# Abrundungsfunktion (Gaußklammer) und Aufrundungsfunktion

> Die Abrundungsfunktion ⌊x⌋ (Gaußklammer) und die Aufrundungsfunktion ⌈x⌉: Definition, Treppengraphen, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit, Ableitung und Integral.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/abrundungs-und-aufrundungsfunktion
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}, \quad \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \ge x\} $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$
- **Wertebereich:** Die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$
- **Ableitung:** $\frac{d}{dx}\lfloor x \rfloor = 0 \ \ (x \notin \mathbb{Z})$
- **Integral:** $\int_0^x \lfloor t \rfloor\,dt = \lfloor x \rfloor x - \frac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x \rfloor + 1)}{2}$
- **Unstetigkeitsstellen:** Ein Sprung der Höhe $1$ an jeder ganzen Zahl
- **Zusammenhang:** $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$

## Das Wichtigste

- $\lfloor x \rfloor$ rundet auf die nächste ganze Zahl ab, $\lceil x \rceil$ rundet auf.
- Beide sind Treppenfunktionen: konstant zwischen ganzen Zahlen, mit einem Sprung der Höhe $1$ an jeder ganzen Zahl.
- An einer ganzen Zahl $n$ gilt $\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1$ und $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$, der beidseitige Grenzwert existiert also nicht.
- Die Ableitung ist $0$ abseits der ganzen Zahlen und an ihnen nicht definiert; Integrale sind Summen von Rechteckflächen.

Die **Abrundungsfunktion** $\lfloor x\rfloor$ rundet eine Zahl auf die nächste ganze Zahl ab, die **Aufrundungsfunktion** $\lceil x\rceil$ rundet sie auf. Ihre Graphen sehen aus wie Treppen und sind damit die klassischen Beispiele für [abschnittsweise definierte Funktionen](/functions/piecewise-functions) mit Sprungstellen. Die Abrundungsfunktion heißt auch Gaußklammer und wird manchmal als $[x]$ oder $\operatorname{int}(x)$ geschrieben.

## Definitionen

$$\lfloor x\rfloor = \text{the largest integer } n \text{ with } n \le x, \qquad \lceil x\rceil = \text{the smallest integer } n \text{ with } n \ge x$$

| $x$ | $2.7$ | $2$ | $0.4$ | $-0.4$ | $-2.7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\lfloor x\rfloor$ | $2$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $-3$ |
| $\lceil x\rceil$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-2$ |

Achtung bei negativen Zahlen: $-2.7$ **abzurunden** führt zu $-3$, nicht zu $-2$.

## Graph der Abrundungsfunktion

```graph
title: 'Graph der Abrundungsfunktion y = ⌊x⌋ von x = −1 bis x = 3'
caption: 'Jede Stufe enthält ihren linken Endpunkt (ausgefüllter Punkt) und nicht ihren rechten Endpunkt (leerer Punkt), weil $\lfloor n\rfloor = n$ für jede ganze Zahl $n$ gilt.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-1.8, 2.8]
functions:
  - expr: '-1'
    domain: [-1, 0]
  - expr: '0'
    domain: [0, 1]
  - expr: '1'
    domain: [1, 2]
  - expr: '2'
    domain: [2, 3]
points:
  - [-1, -1, '', closed]
  - [0, -1, '', open]
  - [0, 0, '', closed]
  - [1, 0, '', open]
  - [1, 1, '', closed]
  - [2, 1, '', open]
  - [2, 2, '(2, 2)', closed]
  - [3, 2, '', open]
```

## Graph der Aufrundungsfunktion

```graph
title: 'Graph der Aufrundungsfunktion y = ⌈x⌉ von x = −1 bis x = 3'
caption: 'Die Stufen der Aufrundungsfunktion sind rechts abgeschlossen und links offen, das Spiegelbild der Abrundungsfunktion.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-0.8, 3.8]
functions:
  - expr: '0'
    domain: [-1, 0]
  - expr: '1'
    domain: [0, 1]
  - expr: '2'
    domain: [1, 2]
  - expr: '3'
    domain: [2, 3]
points:
  - [-1, 0, '', open]
  - [0, 0, '', closed]
  - [0, 1, '', open]
  - [1, 1, '', closed]
  - [1, 2, '', open]
  - [2, 2, '', closed]
  - [2, 3, '', open]
  - [3, 3, '(3, 3)', closed]
```

## Wichtige Eigenschaften

- **Wertebereich.** Beide Funktionen liefern nur ganze Zahlen.
- **Schranken.** $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1$.
- **Ganze Zahlen bleiben fest.** $\lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n$ für jede ganze Zahl $n$.
- **Verschieben um eine ganze Zahl.** $\lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n$ für jede ganze Zahl $n$.
- **Abrunden und Aufrunden hängen zusammen.** $\lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor$, und für nicht ganzes $x$ gilt $\lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1$.

