylorreihe? Eine **Taylorreihe** schreibt eine Funktion als unendliches Polynom um einen Entwicklungspunkt $a$. Die Koeffizienten stammen aus den Ableitungen von $f$ bei $a$: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots$$ Eine **Maclaurin-Reihe** ist der Spezialfall $a = 0$: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots$$ Die Idee ist einfach. Der erste Term trifft den Funktionswert von $f$ bei $a$. Mit dem zweiten Term stimmt auch die Steigung, das ergibt die Tangente aus der [linearen Approximation](/blog/linear-approximation). Der dritte Term trifft die Krümmung, und so weiter. Jeder neue Term übernimmt eine weitere Ableitung. Hörst du nach dem Term mit $(x-a)^n$ auf, erhältst du das **Taylorpolynom vom Grad $n$**, geschrieben $T_n(x)$. ## Eine Taylorreihe Schritt für Schritt bestimmen 1. Berechne $f(a), f'(a), f''(a), f'''(a), \dots$, bis du ein Muster erkennst. 2. Teile den Wert der $n$-ten Ableitung durch $n!$, um den Koeffizienten $c_n$ zu erhalten. 3. Schreibe die Reihe $\sum c_n (x-a)^n$ auf und verwende das Muster für ein allgemeines Glied. 4. Falls gefragt, bestimme den Konvergenzbereich mit dem Quotientenkriterium, wie in unserem Artikel zu [Potenzreihen](/blog/power-series). ## Rechenbeispiel 1: die Maclaurin-Reihe von e^x **Schritt 1. Ableiten.** Jede Ableitung von $e^x$ ist $e^x$, also gilt $f^{(n)}(0) = e^0 = 1$ für jedes $n$. **Schritt 2. Koeffizienten bilden.** $c_n = \frac{1}{n!}$. **Schritt 3. Reihe aufschreiben.** $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ Das Quotientenkriterium liefert $\frac{|x|}{n+1} \to 0$, das gilt also für jedes reelle $x$. Setzt du $x = 1$ ein, erhältst du eine schnelle Methode, um $e = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \cdots \approx 2.718$ zu berechnen. ## Rechenbeispiel 2: die Maclaurin-Reihe von sin x **Schritt 1. Ableiten und bei 0 auswerten.** | $n$ | $f^{(n)}(x)$ | $f^{(n)}(0)$ | | --- | --- | --- | | 0 | $\sin x$ | $0$ | | 1 | $\cos x$ | $1$ | | 2 | $-\sin x$ | $0$ | | 3 | $-\cos x$ | $-1$ | | 4 | $\sin x$ | $0$ | Die Werte wiederholen sich endlos im Zyklus $0, 1, 0, -1$. **Schritt 2. Nur die Terme ungleich null behalten.** Die geraden Potenzen fallen weg. Die ungeraden Potenzen wechseln das Vorzeichen, mit $n!$ im Nenner. **Schritt 3. Reihe aufschreiben.** $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ Dieselben Schritte liefern für $\cos x$ stattdessen die geraden Potenzen: $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ Eine schnelle Plausibilitätsprüfung: $\sin x$ ist ungerade, und seine Reihe hat nur ungerade Potenzen. $\cos x$ ist gerade, und seine Reihe hat nur gerade Potenzen. So sehen die Taylorpolynome von $\sin x$ aus. Jeder zusätzliche Term schmiegt sich über einen breiteren Bereich an die Kurve an. ```graph title: 'Der Graph von sin x mit seinen Taylorpolynomen vom Grad 1, 3 und 5 um 0' caption: 'In der Nähe von $x = 0$ stimmen alle drei Polynome mit $\sin x$ überein. Polynome höheren Grades bleiben über ein breiteres Intervall nah dran, bevor sie sich ablösen.' x: [-6.5, 6.5] y: [-3, 3] functions: - expr: sin(x) label: y = sin x - expr: x label: Grad 1, y = x dashed: true - expr: x - x^3/6 label: Grad 3 dashed: true - expr: x - x^3/6 + x^5/120 label: Grad 5 dashed: true ``` ## Rechenbeispiel 3: eine Taylorreihe um a = 1 Bestimme die Taylorreihe von $f(x) = \ln x$ mit Entwicklungspunkt $a = 1$. **Schritt 1. Ableiten.