# Gebrochenrationale Funktionen: Asymptoten, Lücken, Ableitung > Gebrochenrationale Funktionen P(x)/Q(x): Definitionsbereich, senkrechte und waagerechte Asymptoten, Lücken, Quotientenregel und Partialbruchzerlegung. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/gebrochenrationale-funktionen Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** Alle $x$ mit $Q(x) \ne 0$ - **Ableitung:** $\frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$ - **Integral:** $\int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C$ - **Senkrechte Asymptoten:** Nullstellen von $Q$, die sich nicht kürzen lassen - **Waagerechte Asymptote:** Grade von $P$ und $Q$ vergleichen - **Integrationsmethode:** Polynomdivision, dann Partialbruchzerlegung ## Das Wichtigste - Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Quotient zweier Polynome und überall dort definiert, wo der Nenner nicht null ist. - Eine Nullstelle des Nenners liefert eine senkrechte Asymptote oder eine Lücke, wenn sich der Faktor mit dem Zähler kürzen lässt. - Ableiten mit der Quotientenregel; integrieren mit Polynomdivision und Partialbruchzerlegung. - Die Grade von Zähler und Nenner entscheiden über die waagerechte oder schräge Asymptote. Eine **gebrochenrationale Funktion** ist ein Polynom geteilt durch ein anderes. Sie ist überall definiert, außer dort, wo der Nenner null ist, und gerade das Verhalten in der Nähe dieser Stellen, Asymptoten und Lücken, macht sie so wichtig für Grenzwerte, Kurvendiskussion und Integration. ## Definition und Formel $$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \ne 0$$ $P$ und $Q$ sind [Polynome](/functions/polynomial-functions), und $Q$ ist nicht das Nullpolynom. Das einfachste Beispiel ist die [Kehrwertfunktion](/functions/reciprocal-function) $\frac{1}{x}$. Weitere Beispiele sind $\frac{2x + 1}{x - 1}$ und $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$. ## Graph einer gebrochenrationalen Funktion ```graph title: 'Graph der gebrochenrationalen Funktion y = (2x + 1)/(x - 1) mit Asymptoten' caption: 'Die senkrechte Asymptote ist $x = 1$, die waagerechte Asymptote ist $y = 2$, der Quotient der Leitkoeffizienten.' x: [-6, 8] y: [-8, 12] functions: - expr: (2x + 1)/(x - 1) label: y = (2x + 1)/(x - 1) - expr: '2' label: y = 2 (waagerechte Asymptote) dashed: true vertical: - {x: 1, label: 'x = 1'} ``` ## Asymptoten und Lücken Faktorisiere zuerst $P$ und $Q$ vollständig. - **Lücke.** Ein Faktor $(x - a)$, der sich aus Zähler und Nenner kürzen lässt, hinterlässt bei $x = a$ eine hebbare Unstetigkeit. Beispiel: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ für $x \ne 2$, eine Gerade mit einer Lücke bei $(2, 4)$. - **Senkrechte Asymptote.** Eine Nullstelle $a$ des Nenners, die nach dem Kürzen übrig bleibt. In der Nähe von $x = a$ strebt die Funktion gegen $\pm\infty$, die [einseitigen Grenzwerte](/blog/what-is-a-limit) sind also unendlich. - **Waagerechte Asymptote.** Aus den [Grenzwerten im Unendlichen](/blog/limits-at-infinity), mit $\deg P = m$ und $\deg Q = n$: | Grade | Verhalten für $x \to \pm\infty$ | | --- | --- | | $m < n$ | Asymptote $y = 0$ | | $m = n$ | Asymptote $y = \frac{\text{leading coeff of } P}{\text{leading coeff of } Q}$ | | $m = n + 1$ | schräge Asymptote aus der Polynomdivision | | $m > n + 1$ | keine Asymptote in Form einer Geraden | ## Ableitung einer gebrochenrationalen Funktion Verwende die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule): $$\frac{d}{dx}\,\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$$ Die Ableitung ist wieder eine gebrochenrationale Funktion, und dieselben Stellen sind aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen. ## Gebrochenrationale Funktionen integrieren Es gibt keine einzelne Formel. Das Standardverfahren ist: 1. Ist $\deg P \ge \deg Q$, führe eine Polynomdivision durch und erhalte ein Polynom plus einen echt gebrochenen Rest. 2. Faktorisiere $Q$ und zerlege den echt gebrochenen Rest mit der [Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions). 