# Hyperbelfunktionen sinh, cosh, tanh: Graphen, Ableitungen, Integrale

> Die Hyperbelfunktionen sinh x, cosh x und tanh x: Definition über e^x, Graphen, Identitäten, Ableitungen, Integrale und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/hyperbelfunktionen
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich von sinh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Wertebereich von sinh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Ableitung:** $\cosh x$
- **Integral:** $\cosh x + C$
- **Wichtigste Identität:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Wertebereich von cosh x und tanh x:** $[1, \infty)$ und $(-1, 1)$

## Das Wichtigste

- $\sinh x$ und $\cosh x$ sind aus $e^x$ und $e^{-x}$ aufgebaut: Sie sind deren ungerader und gerader Anteil.
- Ableitungen: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$ und $(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x$, ganz ohne Minuszeichen.
- Die wichtigste Identität ist $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, mit einem Minus, wo in der Trigonometrie ein Plus steht.
- Hyperbelfunktionen sind nicht periodisch: Sie wachsen exponentiell (sinh, cosh) oder flachen ab (tanh).

Die **Hyperbelfunktionen** $\sinh x$, $\cosh x$ und $\tanh x$ sind Kombinationen aus $e^x$ und $e^{-x}$, die sich erstaunlich ähnlich wie die trigonometrischen Funktionen verhalten. Sie haben fast dieselben Identitäten und Ableitungsregeln, nur mit ein paar anderen Vorzeichen, und sie beschreiben reale Formen wie ein durchhängendes Seil.

## Definitionen

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Addiert man die ersten beiden, erhält man $\cosh x + \sinh x = e^x$. Sie zerlegen also die [natürliche Exponentialfunktion](/functions/natural-exponential-function) in einen geraden Anteil ($\cosh$) und einen ungeraden Anteil ($\sinh$). Die Kehrwertfunktionen sind genau wie ihre trigonometrischen Verwandten definiert: $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}$ und $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$.

## Graphen von sinh, cosh und tanh

```graph
title: 'Graphen von y = sinh x, y = cosh x und y = tanh x'
caption: '$\cosh x$ ist eine U-förmige Kurve mit dem Minimum $1$ bei $x = 0$. $\sinh x$ verläuft durch den Ursprung und wächst unbeschränkt. $\tanh x$ ist zwischen $-1$ und $1$ eingeschlossen.'
x: [-3, 3]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = sinh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x
  - expr: tanh(x)
    label: y = tanh x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

| Funktion | Definitionsbereich | Wertebereich | Symmetrie | Wert bei $0$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sinh x$ | alle reellen Zahlen | alle reellen Zahlen | ungerade | $0$ |
| $\cosh x$ | alle reellen Zahlen | $[1, \infty)$ | gerade | $1$ |
| $\tanh x$ | alle reellen Zahlen | $(-1, 1)$ | ungerade | $0$ |

$\tanh x$ hat die waagerechten Asymptoten $y = 1$ und $y = -1$, denn $\tanh x \to 1$ für $x \to \infty$ und $\tanh x \to -1$ für $x \to -\infty$.

## Identitäten der Hyperbelfunktionen

Die zentrale Identität folgt direkt aus den Definitionen:

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Vergleiche sie mit $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Weitere nützliche Identitäten:

- $1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x$
- $\sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x$
- $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$

## Ableitungen der Hyperbelfunktionen

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

Jede davon folgt aus $\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$. Zum Beispiel gilt

$$\frac{d}{dx}\sinh x = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Für $\tanh x$ liefert die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) $\frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$.

## Integrale der Hyperbelfunktionen

| Funktion | Integral |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x + C$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x + C$ |
| $\tanh x$ | $\ln(\cosh x) + C$ |
| $\operatorname{sech}^2 x$ | $\tanh x + C$ |

Für das Integral von $\tanh$ substituiert man $u = \cosh x$: $\int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C$. Die Betragsstriche können entfallen, weil $\cosh x \ge 1$ ist.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Kettenregel.** $\frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2)$.

**Beispiel 2: Funktionswert berechnen.** Bestimme $\cosh(\ln 2)$. Wegen $e^{\ln 2} = 2$ und $e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$ gilt

$$\cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$$

**Beispiel 3: ein bestimmtes Integral.** $\int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175$.

**Beispiel 4: Substitutionsregel.** $\int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C$.

## Häufige Fehler

1. **Das Minuszeichen aus der Trigonometrie übernehmen.** $\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$, nicht $-\sinh x$.
2. **Die trigonometrische Identität verwenden.** Es gilt $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, mit einem Minuszeichen.
3. **Periodizität erwarten.** Hyperbelfunktionen wiederholen sich nie. $\sinh$ und $\cosh$ wachsen für große $x$ wie $\frac{e^x}{2}$.
4. **$\sinh x$ mit $\sin x$ verwechseln.** Es sind verschiedene Funktionen; $\sinh 0 = 0$ wie $\sin 0$, aber $\sinh x$ ist unbeschränkt.

## Wo Hyperbelfunktionen vorkommen

Ein durchhängendes Seil hat die Form einer Kettenlinie, $y = a\cosh\frac{x}{a}$, und ihre Bogenlänge lässt sich leicht berechnen, weil $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$ gilt. Die Substitution $x = \sinh t$ ist eine Alternative zur [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution) bei Integralen mit $\sqrt{1 + x^2}$. Hyperbelfunktionen haben außerdem übersichtliche [Taylorreihen](/blog/taylor-series): $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$, die Sinusreihe mit lauter positiven Vorzeichen. Die Ableitungen von Exponentialfunktionen, auf denen all das beruht, findest du unter [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sinh x und cosh x?

Die Ableitung von $\sinh x$ ist $\cosh x$, und die Ableitung von $\cosh x$ ist $\sinh x$. Anders als bei $\cos x$ gibt es kein Minuszeichen.

### Was ist die Ableitung von tanh x?

Die Ableitung von $\tanh x$ ist $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$, was auch gleich $1 - \tanh^2 x$ ist.

### Warum heißen sie Hyperbelfunktionen?

Der Punkt $(\cosh t, \sinh t)$ liegt immer auf der Hyperbel $x^2 - y^2 = 1$, so wie $(\cos t, \sin t)$ auf dem Kreis $x^2 + y^2 = 1$ liegt.

### Was ist eine Kettenlinie?

Eine Kettenlinie ist die Kurve, die eine hängende Kette oder ein Seil unter dem eigenen Gewicht bildet. Ihre Gleichung lautet $y = a\cosh\frac{x}{a}$.

### Wie spricht man sinh und cosh aus?

Man liest $\sinh$ als „Sinus hyperbolicus“, $\cosh$ als „Kosinus hyperbolicus“ und $\tanh$ als „Tangens hyperbolicus“. Im Alltag sagt man oft kurz „Sinus h“, „Kosinus h“ und „Tangens h“.