# Arkuskosinus arccos(x): Graph, Definitionsbereich, Ableitung, Integral

> Die Arkuskosinusfunktion arccos(x), die Umkehrfunktion des Kosinus: Definitionsbereich [−1, 1], Wertebereich [0, π], Graph, Ableitung, Integral und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/arkuskosinus
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $[-1, 1]$
- **Wertebereich:** $[0, \pi]$
- **Ableitung:** $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Integral:** $x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Bedeutung:** Der Winkel in $[0, \pi]$, dessen Kosinus $x$ ist
- **Identität:** $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

## Das Wichtigste

- $\arccos x$ ist der Winkel in $[0, \pi]$, dessen Kosinus $x$ ist, definiert für $-1 \le x \le 1$.
- Die Ableitung ist $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, also das Negative der Ableitung des Arkussinus.
- Arkussinus und Arkuskosinus ergeben zusammen immer $\frac{\pi}{2}$.

Die **Arkuskosinusfunktion** macht den Kosinus rückgängig: $\arccos x$ ist der Winkel in $[0, \pi]$, dessen Kosinus $x$ ist. Sie ist nur für $-1 \le x \le 1$ definiert und eng mit dem [Arkussinus](/functions/arcsine) verwandt: Beide ergeben zusammen immer $\frac{\pi}{2}$.

## Definition von arccos x

$$y = \arccos x \quad\Longleftrightarrow\quad \cos y = x \text{ und } 0 \le y \le \pi$$

Zum Beispiel ist $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, denn $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ und $\frac{2\pi}{3}$ liegt in $[0, \pi]$. Man nimmt das Intervall $[0, \pi]$, weil der [Kosinus](/functions/cosine-function) dort injektiv ist und jeden Wert in $[-1, 1]$ erreicht.

## Graph von y = arccos x

```graph
title: 'Graph von y = arccos x auf [−1, 1]'
caption: 'Der Arkuskosinus fällt von $\pi$ bei $x = -1$ auf $0$ bei $x = 1$ und verläuft durch $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-0.4, 3.6]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

Anders als der Arkussinus ist der Arkuskosinus fallend und weder gerade noch ungerade. Sein Graph ist punktsymmetrisch zum Punkt $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, was die Identität $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$ widerspiegelt.

## Wichtige Werte des Arkuskosinus

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arccos x$ | $\pi$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $0$ |

## Eigenschaften des Arkuskosinus

- **Definitionsbereich $[-1, 1]$, Wertebereich $[0, \pi]$.**
- **Fallend** auf dem gesamten Definitionsbereich.
- **Aufheben.** $\cos(\arccos x) = x$ für $x$ in $[-1, 1]$; $\arccos(\cos x) = x$ nur für $x$ in $[0, \pi]$.
- **Ergänzungsidentität.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ für jedes $x$ in $[-1, 1]$.
- **Spiegelung.** $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

## Ableitung von arccos x

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Warum.** Sei $y = \arccos x$, also $\cos y = x$. Implizites Differenzieren ergibt $-\sin y\cdot y' = 1$, also $y' = -\frac{1}{\sin y}$. Auf $[0, \pi]$ gilt $\sin y \ge 0$, daher ist $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.

Schneller geht es so: Leite $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$ ab. Die Konstante fällt weg und das Vorzeichen dreht sich um.

## Integral von arccos x

Verwende [partielle Integration](/blog/integration-by-parts) mit $u = \arccos x$ und $dv = dx$, also $du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ und $v = x$:

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$$

Probe: Die Ableitung von $-\sqrt{1-x^2}$ ist $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$. Das hebt das $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ aus der Produktregel bei $x\arccos x$ auf, und übrig bleibt $\arccos x$.

In der Praxis brauchst du selten eine "Arkuskosinus"-Stammfunktion für $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, denn $-\arcsin x + C$ funktioniert genauso. Die beiden Ergebnisse unterscheiden sich nur um die Konstante $\frac{\pi}{2}$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Kettenregel.** Leite $f(x) = \arccos(x^2)$ ab:

$$f'(x) = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$$

**Beispiel 2: auswerten.** $\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)$. Da $\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$ ist, lautet das Ergebnis $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, nicht $\frac{5\pi}{3}$.

**Beispiel 3: Verkettung.** Vereinfache $\sin(\arccos x)$. Mit $\theta = \arccos x$ in $[0, \pi]$ gilt $\sin\theta \ge 0$, also $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.

**Beispiel 4: eine Tangente.** Bei $x = 0$ ist $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ und die Steigung $-\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$. Die Tangente lautet $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Häufige Fehler

1. **Den Wertebereich des Arkussinus verwenden.** $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, das in $[0, \pi]$ liegt, nicht $-\frac{\pi}{4}$.
2. **Das Minuszeichen in der Ableitung vergessen.** Die Ableitung des Arkussinus ist positiv, die des Arkuskosinus negativ.
3. **$\cos^{-1}x$ als $\sec x$ lesen.** Der Kehrwert $\frac{1}{\cos x}$ ist der Sekans (siehe [reziproke trigonometrische Funktionen](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Annehmen, dass $\arccos(\cos x) = x$ immer gilt.** Das stimmt nur für $x$ in $[0, \pi]$.

## Zusammenhänge mit anderen Themen

Der Arkuskosinus liefert den Winkel zwischen zwei Vektoren, $\theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$, weshalb er beim [Skalarprodukt](/blog/vectors-dot-and-cross-product) auftaucht. Seine Ableitung ist das Spiegelbild der des [Arkussinus](/functions/arcsine), und die dritte Arkusfunktion, die du fürs Integrieren brauchst, ist der [Arkustangens](/functions/arctangent).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arccos x?

Die Ableitung von $\arccos x$ ist $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ für $-1 < x < 1$. Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\arccos(u) = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### Was ist der Wertebereich von arccos x?

Der Wertebereich ist $[0, \pi]$. Auf diesem Intervall ist der Kosinus umkehrbar (injektiv) und nimmt jeden Wert von $-1$ bis $1$ genau einmal an.

### Warum unterscheidet sich der Wertebereich von arccos von dem von arcsin?

Der Sinus ist auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ injektiv, der Kosinus dort aber nicht (er ist gerade). Der Kosinus ist auf $[0, \pi]$ injektiv, deshalb verwendet der Arkuskosinus dieses Intervall.

### Was ist das Integral von arccos x?

Partielle Integration liefert $\int\arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.