# Abschnittsweise definierte Funktionen: Graph, Grenzwert, Ableitung

> Abschnittsweise definierte Funktionen erklärt: lesen und zeichnen, einseitige Grenzwerte, Stetigkeit und Differenzierbarkeit prüfen, stückweise integrieren.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/abschnittsweise-definierte-funktionen
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x < a \\ f_2(x) & x \ge a \end{cases} $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** Die Vereinigung der Intervalle, auf denen die Teilfunktionen definiert sind
- **Stetig bei x = a:** Wenn $\lim_{x\to a^-}f_1(x) = \lim_{x\to a^+}f_2(x) = f(a)$
- **Ableitung:** $f'(x) = \begin{cases} f_1'(x) & x < a \\ f_2'(x) & x > a \end{cases}$
- **Integral:** $\int_b^c f(x)\,dx = \int_b^a f_1(x)\,dx + \int_a^c f_2(x)\,dx$
- **Beispiele:** Betragsfunktion, Gaußklammer, Steuerstufen, Versandkosten

## Das Wichtigste

- Eine abschnittsweise definierte Funktion verwendet auf verschiedenen Intervallen ihres Definitionsbereichs verschiedene Funktionsterme.
- An einer Nahtstelle vergleichst du linksseitigen Grenzwert, rechtsseitigen Grenzwert und Funktionswert, um die Stetigkeit zu prüfen.
- Leite jede Teilfunktion auf ihrem offenen Intervall ab und prüfe die Nahtstellen separat mit einseitigen Ableitungen.
- Um über eine Nahtstelle hinweg zu integrieren, teilst du das Integral dort auf.

Eine **abschnittsweise definierte Funktion** ist eine Funktion, die auf verschiedenen Teilen ihres Definitionsbereichs durch verschiedene Terme gegeben ist. Welcher Term gilt, hängt davon ab, wo $x$ liegt. Abschnittsweise definierte Funktionen sind die klassischen Testfälle für [Grenzwerte](/blog/what-is-a-limit), [Stetigkeit](/blog/continuity) und Differenzierbarkeit, denn das Interessante passiert dort, wo die Abschnitte aufeinandertreffen.

## So liest man eine abschnittsweise definierte Funktion

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 3 - x & x \ge 1 \end{cases}$$

Zum Auswerten prüfst du zuerst, welche Bedingung $x$ erfüllt, und verwendest dann nur diesen Term. Hier ist $f(0) = 0^2 = 0$, $f(1) = 3 - 1 = 2$ (denn $x \ge 1$ schließt $1$ ein) und $f(2) = 3 - 2 = 1$.

## Graph einer abschnittsweise definierten Funktion

```graph
title: 'Graph einer abschnittsweise definierten Funktion mit Sprung bei x = 1'
caption: 'Der linke Abschnitt $x^2$ nähert sich dem offenen Punkt $(1, 1)$. Der rechte Abschnitt $3 - x$ beginnt im ausgefüllten Punkt $(1, 2)$, dem tatsächlichen Wert $f(1)$.'
x: [-2, 4]
y: [-1.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x², x < 1
    domain: [-2, 1]
  - expr: 3 - x
    label: y = 3 − x, x ≥ 1
    domain: [1, 4]
points:
  - [1, 1, '(1, 1)', open]
  - [1, 2, '(1, 2)']
```

Jeder Abschnitt wird nur auf seinem eigenen Intervall gezeichnet. Ein **offener Punkt** markiert einen Randpunkt, der nicht dazugehört; ein **ausgefüllter Punkt** einen, der dazugehört.

## Grenzwerte abschnittsweise definierter Funktionen

An einer Nahtstelle $a$ berechnest du die beiden [einseitigen Grenzwerte](/blog/how-to-evaluate-limits) getrennt, jeweils mit dem passenden Term. Für die Funktion oben bei $a = 1$:

$$\lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}x^2 = 1, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}(3 - x) = 2$$

Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden, also existiert $\lim_{x\to 1}f(x)$ nicht, und der Graph hat einen Sprung. Abseits der Nahtstelle bestimmst du einen Grenzwert einfach durch [direktes Einsetzen](/rules/direct-substitution) in den zuständigen Term.

## Stetigkeit an einer Nahtstelle

$f$ ist bei $a$ stetig, wenn alle drei Größen übereinstimmen:

1. der linksseitige Grenzwert $\lim_{x\to a^-}f(x)$,
2. der rechtsseitige Grenzwert $\lim_{x\to a^+}f(x)$,
3. der Funktionswert $f(a)$.