** $$f'(x) = \frac{1}{x}, \quad f''(x) = -\frac{1}{x^2}, \quad f'''(x) = \frac{2}{x^3}, \quad f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4}$$ Das Muster für $n \ge 1$ ist $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$. **Schritt 2. Bei $a = 1$ auswerten.** $f(1) = 0$ und $f^{(n)}(1) = (-1)^{n-1}(n-1)!$ für $n \ge 1$. **Schritt 3. Durch $n!$ teilen.** Wegen $\frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$ ist der Koeffizient $c_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$. **Schritt 4. Reihe aufschreiben.** $$\ln x = (x-1) - \frac{(x-1)^2}{2} + \frac{(x-1)^3}{3} - \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}(x-1)^n}{n}$$ Sie konvergiert für $0 < x \le 2$. ## Die vier wichtigsten Maclaurin-Reihen zum Auswendiglernen | Funktion | Maclaurin-Reihe | Gültig für | | --- | --- | --- | | $e^x$ | $\sum \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$ | alle $x$ | | $\sin x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ | alle $x$ | | $\cos x$ | $\sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ | alle $x$ | | $\frac{1}{1-x}$ | $\sum x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ | $-1 < x < 1$ | Mit diesen vier im Gepäck kannst du dir bei den meisten Klausuraufgaben das Ableiten sparen. ## Rechenbeispiel 4: neue Reihen aus den vier wichtigsten bilden Innerhalb ihres Konvergenzbereichs darfst du Reihen gliedweise einsetzen, multiplizieren, ableiten und integrieren. **Einsetzen.** Für $e^{-x^2}$ ersetzt du $x$ in der Reihe für $e^x$ durch $-x^2$: $$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$$ **Multiplizieren.** Für $x\cos x$ multiplizierst du jeden Term der Kosinusreihe mit $x$: $$x\cos x = x - \frac{x^3}{2!} + \frac{x^5}{4!} - \cdots$$ **Integrieren.** Ersetze $x$ in $\frac{1}{1-x}$ durch $-x^2$ und du erhältst $$\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots, \quad |x| < 1$$ Da $\int_0^x \frac{dt}{1+t^2} = \arctan x$ gilt, integrierst du gliedweise: $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$ Jede dieser Reihen hätte direkt viele Ableitungen gekostet. ## Taylorpolynome als Näherungen Die ganze unendliche Reihe brauchst du selten. Schon wenige Terme liefern nahe am Entwicklungspunkt eine hervorragende Näherung. Deshalb ersetzen Physiker bei kleinen Pendelausschlägen $\sin\theta$ durch $\theta$ und $\cos\theta$ durch $1 - \frac{\theta^2}{2}$. Zum Beispiel liefert $T_2$ für $\cos x$ bei $0$ den Wert $\cos(0.2) \approx 1 - \frac{0.04}{2} = 0.98$. Der wahre Wert ist $0.980067$, zwei Terme stimmen also schon auf vier Nachkommastellen. Je weiter du dich vom Entwicklungspunkt entfernst, desto mehr Terme brauchst du für dieselbe Genauigkeit, und die Restgliedabschätzung unten sagt dir genau, wie viele. ## Das Restglied: Wie groß ist der Fehler? Ersetzt du $f$ durch $T_n$, ist der Fehler das **Restglied** $R_n(x) = f(x) - T_n(x)$. Die Taylor-Ungleichung schätzt es ab: $$|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}\,|x-a|^{n+1}$$ wobei $M$ eine beliebige Zahl mit $|f^{(n+1)}(t)| \le M$ für alle $t$ zwischen $a$ und $x$ ist. Lies es so: Der Fehler wird durch die nächste Ableitung, die nächste Fakultät und den Abstand vom Entwicklungspunkt bestimmt. Nähe zu $a$ und mehr Terme lassen ihn beide schrumpfen. ## Rechenbeispiel 5: sin(0,5) mit Fehlerabschätzung schätzen Schätze $\sin(0.5)$ mit $T_3$ und schätze den Fehler ab. **Schritt 1. Polynom auswerten.** $$T_3(0.5) = 0.5 - \frac{(0.5)^3}{6} = 0.5 - 0.0208\overline{3} = 0.4791\overline{6}$$ **Schritt 2. $M$ bestimmen.