# Trigonometrische Substitution: Die drei Fälle, Dreiecke, Beispiele > Trigonometrische Substitution verstehen: welche der drei Substitutionen passt, wie du das Hilfsdreieck aufstellst und wie du das Ergebnis zurück in x schreibst. Quelle: https://practicecalculus.com/de/blog/trigonometrische-substitution Aktualisiert: 2026-09-06 ## Das Wichtigste - Verwende $x = a\sin\theta$ für $\sqrt{a^2 - x^2}$, $x = a\tan\theta$ für $\sqrt{a^2 + x^2}$ und $x = a\sec\theta$ für $\sqrt{x^2 - a^2}$. - Jede Substitution verwandelt die Wurzel mithilfe einer Pythagoras-Identität in eine einzelne trigonometrische Funktion. - Ein rechtwinkliges Dreieck, das du aus der Substitution aufstellst, schreibt jeden trigonometrischen Ausdruck in $\theta$ zurück in $x$ um. - Probiere zuerst die Substitutionsregel: Steht die Ableitung des Wurzelinhalts schon da, ist die trigonometrische Substitution übertrieben. Das Integral $\int \sqrt{4 - x^2}\,dx$ sieht harmlos aus, und doch scheitert die Substitutionsregel (außerhalb der Wurzel steht kein $x$, das $du$ aufnehmen könnte), und partielle Integration führt ins Leere. Die **trigonometrische Substitution** beseitigt die Wurzel vollständig, indem sie $x$ durch eine trigonometrische Funktion ersetzt, und sie ist der Standardweg, um Ausdrücke mit $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ und $\sqrt{x^2 - a^2}$ zu integrieren. ## Was ist trigonometrische Substitution? Bei der trigonometrischen Substitution ersetzt du $x$ durch $a\sin\theta$, $a\tan\theta$ oder $a\sec\theta$, sodass eine Pythagoras-Identität die Wurzel zu einem einzigen Term zusammenfallen lässt. Zum Beispiel gilt mit $x = 2\sin\theta$: $$\sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$$ Die Wurzel ist weg, und übrig bleibt ein trigonometrisches Integral. Am Ende schreibst du das Ergebnis mit einem rechtwinkligen Dreieck wieder in $x$ um. ## Die drei trigonometrischen Substitutionen | Ausdruck | Substitution | $dx$ | Verwendete Identität | Wurzel wird zu | | --- | --- | --- | --- | --- | | $\sqrt{a^2-x^2}$ | $x = a\sin\theta$ | $a\cos\theta\,d\theta$ | $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$ | $a\cos\theta$ | | $\sqrt{a^2+x^2}$ | $x = a\tan\theta$ | $a\sec^2\theta\,d\theta$ | $1+\tan^2\theta = \sec^2\theta$ | $a\sec\theta$ | | $\sqrt{x^2-a^2}$ | $x = a\sec\theta$ | $a\sec\theta\tan\theta\,d\theta$ | $\sec^2\theta-1 = \tan^2\theta$ | $a\tan\theta$ | Eine schnelle Merkhilfe: **Minus $x^2$ heißt Sinus, Plus heißt Tangens, und $x^2$ minus heißt Sekans.** Zu den Substitutionen gehören eingeschränkte Winkelbereiche ($-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ beim Sinus, $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ beim Tangens und $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$ beim Sekans für $x \ge a$). Auf diesen Bereichen sind $\cos\theta$, $\sec\theta$ und $\tan\theta$ nicht negativ, deshalb vereinfachen sich die Wurzeln ohne Betragsstriche. ## Die Hilfsdreiecke, in Worten beschrieben Um zu $x$ zurückzukehren, zeichnest du ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Winkel $\theta$ und beschriftest zwei Seiten direkt aus deiner Substitution. Die dritte Seite liefert der Satz des Pythagoras, und sie ist immer die Wurzel aus der Aufgabe. - **Sinusfall, $x = a\sin\theta$.** Da $\sin\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ gilt, schreibst du $x$ an die Seite gegenüber von $\theta$ und $a$ an die Hypotenuse. Die Ankathete ist $\sqrt{a^2 - x^2}$. - **Tangensfall, $x = a\tan\theta$.