3. Integriere jeden Teil. Lineare Faktoren liefern Logarithmen, $\int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C$; nicht zerlegbare quadratische Faktoren liefern Arkustangens-Terme. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Asymptoten.** Bei $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ lässt sich nichts kürzen, also ist $x = 1$ eine senkrechte Asymptote. Die Grade sind gleich, also ist $y = \frac{2}{1} = 2$ die waagerechte Asymptote. **Beispiel 2: Ableitung.** Mit $P = 2x + 1$ und $Q = x - 1$: $$f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}$$ Die Ableitung ist immer negativ, also ist $f$ auf beiden Seiten der Asymptote streng monoton fallend. **Beispiel 3: ein Grenzwert an einer Lücke.** $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$. **Beispiel 4: Integral mit Partialbruchzerlegung.** Da $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}$ gilt, $$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$$ ## Häufige Fehler 1. **Jede Nullstelle des Nenners zur Asymptote erklären.** Kürze zuerst gemeinsame Faktoren; gekürzte Faktoren liefern Lücken. 2. **Summanden statt Faktoren kürzen.** $\frac{x + 4}{x + 2} \ne \frac{4}{2}$. Kürzen darf man nur gemeinsame Faktoren. 3. **Die Reihenfolge in der Quotientenregel vertauschen.** Der Zähler ist $P'Q - PQ'$; vertauscht man ihn, kehrt sich das Vorzeichen um. 4. **Partialbruchzerlegung auf einen unecht gebrochenen Bruch anwenden.** Führe zuerst eine Polynomdivision durch, wenn $\deg P \ge \deg Q$. ## Zusammenhänge Gebrochenrationale Funktionen sind die klassische Quelle für Grenzwerte der Form $\frac{0}{0}$, der Testfall für die [Regel von L'Hospital](/blog/lhopitals-rule) und das wichtigste Anwendungsgebiet der Partialbruchzerlegung in Analysis 2. Bei ihrer Kurvendiskussion kommt jedes Werkzeug der [Kurvendiskussion](/blog/curve-sketching-with-derivatives) zum Einsatz. ## Häufig gestellte Fragen ### Wie findet man die senkrechten Asymptoten einer gebrochenrationalen Funktion? Faktorisiere und kürze gemeinsame Faktoren, dann setze den verbleibenden Nenner gleich null. Jede übrig gebliebene Nullstelle liefert eine senkrechte Asymptote; ein gekürzter Faktor liefert stattdessen eine Lücke. ### Wie findet man die waagerechte Asymptote einer gebrochenrationalen Funktion? Vergleiche die Grade. Hat der Nenner den höheren Grad, ist die Asymptote $y = 0$. Sind die Grade gleich, ist sie der Quotient der Leitkoeffizienten. Hat der Zähler den höheren Grad, gibt es keine waagerechte Asymptote. ### Wie leitet man eine gebrochenrationale Funktion ab? Mit der Quotientenregel: $\left(\frac{P}{Q}\right)' = \frac{P'Q - PQ'}{Q^2}$. Bei einem einfachen Nenner geht es oft schneller, mit negativem Exponenten umzuschreiben und die Kettenregel zu verwenden. ### Wie integriert man eine gebrochenrationale Funktion? Ist der Zählergrad mindestens so groß wie der Nennergrad, führst du zuerst eine Polynomdivision durch. Dann zerlegst du den echt gebrochenen Rest mit der Partialbruchzerlegung; die Teile ergeben beim Integrieren Logarithmen, Potenzen und Arkustangens-Terme.