# Exponentialfunktion bˣ: Graph, Wachstum, Ableitung und Integral > Exponentialfunktionen f(x) = b^x: Graphen für Wachstum und Zerfall, Eigenschaften, die Ableitung b^x ln b, das Integral b^x / ln b + C und Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/exponentialfunktionen Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = b^x, \quad b > 0,\ b \ne 1 $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** $(0, \infty)$ - **Ableitung:** $b^x \ln b$ - **Integral:** $\frac{b^x}{\ln b} + C$ - **Wachstum oder Zerfall:** Wachstum für $b > 1$, Zerfall für $0 < b < 1$ - **Umkehrfunktion:** $\log_b x$ ## Das Wichtigste - Eine Exponentialfunktion $b^x$ hat eine feste positive Basis $b \ne 1$, und die Variable steht im Exponenten. - Ihre Ableitung ist $b^x\ln b$: dieselbe Funktion, multipliziert mit dem natürlichen Logarithmus der Basis. - Ihr Integral ist $\frac{b^x}{\ln b} + C$. - Jede Exponentialfunktion lässt sich als $b^x = e^{x\ln b}$ schreiben. So werden beide Regeln hergeleitet. Eine **Exponentialfunktion** hat eine konstante Basis, die mit einer variablen Hochzahl potenziert wird: $f(x) = b^x$. Jedes Mal, wenn $x$ um $1$ wächst, wird der Funktionswert mit demselben Faktor $b$ multipliziert. Deshalb beschreiben Exponentialfunktionen Zinseszins, Bevölkerungswachstum, Halbwertszeiten und alles andere, was sich um einen festen Prozentsatz ändert. ## Formel $$f(x) = b^x, \qquad b > 0,\ b \ne 1$$ Allgemeiner ist $f(x) = A\,b^x$, wobei $A = f(0)$ der Anfangswert ist. Die Einschränkungen für $b$ sind wichtig: $b = 1$ liefert die Konstante $1$, und eine negative Basis wie $(-2)^x$ ist für die meisten gebrochenen $x$ nicht reell. Die wichtigste Basis ist $e$; siehe die [natürliche Exponentialfunktion](/functions/natural-exponential-function). ## Graphen von Exponentialfunktionen ```graph title: 'Graphen der Exponentialfunktionen y = 2ˣ und y = (1/2)ˣ' caption: 'Beide verlaufen durch $(0, 1)$ und haben die waagerechte Asymptote $y = 0$. Die Basis $2$ zeigt Wachstum, die Basis $\tfrac{1}{2}$ zeigt Zerfall und ist das Spiegelbild an der $y$-Achse.' x: [-4, 4] y: [-1, 9] functions: - expr: 2^x label: y = 2ˣ - expr: (0.5)^x label: y = (1/2)ˣ points: - [0, 1, '(0, 1)'] ``` ## Wichtige Eigenschaften - **Definitionsbereich** alle reellen Zahlen, **Wertebereich** $(0, \infty)$; der Graph verläuft immer durch $(0, 1)$. - **Wachstum ($b > 1$):** streng monoton steigend, $b^x \to \infty$ für $x \to \infty$ und $b^x \to 0$ für $x \to -\infty$. - **Zerfall ($0 < b < 1$):** streng monoton fallend, mit den umgekehrten Grenzwerten. - **Waagerechte Asymptote** $y = 0$ in beiden Fällen. Keine Schnittpunkte mit der $x$-Achse. - **Linksgekrümmt (konvex)** für jede zulässige Basis. - **Umkehrfunktion** ist die [Logarithmusfunktion](/functions/logarithmic-functions) $\log_b x$. - **Basiswechsel:** $b^x = e^{x\ln b}$. - **Potenzgesetze:** $b^{m}b^{n} = b^{m+n}$, $\frac{b^m}{b^n} = b^{m-n}$, $(b^m)^n = b^{mn}$, $b^{-n} = \frac{1}{b^n}$. ## Ableitung von bˣ Schreibe die Funktion mit der Basis $e$ um und wende die [Kettenregel](/rules/chain-rule) an: $$\frac{d}{dx}b^x = \frac{d}{dx}e^{x\ln