** Da $\tan\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ gilt, schreibst du $x$ an die Gegenkathete und $a$ an die Ankathete. Die Hypotenuse ist $\sqrt{a^2 + x^2}$. - **Sekansfall, $x = a\sec\theta$.** Da $\sec\theta = \frac{x}{a} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$ gilt, schreibst du $x$ an die Hypotenuse und $a$ an die Ankathete. Die Gegenkathete ist $\sqrt{x^2 - a^2}$. Sobald das Dreieck beschriftet ist, ist jede trigonometrische Funktion von $\theta$ ein Verhältnis zweier Seiten. Im Sinusdreieck ist zum Beispiel $\cot\theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}$. ## Das Verfahren in fünf Schritten 1. **Bestimme die Form** und wähle die Substitution aus der Tabelle. 2. **Ersetze** $x$, $dx$ und die Wurzel. 3. **Vereinfache** und berechne das trigonometrische Integral in $\theta$. 4. **Stelle das Dreieck** aus deiner Substitution **auf**. 5. **Schreibe** mit dem Dreieck **zurück** in $x$ um (und für ein alleinstehendes $\theta$ mit $\theta = \arcsin\frac{x}{a}$ oder Ähnlichem). ## Rechenbeispiel 1: die Sinussubstitution Berechne $\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}}$. **Schritt 1. Form bestimmen.** $\sqrt{9 - x^2}$ ist $\sqrt{a^2 - x^2}$ mit $a = 3$, also setze $x = 3\sin\theta$. **Schritt 2. Ersetzen.** $dx = 3\cos\theta\,d\theta$, $x^2 = 9\sin^2\theta$ und $\sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta$: $$\int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{9\sin^2\theta\cdot 3\cos\theta} = \frac19\int \frac{d\theta}{\sin^2\theta} = \frac19\int \csc^2\theta\,d\theta$$ **Schritt 3. Integrieren.** $\int\csc^2\theta\,d\theta = -\cot\theta$, das Ergebnis ist also $-\frac19\cot\theta + C$. **Schritt 4. Dreieck aufstellen.** $\sin\theta = \frac{x}{3}$: Gegenkathete $x$, Hypotenuse $3$, Ankathete $\sqrt{9 - x^2}$. **Schritt 5. Zurück umschreiben.** $\cot\theta = \frac{\sqrt{9-x^2}}{x}$, also $$\int \frac{dx}{x^2\sqrt{9-x^2}} = -\frac{\sqrt{9-x^2}}{9x} + C$$ ## Rechenbeispiel 2: die Fläche eines Viertelkreises Berechne $\int_0^2 \sqrt{4 - x^2}\,dx$. Die Kurve $y = \sqrt{4 - x^2}$ ist die obere Hälfte des Kreises mit Radius 2, dieses Integral sollte also ein Viertel der Kreisfläche ergeben, $\frac14\pi(2)^2 = \pi$. Prüfen wir das nach. **Schritt 1.** Setze $x = 2\sin\theta$, also $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ und $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$. **Schritt 2. Grenzen umrechnen.** Bei $x = 0$ ist $\sin\theta = 0$, also $\theta = 0$. Bei $x = 2$ ist $\sin\theta = 1$, also $\theta = \frac{\pi}{2}$. **Schritt 3. Ersetzen.** $$\int_0^{\pi/2} 2\cos\theta\cdot 2\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta$$ **Schritt 4. Halbwinkelformel verwenden** $\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$: $$4\int_0^{\pi/2}\frac{1 + \cos 2\theta}{2}\,d\theta = 2\left[\theta + \tfrac12\sin 2\theta\right]_0^{\pi/2} = 2\left(\tfrac{\pi}{2} + 0\right) - 0 = \pi$$ Da wir die Grenzen umgerechnet haben, mussten wir nicht zu $x$ zurückkehren. ```graph title: 'Viertelkreis unter y = √(4 − x²) von x = 0 bis x = 2' caption: 'Die schattierte Fläche ist ein Viertel eines Kreises mit Radius 2, und die trigonometrische Substitution bestätigt $\int_0^2 \sqrt{4-x^2}\,dx = \pi$.' x: [-2.5, 2.5] y: [-0.5, 2.5] functions: - expr: sqrt(4-x^2) label: y = √(4 − x²) shade: {expr: sqrt(4-x^2), from: 0, to: 2} points: - [0, 2, '(0, 2)'] - [2, 0, '(2, 0)'] ``` ## Rechenbeispiel 3: die Tangenssubstitution Berechne $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}$. **Schritt 1.** Die Form ist $\sqrt{a^2 + x^2}$ mit $a = 2$. Setze $x = 2\tan\theta$. **Schritt 2.