# Kehrwertfunktion f(x) = 1/x: Graph, Ableitung, Integral, Grenzwerte

> Die Kehrwertfunktion 1/x: Hyperbel und Asymptoten, die Ableitung -1/x², warum ihr Integral ln|x| + C ist, und ihre einseitigen Grenzwerte.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/kehrwertfunktion
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $x \ne 0$
- **Wertebereich:** $y \ne 0$
- **Ableitung:** $-\frac{1}{x^2}$
- **Integral:** $\ln|x| + C$
- **Asymptoten:** $x = 0$ und $y = 0$
- **Symmetrie:** Ungerade: $f(-x) = -f(x)$

## Das Wichtigste

- Die Kehrwertfunktion $f(x) = \frac{1}{x}$ ist für jedes $x$ außer $0$ definiert, und ihr Graph ist eine Hyperbel.
- Ihre Ableitung ist $-\frac{1}{x^2}$, überall negativ, also fällt sie auf jedem Teil ihres Definitionsbereichs.
- Ihr Integral ist $\ln|x| + C$, der einzige Fall, den die umgekehrte Potenzregel nicht abdeckt.
- Die einseitigen Grenzwerte bei $0$ sind $+\infty$ und $-\infty$, daher existiert $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ nicht.

Die **Kehrwertfunktion** $f(x) = \frac{1}{x}$ ordnet jeder Zahl ihren Kehrwert zu. Sie ist die einfachste [gebrochenrationale Funktion](/functions/rational-functions), die Potenzfunktion mit Exponent $-1$ und das Standardbeispiel für unendliche Grenzwerte, Asymptoten und die Ableitung des natürlichen Logarithmus.

## Formel

$$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}, \qquad x \ne 0$$

## Graph von 1/x

Der Graph ist eine **Hyperbel** mit zwei Ästen, einer im ersten und einer im dritten Quadranten.

```graph
title: 'Graph der Kehrwertfunktion y = 1/x'
caption: 'Der Graph nähert sich der senkrechten Asymptote $x = 0$ und der waagerechten Asymptote $y = 0$, ohne eine von beiden zu berühren.'
x: [-5, 5]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [-1, -1, '(-1, -1)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
```

## Wichtige Eigenschaften

- **Definitions- und Wertebereich.** Jeweils alle reellen Zahlen außer $0$.
- **Ungerade Funktion.** $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$, der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung.
- **Asymptoten.** Senkrechte Asymptote $x = 0$, waagerechte Asymptote $y = 0$.
- **Ihre eigene Umkehrfunktion.** Löst man $y = \frac{1}{x}$ nach $x$ auf, erhält man $x = \frac{1}{y}$. Also gilt $f^{-1} = f$, und der Graph ist symmetrisch zur Geraden $y = x$.
- **Unstetig nur bei $0$,** und diese Stelle gehört nicht zum Definitionsbereich. Auf ihrem Definitionsbereich ist sie stetig.

## Grenzwerte von 1/x

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} = 0$$

Da die einseitigen Grenzwerte bei $0$ verschieden sind, existiert $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ nicht. Der Grenzwert im Unendlichen ist der Grundbaustein für [Grenzwerte im Unendlichen](/blog/limits-at-infinity) aller gebrochenrationalen Funktionen.

## Ableitung von 1/x

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$$

Das folgt aus der [Potenzregel](/rules/power-rule) mit $n = -1$. Die Ableitung ist überall, wo sie definiert ist, negativ. Die Funktion fällt also auf jedem Ast, und die Tangenten werden in der Nähe von $0$ steiler und weit weg flacher. Die zweite Ableitung ist $\frac{2}{x^3}$: linksgekrümmt für $x > 0$, rechtsgekrümmt für $x < 0$.

## Integral von 1/x

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Die umgekehrte Potenzregel würde $\frac{x^0}{0}$ liefern, was nicht definiert ist. Daher ist $\frac{1}{x}$ die einzige Potenz, deren Stammfunktion ein [natürlicher Logarithmus](/functions/natural-logarithm) ist. Der Betrag deckt negative $x$ ab: Für $x < 0$ gilt $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$.

Ein bestimmtes Integral darf nicht über $x = 0$ hinweg laufen: $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ ist ein [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals), das divergiert.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Tangente.** Bei $x = 2$ ist $f(2) = \frac{1}{2}$ und $f'(2) = -\frac{1}{4}$, die Tangente lautet also $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1$.

**Beispiel 2: bestimmtes Integral.** $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1$.

**Beispiel 3: ein verschobener Kehrwert.** $\frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2}$ und $\int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C$.

## Häufige Fehler

1. **$\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}$ schreiben** oder $\ln x$ ohne Betrag.
2. **Das Vorzeichen der Ableitung falsch setzen.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{x}$ ist $-\frac{1}{x^2}$, nicht $\frac{1}{x^2}$.
3. **$\frac{1}{x}$ und $x^{-1}$ als Umkehrfunktion verwechseln.** $\frac{1}{f(x)}$ ist ein Kehrwert, während $f^{-1}(x)$ meist die Umkehrfunktion bezeichnet. Bei $\frac{1}{x}$ stimmen beide zufällig überein, was ungewöhnlich ist.
4. **Über die Asymptote hinweg integrieren**, als wäre die Funktion dort stetig.

## Zusammenhänge

Die Fläche unter $\frac{1}{t}$ von $1$ bis $x$ ist genau $\ln x$, und so kann man den natürlichen Logarithmus sogar definieren. Die Seite zu [Potenzfunktionen](/functions/power-functions) behandelt die Familie $x^n$, zu der $\frac{1}{x}$ gehört, und die harmonische Reihe $\sum \frac{1}{n}$ ist ihr diskretes Gegenstück.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von 1/x?

Schreibe $\frac{1}{x} = x^{-1}$ und wende die Potenzregel an: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

### Was ist das Integral von 1/x?

Das Integral ist $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. Die umgekehrte Potenzregel versagt hier, weil man durch $n + 1 = 0$ teilen müsste. Durch den Betrag gilt die Formel auch für negative $x$.

### Was ist der Grenzwert von 1/x für x gegen 0?

Der Grenzwert existiert nicht. Von rechts gilt $\frac{1}{x} \to +\infty$, von links $\frac{1}{x} \to -\infty$, die beiden einseitigen Grenzwerte stimmen also nicht überein.

### Ist 1/x monoton fallend?

Sie fällt auf $(-\infty, 0)$ und auf $(0, \infty)$ jeweils für sich, da ihre Ableitung negativ ist. Auf dem gesamten Definitionsbereich ist sie nicht fallend, denn $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$.