b} = e^{x\ln b}\ln b = b^x\ln b$$ Die Ableitung ist proportional zur Funktion selbst. Für $b > 1$ ist $\ln b > 0$ (Wachstum); für $0 < b < 1$ ist $\ln b < 0$ (Zerfall). Mit einer inneren Funktion gilt $\frac{d}{dx}b^{g(x)} = b^{g(x)}\ln b \cdot g'(x)$. ## Integral von bˣ $$\int b^x\,dx = \frac{b^x}{\ln b} + C$$ Zur Probe die rechte Seite ableiten: $\frac{b^x\ln b}{\ln b} = b^x$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}5^x = 5^x\ln 5$. **Beispiel 2: Kettenregel.** $\frac{d}{dx}3^{x^2} = 3^{x^2}\ln 3 \cdot 2x$. **Beispiel 3: bestimmtes Integral.** $\int_0^2 2^x\,dx = \left[\frac{2^x}{\ln 2}\right]_0^2 = \frac{4 - 1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \approx 4.33$. **Beispiel 4: Halbwertszeit.** Eine Probe mit einer Halbwertszeit von $5$ Jahren hat $A(t) = A_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5}$. Die Zerfallsrate ist $$A'(t) = A_0\left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/5}\ln\tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{5} = -\frac{\ln 2}{5}A(t)$$ Die Probe verliert also in jedem Moment etwa $13.9\%$ ihrer aktuellen Menge pro Jahr. **Beispiel 5: Zinseszins.** Bei $5\%$ Zinsen pro Jahr gilt $P(t) = P_0(1.05)^t$. Bei stetiger Verzinsung wird daraus $P_0e^{0.05t}$. ## Häufige Fehler 1. **Die Potenzregel verwenden.** $\frac{d}{dx}2^x \ne x\,2^{x-1}$. 2. **Den Faktor $\ln b$ vergessen** oder $\log_{10} b$ statt $\ln b$ schreiben. 3. **Beim Integrieren multiplizieren statt dividieren.** $\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$, nicht $2^x\ln 2 + C$. 4. **$2 \cdot 3^x = 6^x$ schreiben.** Der Vorfaktor lässt sich nicht mit der Basis zusammenfassen. ## Zusammenhänge Exponentialfunktionen wachsen schneller als jedes Polynom. Diese Tatsache steckt hinter vielen Aufgaben zu [Grenzwerten im Unendlichen](/blog/limits-at-infinity) und zur [Regel von L'Hospital](/blog/lhopitals-rule). Geometrische Folgen sind Exponentialfunktionen, ausgewertet an ganzen Zahlen, und führen zur [geometrischen Reihe](/blog/geometric-series). Mehr Übung zum Ableiten bietet der Leitfaden zu [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung von a^x? Die Ableitung von $a^x$ ist $a^x\ln a$. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$. Für $a = e$ gilt $\ln e = 1$, und die Formel wird zu $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. ### Was ist das Integral von a^x? $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ für $a > 0$, $a \ne 1$. Zum Beispiel ist $\int 3^x\,dx = \frac{3^x}{\ln 3} + C$. ### Was ist der Unterschied zwischen exponentiellem Wachstum und Zerfall? Ist die Basis $b > 1$, wächst die Funktion mit zunehmendem $x$ (exponentielles Wachstum). Ist $0 < b < 1$, schrumpft sie gegen $0$ (exponentieller Zerfall). In der Form $Ae^{kt}$ bedeutet Wachstum $k > 0$ und Zerfall $k < 0$. ### Warum darf man bei 2^x nicht die Potenzregel verwenden? Die Potenzregel gilt für eine variable Basis mit konstantem Exponenten, etwa $x^2$. Bei $2^x$ ist die Basis konstant und der Exponent variabel, also braucht man die Regel für Exponentialfunktionen $\frac{d}{dx}2^x = 2^x\ln 2$.