# Betragsfunktion |x|: Graph, Ableitung, Integral und Knickstelle > Die Betragsfunktion |x|: ihr V-förmiger Graph, warum sie bei 0 stetig, aber nicht differenzierbar ist, ihre Ableitung x/|x| und ihr Integral. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/betragsfunktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** $[0, \infty)$ - **Ableitung:** $\frac{x}{|x|}$ - **Integral:** $\frac{x|x|}{2} + C$ - **Nicht differenzierbar bei:** $x = 0$ (ein Knick) - **Symmetrie:** Gerade: $|-x| = |x|$ ## Das Wichtigste - Der Betrag $|x|$ ist der Abstand von $x$ zu $0$. Er ist also nie negativ, und sein Graph hat die Form eines V. - Die Funktion ist überall stetig, aber bei $x = 0$ nicht differenzierbar, denn dort hat der Graph einen spitzen Knick. - Für $x \ne 0$ ist die Ableitung $\frac{x}{|x|}$, also $1$ für $x > 0$ und $-1$ für $x < 0$. - Um $|x|$ über ein Intervall zu integrieren, das $0$ enthält, teilt man das Integral bei $0$ auf. Die **Betragsfunktion** $f(x) = |x|$ gibt den Abstand von $x$ zu $0$ auf dem Zahlenstrahl an und entfernt damit jedes Minuszeichen: $|3| = 3$ und $|-3| = 3$. Ihr V-förmiger Graph ist das klassische Beispiel für eine Funktion, die überall stetig ist, aber eine Stelle besitzt, an der die Ableitung nicht existiert. ## Formel $$|x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$ Sie ist eine [abschnittsweise definierte Funktion](/functions/piecewise-functions), zusammengesetzt aus zwei [linearen Funktionen](/functions/linear-function). Gleichwertig gilt $|x| = \sqrt{x^2}$, was sie mit der [Wurzelfunktion](/functions/square-root-function) verbindet. ## Graph von |x| ```graph title: 'Graph der Betragsfunktion y = |x|' caption: 'Der Graph ist ein V mit dem Scheitel im Ursprung. Links ist die Steigung $-1$, rechts $1$, daher entsteht bei $x = 0$ ein Knick.' x: [-4, 4] y: [-1, 4] functions: - expr: abs(x) label: y = |x| points: - [0, 0, 'Knick (0, 0)'] ``` Die allgemeine Form $y = a|x - h| + k$ ist ein V mit Scheitel $(h, k)$, nach oben geöffnet für $a > 0$ und nach unten für $a < 0$, mit den Steigungen $\pm a$ an den beiden Ästen. ## Wichtige Eigenschaften - **Definitionsbereich** alle reellen Zahlen; **Wertebereich** $[0, \infty)$. - **Gerade Funktion:** $|-x| = |x|$, symmetrisch zur $y$-Achse. - **Überall stetig**, auch bei $0$. - **Globales Minimum** $0$ bei $x = 0$. Diese Stelle ist ein kritischer Punkt, weil $f'(0)$ nicht existiert. - **Dreiecksungleichung:** $|a + b| \le |a| + |b|$. - **Produkte lassen sich aufteilen, Summen nicht:** $|ab| = |a||b|$, aber $|a + b|$ ist meist nicht gleich $|a| + |b|$. ## Ableitung von |x| Für $x \ne 0$: $$\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$$ Bei $x = 0$ sind die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten $$\lim_{h \to 0^+}\frac{|h|}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-}\frac{|h|}{h} = -1$$ Sie stimmen nicht überein, also existiert $f'(0)$ nicht. Das ist der Lehrbuchfall dafür, [wann Ableitungen nicht existieren](/blog/limit-definition-of-the-derivative): ein Knick. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) gilt $\frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x)$ überall dort, wo $g(x) \ne 0$ ist. ## Integral von |x| $$\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$$ Prüfe es stückweise: Für $x > 0$ ist das $\frac{x^2}{2}$ mit der Ableitung $x = |x|$; für $x < 0$ ist es $-\frac{x^2}{2}$ mit der Ableitung $-x = |x|$. Bei einem bestimmten Integral teilst du an der Stelle auf, an der der Ausdruck im Betrag sein Vorzeichen wechselt. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: bestimmtes Integral.** Berechne $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$, indem du bei $0$ aufteilst: $$\int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{2}x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$ Geometrisch sind das zwei Dreiecke mit den Flächen $\frac{1}{2}$ und $2$. **Beispiel 2: ein verschobener Betrag.** $g(x) = |x - 3|$ hat für $x > 3$ die Ableitung $1$ und für $x < 3$ die Ableitung $-1$ und ist bei $x = 3$ nicht differenzierbar. **Beispiel 3: Kettenregel.** Für $x \ne 2$ gilt $\frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2$, also $2$ für $x > 2$ und $-2$ für $x < 2$. **Beispiel 4: ein Grenzwert.** $\lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}$ existiert nicht, denn von rechts ergibt sich $1$ und von links $-1$. ## Häufige Fehler 1. **Behaupten, $|x|$ sei bei $0$ nicht stetig.** Die Funktion ist dort stetig, nur nicht differenzierbar. 2. **$|{-x}| = -|x|$ schreiben.** Ein Betrag ist nie negativ: $|-x| = |x|$. 3. **Über $0$ hinweg integrieren, ohne aufzuteilen.** $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ ist nicht $\frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}$. 4. **Vergessen, dass es ein kritischer Punkt ist.** Bei der Suche nach Extremstellen gehören auch Stellen dazu, an denen die Ableitung nicht existiert, wie der Scheitel eines V. ## Zusammenhänge Beträge tauchen in $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$ auf, in der Epsilon-Delta-Definition des Grenzwerts und bei der absoluten Konvergenz von Reihen in den [Konvergenzkriterien](/blog/convergence-tests). Mehr über Knicke und andere Stellen, an denen Ableitungen nicht existieren, findest du im Leitfaden zur [Stetigkeit](/blog/continuity). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung von |x|? Für $x \ne 0$ gilt $\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|}$, also $1$ für $x > 0$ und $-1$ für $x < 0$. Bei $x = 0$ existiert die Ableitung nicht. ### Warum ist |x| bei 0 nicht differenzierbar? Die Steigung von rechts ist $1$, die Steigung von links ist $-1$. Da die einseitigen Grenzwerte des Differenzenquotienten nicht übereinstimmen, existiert die Ableitung bei $0$ nicht, und der Graph zeigt einen spitzen Knick. ### Ist die Betragsfunktion stetig? Ja. $|x|$ ist an jeder reellen Stelle stetig, auch bei $0$, wo beide einseitigen Grenzwerte gleich $0 = |0|$ sind. Sie zeigt, dass aus Stetigkeit nicht Differenzierbarkeit folgt. ### Was ist das Integral von |x|? Eine Stammfunktion ist $\frac{x|x|}{2}$, also $\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$. Bei bestimmten Integralen ist es meist einfacher, bei $0$ aufzuteilen, zum Beispiel $\int_{-1}^{2}|x|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.