# Arkussinus arcsin(x): Graph, Definitionsbereich, Ableitung, Integral

> Die Arkussinusfunktion arcsin(x), die Umkehrfunktion des Sinus: Definitionsbereich [−1, 1], Wertebereich [−π/2, π/2], Graph, Ableitung, Integral und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/arkussinus
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $[-1, 1]$
- **Wertebereich:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Ableitung:** $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Integral:** $x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Bedeutung:** Der Winkel in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, dessen Sinus $x$ ist
- **Symmetrie:** Ungerade: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$

## Das Wichtigste

- $\arcsin x$ ist der Winkel in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, dessen Sinus $x$ ist, definiert nur für $-1 \le x \le 1$.
- Die Ableitung ist $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, also gilt $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$.
- $\sin^{-1}x$ bedeutet Arkussinus, nicht $\frac{1}{\sin x}$.

Die **Arkussinusfunktion** macht die Sinusfunktion rückgängig: $\arcsin x$ ist der Winkel, dessen Sinus $x$ ist. Weil sich der [Sinus](/functions/sine-function) periodisch wiederholt, ist er nicht injektiv, deshalb wählt der Arkussinus die eine Lösung in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. In der Analysis ist er vor allem als Stammfunktion von $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ wichtig.

## Definition von arcsin x

$$y = \arcsin x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin y = x \text{ und } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$

Also ist $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, denn $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ und $\frac{\pi}{6}$ liegt im erlaubten Bereich. Die Schreibweise $\sin^{-1}x$ bedeutet dasselbe.

## Graph von y = arcsin x

```graph
title: 'Graph von y = arcsin x auf [−1, 1]'
caption: 'Der Arkussinus steigt von $-\frac{\pi}{2}$ bei $x = -1$ auf $\frac{\pi}{2}$ bei $x = 1$. Die Tangenten an beiden Randpunkten sind senkrecht.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-1.9, 1.9]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
```

Der Graph ist das Stück von $y = \sin x$ auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, gespiegelt an der Geraden $y = x$.

## Wichtige Werte des Arkussinus

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arcsin x$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |

## Eigenschaften des Arkussinus

- **Definitionsbereich $[-1, 1]$, Wertebereich $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.** Eingaben außerhalb von $[-1, 1]$ sind nicht definiert, da kein Winkel den Sinus $2$ hat.
- **Steigend.** Der Arkussinus ist auf seinem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend.
- **Ungerade.** $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
- **Aufheben.** $\sin(\arcsin x) = x$ für jedes $x$ in $[-1, 1]$, aber $\arcsin(\sin x) = x$ nur für $x$ in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
- **Beziehung zum Arkuskosinus.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Siehe [Arkuskosinus](/functions/arccosine).

## Ableitung von arcsin x

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Warum.** Sei $y = \arcsin x$, also $\sin y = x$. [Implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) ergibt $\cos y \cdot y' = 1$, also $y' = \frac{1}{\cos y}$. Da $y$ in $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ liegt, gilt $\cos y \ge 0$ und $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Das ist ein Spezialfall der [Ableitungsregel für Umkehrfunktionen](/rules/inverse-function-rule).

Bei $x = \pm 1$ ist der Nenner null, deshalb hat der Graph an seinen Randpunkten senkrechte Tangenten.

## Integrale mit dem Arkussinus

Die Ableitungsformel rückwärts gelesen ist das Integral, das du am häufigsten brauchst:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

Das Integral des Arkussinus selbst erhältst du durch [partielle Integration](/blog/integration-by-parts) mit $u = \arcsin x$, $dv = dx$:

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$$

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Kettenregel.** Leite $f(x) = \arcsin(3x)$ ab:

$$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$$

**Beispiel 2: ein bestimmtes Integral.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

**Beispiel 3: mit $a$.** $\int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$.

**Beispiel 4: Verkettung.** Vereinfache $\cos(\arcsin x)$. Ist $\theta = \arcsin x$, dann gilt $\sin\theta = x$ und $\cos\theta \ge 0$, also $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.

## Häufige Fehler

1. **$\sin^{-1}x$ als $\frac{1}{\sin x}$ lesen.** Der Kehrwert ist $\csc x$, behandelt bei den [reziproken trigonometrischen Funktionen](/functions/reciprocal-trig-functions).
2. **Einen Winkel außerhalb des Wertebereichs angeben.** $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, nicht $\frac{7\pi}{6}$ oder $\frac{11\pi}{6}$.
3. **Werte mit $|x| > 1$ einsetzen.** $\arcsin 2$ existiert nicht als reelle Zahl.
4. **Den Faktor aus der Kettenregel vergessen.** $\frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$, nicht $\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}$.

## Zusammenhänge mit anderen Themen

Der Arkussinus ist die Grundlage der Substitution $x = a\sin\theta$ bei der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution), die man für Integrale mit $\sqrt{a^2 - x^2}$ verwendet. Seine Geschwister sind der [Arkuskosinus](/functions/arccosine) und der [Arkustangens](/functions/arctangent), und alle drei Ableitungen werden im Leitfaden zum [impliziten Differenzieren](/blog/implicit-differentiation) auf die gleiche Weise hergeleitet.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arcsin x?

Die Ableitung von $\arcsin x$ ist $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ für $-1 < x < 1$. Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### Was sind Definitionsbereich und Wertebereich von arcsin x?

Der Definitionsbereich ist $[-1, 1]$, weil der Sinus nur Werte in diesem Intervall liefert. Der Wertebereich ist $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, das Intervall, auf dem der Sinus injektiv ist.

### Ist sin hoch minus 1 dasselbe wie 1/sin x?

Nein. $\sin^{-1}x$ ist die Umkehrfunktion Arkussinus. Der Kehrwert $\frac{1}{\sin x}$ ist der Kosekans, $\csc x$.

### Was ist das Integral von arcsin x?

Partielle Integration mit $u = \arcsin x$ und $dv = dx$ liefert $\int\arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.

### Warum ist arcsin(sin x) nicht immer gleich x?

Der Arkussinus liefert immer einen Winkel zwischen $-\frac{\pi}{2}$ und $\frac{\pi}{2}$. Zum Beispiel ist $\arcsin(\sin\pi) = \arcsin 0 = 0$, nicht $\pi$.