** Die vierte Ableitung von $\sin x$ ist $\sin x$, und $|\sin t| \le 1$, also $M = 1$. **Schritt 3. Abschätzung mit $n = 3$ anwenden.** $$|R_3(0.5)| \le \frac{1}{4!}(0.5)^4 = \frac{0.0625}{24} \approx 0.0026$$ $\sin(0.5)$ liegt also höchstens $0.0026$ von $0.47917$ entfernt. Der wahre Wert ist $0.47943$, und der tatsächliche Fehler beträgt etwa $0.00026$, bequem innerhalb der Schranke. > **Tipp:** Bei $\sin x$ ist der Koeffizient von $x^4$ gleich 0, also $T_3 = T_4$. Mit $n = 4$ in der Abschätzung erhältst du $\frac{(0.5)^5}{5!} \approx 0.00026$, eine viel schärfere Schranke. Weil diese Reihe alterniert und ihre Terme fallen, liefert die Fehlerabschätzung für alternierende Reihen dasselbe scharfe Ergebnis: Der Fehler ist höchstens so groß wie der erste weggelassene Term, $\frac{(0.5)^5}{120}$. ## Typische Fehler bei Taylorreihen 1. **Die Fakultät vergessen.** Der Koeffizient ist $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, nicht einfach $f^{(n)}(a)$. 2. **Potenzen von $x$ verwenden, obwohl $a \ne 0$ ist.** Eine Reihe mit Entwicklungspunkt 1 läuft in Potenzen von $(x - 1)$. 3. **Sinus und Kosinus verwechseln.** Der Sinus ist ungerade und beginnt mit $x$. Der Kosinus ist gerade und beginnt mit 1. 4. **Ableiten, obwohl Einsetzen reicht.** Für $e^{3x}$ ersetzt du einfach $x$ in der Reihe für $e^x$ durch $3x$. 5. **Den Konvergenzbereich ignorieren.** Die Reihe für $\frac{1}{1-x}$ ist bei $x = 2$ nutzlos. 6. **Die falsche Ableitung in der Fehlerabschätzung verwenden.** Die Schranke für $T_n$ braucht eine Schranke für $f^{(n+1)}$, also eine Ableitung über den letzten behaltenen Term hinaus. ## Übung macht aus Formeln Instinkt Sobald du die vier wichtigsten Reihen auswendig kannst und ein paar Reihen durch Einsetzen gebildet hast, fühlen sich Taylorreihen nicht mehr wie eine Wand aus Fakultäten an. Die interaktive Lektion unten gibt dir Reihen zum Aufstellen und Näherungen zum Prüfen, mit sofortiger Rückmeldung zu jedem Koeffizienten, damit du genau siehst, welcher Term danebenlag. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist der Unterschied zwischen Taylorreihe und Maclaurin-Reihe? Eine Maclaurin-Reihe ist eine Taylorreihe mit Entwicklungspunkt $a = 0$. Die Formel ist dieselbe, du wertest die Ableitungen nur bei 0 aus und verwendest Potenzen von $x$ statt Potenzen von $(x - a)$. ### Was ist ein Taylorpolynom? Ein Taylorpolynom ist eine Taylorreihe, die nach endlich vielen Termen abgebrochen wird. Das Taylorpolynom vom Grad $n$, $T_n(x)$, behält die Terme bis $(x-a)^n$. Es nähert $f$ in der Nähe des Entwicklungspunkts gut an, und die Näherung wird meist besser, wenn $n$ wächst. ### Wie bestimmt man den Fehler eines Taylorpolynoms? Verwende die Restgliedabschätzung: Gilt $|f^{(n+1)}| \le M$ zwischen $a$ und $x$, dann ist $|f(x) - T_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$. Bei einer alternierenden Reihe mit fallenden Termen kannst du den Fehler auch durch den ersten weggelassenen Term abschätzen. ### Ist eine Taylorreihe immer gleich der Funktion? Nicht immer. Die Reihe muss konvergieren, und das tut sie nur innerhalb ihres Konvergenzbereichs, und selbst dann muss sie gegen $f$ konvergieren. Für $e^x$, $\sin x$ und $\cos x$ ist sie für jedes $x$ gleich der Funktion, für $\frac{1}{1-x}$ dagegen nur für $|x| < 1$. ### Warum enthalten Taylorreihen Fakultäten? Die $n$-te Ableitung von $(x-a)^n$ ist $n!$. Das Teilen durch $n!$ hebt das auf, sodass die $n$-te Ableitung der Reihe bei $a$ genau $f^{(n)}(a)$ ergibt, und genau dadurch stimmt die Reihe mit der Funktion überein.