**Beispiel: eine Konstante bestimmen.** Für welches $k$ ist

$$g(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \ge 2 \end{cases}$$

stetig? Der linksseitige Grenzwert bei $2$ ist $2k + 1$, rechtsseitiger Grenzwert und Funktionswert sind $2^2 = 4$. Aus $2k + 1 = 4$ folgt $k = \frac{3}{2}$.

## Ableitungen abschnittsweise definierter Funktionen

Innerhalb jedes offenen Intervalls leitest du den zuständigen Term wie gewohnt ab. An einer Nahtstelle brauchst du zwei Prüfungen:

- $f$ muss dort stetig sein (bei einem Sprung gibt es keine Ableitung).
- Linke und rechte Ableitung müssen übereinstimmen: $\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Sind beide Teilfunktionen differenzierbare Polynome und ist $f$ bei $a$ stetig, reduziert sich die zweite Prüfung auf den Vergleich von $f_1'(a)$ mit $f_2'(a)$.

**Beispiel: ein Knick.** Die [Betragsfunktion](/functions/absolute-value-function) $|x|$ ist $-x$ für $x < 0$ und $x$ für $x \ge 0$. Sie ist bei $0$ stetig, aber die linke Steigung ist $-1$ und die rechte Steigung $1$. Also ist $|x|$ bei $0$ nicht differenzierbar.

**Beispiel: stetig, aber nicht glatt.** Für $g$ von oben mit $k = \frac{3}{2}$ ist die linke Steigung bei $2$ gleich $\frac{3}{2}$ und die rechte Steigung $2x = 4$. Sie sind verschieden, also ist $g$ bei $x = 2$ stetig, aber nicht differenzierbar.

## Abschnittsweise definierte Funktionen integrieren

Teile das Integral an jeder Nahtstelle innerhalb des Intervalls auf. Für die erste Funktion auf $[0, 3]$:

$$\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^3 (3 - x)\,dx = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$$

Das zweite Integral ist $\left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$. Ein einzelner Sprung ändert den Wert des Integrals nicht, daher ist es egal, zu welchem Abschnitt der Punkt $x = 1$ gehört.

## Häufige Fehler

1. **Am Rand den falschen Term verwenden.** Prüfe, ob die Bedingung $<$ oder $\le$ lautet, bevor du $f(a)$ berechnest.
2. **Stetigkeit nur von einer Seite aus folgern.** Beide einseitigen Grenzwerte und der Funktionswert müssen übereinstimmen.
3. **Annehmen, dass stetig auch differenzierbar bedeutet.** Knicke wie bei $|x|$ an der Stelle $0$ sind stetig, haben aber keine Ableitung.
4. **An einer Sprungstelle die abgeleiteten Terme vergleichen.** Ist $f$ bei $a$ nicht stetig, ist die Funktion dort auch nicht differenzierbar, selbst wenn die Steigungen der Abschnitte zufällig übereinstimmen.
5. **Einen einzigen Term über das ganze Intervall integrieren.** Teile immer an den Nahtstellen auf.

## Verwandte Funktionen

Die [Gaußklammer- und Aufrundungsfunktion](/functions/floor-and-ceiling-functions) sind abschnittsweise konstante Treppenfunktionen mit einem Sprung an jeder ganzen Zahl, und die [Betragsfunktion](/functions/absolute-value-function) ist die einfachste abschnittsweise definierte Funktion mit einem Knick. Eine ausführliche Behandlung von Grenzwerten und Stetigkeit findest du im Leitfaden zur [Stetigkeit](/blog/continuity).

## Häufig gestellte Fragen

### Wie bestimmt man den Grenzwert einer abschnittsweise definierten Funktion?

Abseits einer Nahtstelle verwendest du den Term des zuständigen Abschnitts. An einer Nahtstelle berechnest du den linksseitigen Grenzwert mit dem linken Term und den rechtsseitigen Grenzwert mit dem rechten Term. Der Grenzwert existiert nur, wenn beide übereinstimmen.

### Wie macht man eine abschnittsweise definierte Funktion stetig?

Setze an jeder Nahtstelle $a$ die beiden Terme bei $x = a$ gleich und löse nach der unbekannten Konstante auf. So stimmen linker und rechter Grenzwert mit $f(a)$ überein.

### Ist eine stetige abschnittsweise definierte Funktion immer differenzierbar?

Nein. Die Teilfunktionen können mit unterschiedlicher Steigung aufeinandertreffen und einen Knick bilden. Die Betragsfunktion $|x|$ ist bei $0$ stetig, dort aber nicht differenzierbar.

### Wie zeichnet man eine abschnittsweise definierte Funktion?

Zeichne jeden Term nur auf seinem eigenen Intervall. An jedem Randpunkt setzt du einen ausgefüllten Punkt, wenn der Randpunkt dazugehört, und einen offenen Punkt, wenn nicht.