# Arkustangens arctan(x): Graph, Asymptoten, Ableitung und Integral

> Die Arkustangensfunktion arctan(x), die Umkehrfunktion des Tangens: Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich (−π/2, π/2), Ableitung und Integral.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/arkustangens
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$
- **Wertebereich:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Ableitung:** $\frac{1}{1 + x^2}$
- **Integral:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$
- **Waagerechte Asymptoten:** $y = \pm\frac{\pi}{2}$
- **Symmetrie:** Ungerade: $\arctan(-x) = -\arctan x$

## Das Wichtigste

- $\arctan x$ ist der Winkel in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, dessen Tangens $x$ ist, definiert für jedes reelle $x$.
- Die Ableitung ist $\frac{1}{1+x^2}$, also gilt $\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$.
- Der Graph hat die waagerechten Asymptoten $y = \frac{\pi}{2}$ und $y = -\frac{\pi}{2}$.

Die **Arkustangensfunktion** macht den Tangens rückgängig: $\arctan x$ ist der Winkel in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, dessen Tangens $x$ ist. Anders als [Arkussinus](/functions/arcsine) und [Arkuskosinus](/functions/arccosine) akzeptiert er jede reelle Zahl, weil der [Tangens](/functions/tangent-function) jeden reellen Wert annimmt. In der Analysis ist er als Stammfunktion von $\frac{1}{1+x^2}$ bekannt.

## Definition von arctan x

$$y = \arctan x \quad\Longleftrightarrow\quad \tan y = x \text{ und } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Da $\tan y$ die Steigung einer Geraden mit dem Winkel $y$ ist, kannst du dir $\arctan m$ als den Winkel vorstellen, den eine Gerade mit Steigung $m$ mit der positiven $x$-Achse bildet. Zum Beispiel ist $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$: Eine Gerade mit Steigung $1$ bildet einen Winkel von 45 Grad.

## Graph von y = arctan x

```graph
title: 'Graph von y = arctan x mit den waagerechten Asymptoten y = ±π/2'
caption: 'Der Arkustangens ist überall steigend und nähert sich rechts $\frac{\pi}{2}$ und links $-\frac{\pi}{2}$ an.'
x: [-8, 8]
y: [-2.2, 2.2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: '1.5708'
    label: y = π/2
    dashed: true
  - expr: '-1.5708'
    label: y = −π/2
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 0.7854, '(1, π/4)']
```

## Wichtige Werte des Arkustangens

| $x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arctan x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ |

## Eigenschaften des Arkustangens

- **Definitionsbereich alle reellen Zahlen, Wertebereich $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.** Die Randwerte werden nie erreicht.
- **Steigend und ungerade.** $\arctan(-x) = -\arctan x$.
- **Grenzwerte im Unendlichen.** $\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ und $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Siehe [Grenzwerte im Unendlichen](/blog/limits-at-infinity).
- **Aufheben.** $\tan(\arctan x) = x$ für alle $x$; $\arctan(\tan x) = x$ nur für $x$ in $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
- **Kehrwert-Identität.** Für $x > 0$ gilt $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$.

## Ableitung von arctan x

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

**Warum.** Sei $y = \arctan x$, also $\tan y = x$. [Implizites Differenzieren](/rules/implicit-differentiation) ergibt $\sec^2 y\cdot y' = 1$, also $y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Die Ableitung ist immer positiv und am größten bei $x = 0$, wo sie $1$ beträgt. Mit wachsendem $|x|$ geht sie gegen $0$, passend dazu, wie der Graph flacher wird.

## Integrale mit dem Arkustangens

$$\int\frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

Diese Integrale treten immer dann auf, wenn ein nicht zerlegbarer quadratischer Term im Nenner steht, was bei der [Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions) häufig vorkommt.

Das Integral des Arkustangens selbst erhältst du durch [partielle Integration](/blog/integration-by-parts) mit $u = \arctan x$, $dv = dx$:

$$\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$$

Ein Betrag ist nicht nötig, weil $1 + x^2 > 0$ gilt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Kettenregel.** Leite $f(x) = \arctan(2x)$ ab:

$$f'(x) = \frac{2}{1 + 4x^2}$$

**Beispiel 2: ein uneigentliches Integral.**

$$\int_0^\infty\frac{dx}{1 + x^2} = \lim_{b\to\infty}\left(\arctan b - \arctan 0\right) = \frac{\pi}{2}$$

Das ist ein klassisches konvergentes [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals).

**Beispiel 3: quadratische Ergänzung.** Berechne $\int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. Schreibe $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ und verwende $a = 2$:

$$\int\frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Beispiel 4: ein bestimmtes Integral.** $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$.

## Häufige Fehler

1. **Die Ableitung als $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ schreiben.** Beim Arkustangens gibt es keine Wurzel. Die Wurzel gehört zu Arkussinus und Arkuskosinus (mit $1 - x^2$).
2. **Den Faktor $\frac{1}{a}$ vergessen.** $\int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$, nicht $\arctan\frac{x}{3} + C$.
3. **$\tan^{-1}x$ als $\cot x$ lesen.** $\frac{1}{\tan x}$ ist der Kotangens, eine andere Funktion (siehe [reziproke trigonometrische Funktionen](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Ein Ergebnis außerhalb des Wertebereichs angeben.** $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$, nicht $\frac{3\pi}{4}$.

## Zusammenhänge mit anderen Themen

Die Substitution $x = a\tan\theta$ bei der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution) führt zu Ergebnissen mit dem Arkustangens. Seine [Potenzreihe](/blog/power-series), $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ für $|x| \le 1$, entsteht durch Integrieren der [geometrischen Reihe](/blog/geometric-series) für $\frac{1}{1+x^2}$, und bei $x = 1$ ergibt sie die berühmte Formel $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von arctan x?

Die Ableitung von $\arctan x$ ist $\frac{1}{1+x^2}$. Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{u'}{1+u^2}$.

### Was ist das Integral von 1/(1+x^2)?

Es ist $\arctan x + C$. Allgemeiner gilt $\int\frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$ für $a > 0$.

### Was ist der Grenzwert von arctan x für x gegen unendlich?

$\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ und $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Das sind die waagerechten Asymptoten des Graphen.

### Was ist das Integral von arctan x?

Partielle Integration mit $u = \arctan x$ und $dv = dx$ liefert $\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.