** $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$ und $\sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4\tan^2\theta + 4} = 2\sec\theta$: $$\int \frac{2\sec^2\theta\,d\theta}{2\sec\theta} = \int \sec\theta\,d\theta$$ **Schritt 3.** $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C$. **Schritt 4. Dreieck.** $\tan\theta = \frac{x}{2}$: Gegenkathete $x$, Ankathete $2$, Hypotenuse $\sqrt{x^2 + 4}$. Also $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+4}}{2}$. **Schritt 5. Zurück umschreiben.** $$\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+4}}{2} + \frac{x}{2}\right| + C = \ln\left(x + \sqrt{x^2+4}\right) - \ln 2 + C$$ Das $-\ln 2$ ist eine Konstante und geht in $C$ auf: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+4}} = \ln\left(x + \sqrt{x^2+4}\right) + C$$ ## Rechenbeispiel 4: die Sekanssubstitution Berechne $\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx$ für $x > 1$. **Schritt 1.** Die Form ist $\sqrt{x^2 - a^2}$ mit $a = 1$. Setze $x = \sec\theta$ mit $0 \le \theta < \frac{\pi}{2}$. **Schritt 2.** $dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta$ und $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$: $$\int \frac{\tan\theta}{\sec\theta}\cdot\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta$$ **Schritt 3.** Verwende $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$: $$\int(\sec^2\theta - 1)\,d\theta = \tan\theta - \theta + C$$ **Schritt 4. Dreieck.** $\sec\theta = x$: Hypotenuse $x$, Ankathete $1$, Gegenkathete $\sqrt{x^2-1}$. Also $\tan\theta = \sqrt{x^2-1}$ und $\theta = \operatorname{arcsec} x$. **Schritt 5.** $$\int \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}\,dx = \sqrt{x^2-1} - \operatorname{arcsec} x + C$$ ## Rechenbeispiel 5: einen doppelten Winkel zurück in x umschreiben Berechne $\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$. **Schritt 1.** Die Form ist $\sqrt{a^2 - x^2}$ mit $a = 1$. Setze $x = \sin\theta$. **Schritt 2.** $dx = \cos\theta\,d\theta$ und $\sqrt{1 - x^2} = \cos\theta$: $$\int \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \sin^2\theta\,d\theta$$ **Schritt 3.** Verwende $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$: $$\int \frac{1 - \cos 2\theta}{2}\,d\theta = \frac{\theta}{2} - \frac{\sin 2\theta}{4} + C$$ **Schritt 4. Den doppelten Winkel umschreiben.** Das Dreieck liefert nur Funktionen von $\theta$, nicht von $2\theta$, also verwende $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$: $$\frac{\theta}{2} - \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C$$ **Schritt 5. Zurück umschreiben.** Das Dreieck zu $\sin\theta = x$ hat die Gegenkathete $x$, die Hypotenuse $1$ und die Ankathete $\sqrt{1-x^2}$, also $\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$. Und $\theta = \arcsin x$. $$\int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \frac{\arcsin x}{2} - \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$$ > **Tipp:** Enthält dein Ergebnis in $\theta$ ein $\sin 2\theta$ oder $\cos 2\theta$, löse es mit einer Doppelwinkelformel auf, bevor du das Dreieck verwendest. ## Zuerst quadratisch ergänzen Steht unter der Wurzel ein allgemeiner quadratischer Term, ergänzt du quadratisch, um eine der drei Formen zu erreichen. Für $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 2x + 5}}$: $$x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$$ Setze $u = x + 1$ (also $du = dx$). Das Integral wird zu $\int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4}}$, und das ist genau Beispiel 3: $$\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+5}} = \ln\left(x + 1 + \sqrt{x^2+2x+5}\right) + C$$ ## Wann du keine trigonometrische Substitution brauchst Prüfe immer zuerst, ob es einfacher geht. In $\int \frac{x}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx$ ist der Faktor $x$ (bis auf eine Konstante) die Ableitung von $9 - x^2$, die [Substitutionsregel](/blog/u-substitution) mit $u = 9 - x^2$ liefert also in zwei Zeilen $-\sqrt{9 - x^2} + C$. Die trigonometrische Substitution würde funktionieren, ist aber der lange Umweg. Ebenso ist eine gebrochenrationale Funktion ohne Wurzel meist ein Fall für die [Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions). ## Typische Fehler bei der trigonometrischen Substitution 1. **Die falsche Substitution wählen.** $\sqrt{x^2 - 9}$ braucht den Sekans, nicht den Sinus. Achte genau auf das Vorzeichenmuster. 2. **Vergessen, $dx$ zu ersetzen.** $dx$ wird zu $a\cos\theta\,d\theta$ (oder dem passenden Ausdruck), nicht zu $d\theta$. 3. **Das Ergebnis in $\theta$ stehen lassen.** Ein unbestimmtes Integral muss in $x$ enden. Verwende das Dreieck. 4. **Das Dreieck falsch beschriften.** Schreib das definierende Verhältnis auf (zum Beispiel $\sin\theta = \frac{x}{a}$) und setze die Seiten danach, nicht aus dem Gedächtnis. 5. **Die alten Grenzen verwenden.** Rechne bei bestimmten Integralen die Grenzen in $\theta$-Werte um oder schreibe vor dem Auswerten zurück in $x$ um. ## Übe die drei Fälle, bis es klick macht Die trigonometrische Substitution hat viele bewegliche Teile, aber jede Aufgabe folgt denselben fünf Schritten. Am schnellsten wirst du sicher, wenn du mehrere Aufgaben hintereinander rechnest, bis die Dreiecke automatisch kommen. Die interaktive Lektion unten gibt dir zu jeder Substitution sofort Rückmeldung und zeigt dir das Dreieck, wenn du nicht weiterkommst. ## Häufig gestellte Fragen ### Wann verwendet man trigonometrische Substitution? Wenn der Integrand $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$ oder $\sqrt{x^2 - a^2}$ enthält (oder Potenzen davon) und eine einfache Substitution nicht funktioniert. Die Substitution beseitigt die Wurzel mithilfe einer Pythagoras-Identität. ### Woran erkenne ich, welche trigonometrische Substitution ich brauche? Schau auf die Form unter der Wurzel. Konstante minus $x^2$ verlangt den Sinus, Konstante plus $x^2$ den Tangens, und $x^2$ minus Konstante den Sekans. In jedem Fall erledigt die Identität $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ oder $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ die Arbeit. ### Wie kommt man nach der trigonometrischen Substitution zurück zu x? Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck, das zu deiner Substitution passt. Bei $x = a\sin\theta$ ist die Gegenkathete $x$, die Hypotenuse $a$ und die Ankathete nach Pythagoras $\sqrt{a^2 - x^2}$. Dann liest du jede trigonometrische Funktion von $\theta$ als Seitenverhältnis ab. ### Was tun, wenn der Ausdruck unter der Wurzel nicht die Form a² ± x² hat? Ergänze zuerst quadratisch. Zum Beispiel ist $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$, mit $u = x + 1$ wird die Wurzel also zu $\sqrt{u^2 + 4}$, und du kannst $u = 2\tan\theta$ verwenden. ### Ist trigonometrische Substitution dasselbe wie die Substitutionsregel? Beide wechseln die Variable, aber in entgegengesetzter Richtung. Bei der Substitutionsregel setzt du $u$ gleich einer Funktion von $x$. Bei der trigonometrischen Substitution setzt du $x$ gleich einer Funktion von $\theta$, deshalb brauchst du am Ende ein Dreieck, um zu $x$ zurückzukommen.