## Grenzwerte und Stetigkeit

Zwischen den ganzen Zahlen ist die Abrundungsfunktion konstant und damit dort stetig. An einer ganzen Zahl $n$ stimmen die [einseitigen Grenzwerte](/blog/how-to-evaluate-limits) nicht überein:

$$\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1, \qquad \lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$$

Also existiert $\lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor$ nicht, und es gibt einen Sprung der Höhe $1$. Da der rechtsseitige Grenzwert gleich $\lfloor n\rfloor$ ist, ist die Abrundungsfunktion **rechtsseitig stetig**. Bei der Aufrundungsfunktion ist es umgekehrt: $\lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n$ und $\lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1$, sie ist also **linksseitig stetig**. Die formalen Definitionen findest du im Leitfaden zur [Stetigkeit](/blog/continuity).

**Beispiel: ein Grenzwert im Unendlichen.** Bestimme $\lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}$. Für $x > 0$ liefert die Division von $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x$ durch $x$ die Ungleichung $1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1$. Beide Schranken streben gegen $1$, nach dem [Sandwich-Satz](/theorems/squeeze-theorem) ist der Grenzwert also $1$.

## Ableitung der Abrundungsfunktion

$$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor = 0 \quad \text{for } x \notin \mathbb{Z}$$

Auf jedem offenen Intervall $(n, n+1)$ ist die Funktion die Konstante $n$, deren Ableitung $0$ ist. An einer ganzen Zahl ist die Funktion nicht stetig und damit nicht differenzierbar. Dasselbe gilt für die Aufrundungsfunktion.

## Integral der Abrundungsfunktion

Jedes Einheitsintervall $[k, k+1]$ liefert ein Rechteck der Höhe $k$ und der Breite $1$. Man addiert also Rechteckflächen, ganz ähnlich wie bei einer [Riemann-Summe](/blog/riemann-sums), die hier zufällig exakt ist. Für $x \ge 0$ gilt:

$$\int_0^x\lfloor t\rfloor\,dt = (0 + 1 + \cdots + (n - 1)) + n(x - n) = nx - \frac{n(n+1)}{2}, \qquad n = \lfloor x\rfloor$$

Dieselbe Formel gilt auch für negative $x$.

**Beispiel.** $\int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5$. Die Formel bestätigt das: $3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5$.

**Beispiel mit Aufrundungsfunktion.** $\int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6$, denn $\lceil t\rceil$ ist gleich $1$ auf $(0, 1]$, $2$ auf $(1, 2]$ und $3$ auf $(2, 3]$. Einzelne Punkte verändern ein Integral nicht.

## Häufige Fehler

1. **Negative Zahlen in Richtung null runden.** $\lfloor -1.2\rfloor = -2$, nicht $-1$.
2. **Behaupten, der Grenzwert an einer ganzen Zahl existiere.** Links- und rechtsseitiger Grenzwert unterscheiden sich um $1$.
3. **Den ausgefüllten Punkt an das falsche Ende setzen.** Die Stufen der Abrundungsfunktion sind links abgeschlossen, die der Aufrundungsfunktion rechts.
4. **An einer Sprungstelle ableiten.** Die Ableitung ist nur zwischen den ganzen Zahlen $0$. An den ganzen Zahlen existiert sie nicht.

## Wo sie vorkommen

Treppenfunktionen beschreiben alles, was in ganzen Einheiten abgerechnet wird: Porto nach Gewichtsstufen, Parkgebühren pro angefangener Stunde oder Steuerstufen. In der Analysis sind sie die Standardbeispiele für einseitige Grenzwerte und für Funktionen, die integrierbar, aber nicht stetig sind. Die allgemeine Vorgehensweise findest du bei den [abschnittsweise definierten Funktionen](/functions/piecewise-functions); vergleiche außerdem mit dem Knick der [Betragsfunktion](/functions/absolute-value-function).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Abrundungsfunktion?

Die Abrundungsfunktion $\lfloor x\rfloor$, auch Gaußklammer genannt, liefert die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich $x$ ist. Zum Beispiel ist $\lfloor 2.7\rfloor = 2$ und $\lfloor -2.7\rfloor = -3$.

### Was ist der Unterschied zwischen Abrunden und Aufrunden?

Die Abrundungsfunktion rundet ab, die Aufrundungsfunktion rundet auf. Bei ganzen Zahlen stimmen beide überein, und für eine nicht ganze Zahl $x$ ist der aufgerundete Wert genau um eins größer als der abgerundete.

### Ist die Gaußklammer stetig?

Sie ist an jeder nicht ganzen Stelle stetig und hat an jeder ganzen Zahl eine Sprungstelle. Sie ist überall rechtsseitig stetig: $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n = \lfloor n\rfloor$.

### Was ist die Ableitung der Gaußklammer?

Zwischen den ganzen Zahlen ist die Gaußklammer konstant, ihre Ableitung ist also $0$. An jeder ganzen Zahl springt sie und ist dort nicht differenzierbar.

### Wie integriert man die Gaußklammer?

Teile das Intervall an den ganzen Zahlen auf. Auf jedem Teilstück ist die Funktion konstant, jedes Stück liefert also ein Rechteck, zum Beispiel $\int_0^3\lfloor x\rfloor\,dx = 0 + 1 + 2 = 3$.