# Konstante Funktion f(x) = c: Graph, Ableitung, Integral, Eigenschaften > Die konstante Funktion f(x) = c: ihr Graph als waagerechte Gerade, warum ihre Ableitung 0 ist, ihr Integral cx + C, Grenzwerte und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/konstante-funktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = c $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** Der einzelne Wert $\{c\}$ - **Ableitung:** $0$ - **Integral:** $cx + C$ - **Graph:** Eine waagerechte Gerade durch $(0, c)$ - **Steigung:** Überall $0$ ## Das Wichtigste - Eine konstante Funktion $f(x) = c$ liefert für jede Eingabe denselben Wert, ihr Graph ist also eine waagerechte Gerade. - Die Ableitung jeder Konstanten ist $0$, weil eine flache Gerade die Steigung null hat. - Das Integral einer Konstanten ist $\int c\,dx = cx + C$, die Fläche eines Rechtecks der Höhe $c$. - Das kleine $c$ in der Funktion und das große $C$ in einer Stammfunktion sind verschiedene Konstanten. Eine **konstante Funktion** liefert immer dieselbe Zahl, egal was du einsetzt. Geschrieben als $f(x) = c$, wobei $c$ eine feste reelle Zahl ist, ist sie die einfachste Funktion der Analysis und der Ausgangspunkt für jede Ableitungs- und Integrationsregel. ## Definition und Formel $$f(x) = c$$ Dabei kann $c$ jede reelle Zahl sein: $f(x) = 3$, $g(x) = -\tfrac{1}{2}$, $h(x) = \pi$. Die Eingabe $x$ kommt auf der rechten Seite nicht vor, also ändert eine Änderung von $x$ nie den Funktionswert. Beispiele aus der Praxis sind eine feste Gebühr, die Beschleunigung bei konstanter Geschwindigkeit (null) oder der Wert $f(a)$, sobald $a$ festgelegt ist. ## Graph einer konstanten Funktion Der Graph von $y = c$ ist eine **waagerechte Gerade**, die die $y$-Achse in $(0, c)$ schneidet. Jeder Punkt darauf hat dieselbe Höhe. ```graph title: 'Graph der konstanten Funktionen y = 3 und y = -2' caption: 'Jede konstante Funktion ist eine waagerechte Gerade. Ihre Steigung und damit ihre Ableitung ist überall $0$.' x: [-5, 5] y: [-4, 5] functions: - expr: '3' label: y = 3 - expr: '-2' label: y = -2 points: - [0, 3, '(0, 3)'] - [0, -2, '(0, -2)'] ``` ## Ableitung einer Konstanten Die Ableitung einer Konstanten ist null: $$\frac{d}{dx}\, c = 0$$ Aus der [Definition der Ableitung über den Grenzwert](/blog/limit-definition-of-the-derivative): $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$ Geometrisch hat eine waagerechte Gerade die Steigung $0$, also ist jede Tangente die Gerade selbst. Diese Tatsache ist die [Konstantenregel](/rules/constant-rule), und sie erklärt, warum das konstante Glied eines Polynoms beim Ableiten verschwindet. ## Integral einer Konstanten Rückwärts gedacht ist eine Funktion mit der Ableitung $c$ gleich $cx$, also $$\int c\,dx = cx + C$$ Bei einem bestimmten Integral ist die Fläche unter $y = c$ von $a$ bis $b$ ein Rechteck mit der Höhe $c$ und der Breite $b - a$: $$\int_a^b c\,dx = c(b - a)$$ Ist $c$ negativ, liegt das Rechteck unterhalb der Achse, und der orientierte Flächeninhalt ist negativ. ## Wichtige Eigenschaften - **Überall stetig und differenzierbar.** Es gibt keine Sprünge, Lücken oder Knicke. - **Grenzwerte sind trivial.** $\lim_{x \to a} c = c$ für jedes $a$, und ebenso $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$. - **Gerade Funktion.** $f(-x) = f(x)$, der Graph ist also symmetrisch zur $y$-Achse. - **Weder steigend noch fallend.** Sie ist zugleich monoton fallend und monoton steigend im nicht strengen Sinn. - **Jeder Punkt ist Maximum und Minimum.** Da sich der Funktionswert nie ändert, liefert jedes $x$ zugleich den größten und den kleinsten Wert. - **Polynom vom Grad null.** Eine Konstante ungleich null ist $cx^0$, die unterste Stufe der [Polynomfunktionen](/functions/polynomial-functions). ## Rechenbeispiele **Beispiel 1.** Leite $f(x) = 7$ ab. Die Ableitung ist $f'(x) = 0$. **Beispiel 2.** Leite $g(x) = 4x^2 + 9$ ab. Nach der Summenregel ist $g'(x) = 8x + 0 = 8x$. Die $9$ trägt nichts bei. **Beispiel 3.** Leite $y = \pi^2$ ab. Auch wenn es kompliziert aussieht, ist $\pi^2 \approx 9.87$ nur eine Zahl, also $y' = 0$. **Beispiel 4.** Berechne $\int_1^4 5\,dx$. Die Stammfunktion ist $5x$, der Wert also $5(4) - 5(1) = 15$, die Fläche eines $5 \times 3$-Rechtecks. ## Häufige Fehler 1. **Konstanten, die wie Terme aussehen, als Variablen behandeln.** $e^2$, $\ln 3$ und $\sin\frac{\pi}{6}$ sind Zahlen, ihre Ableitungen sind also $0$. Oft wird fälschlich $\frac{d}{dx}e^2 = e^2$ geschrieben. 2. **Das $x$ beim Integrieren vergessen.** $\int 5\,dx = 5x + C$, nicht $5 + C$. 3. **$c$ und $C$ verwechseln.** Die Integrationskonstante $C$ ist neu und beliebig. Sie ist nicht dieselbe Zahl wie das $c$ in $f(x) = c$. 4. **Einen konstanten Faktor weglassen.** Die Ableitung eines konstanten *Summanden* ist $0$, aber ein konstanter *Faktor* bleibt stehen: $\frac{d}{dx}(5x) = 5$, nicht $0$. Siehe die [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule). ## Zusammenhänge Eine konstante Funktion ist eine [lineare Funktion](/functions/linear-function) mit Steigung $0$ und der Spezialfall $n = 0$ der [Potenzfunktionen](/functions/power-functions). In Anwendungen sagt eine Ableitung, die auf einem Intervall null ist, dass die ursprüngliche Funktion dort konstant ist, eine Folgerung aus dem [Mittelwertsatz](/theorems/mean-value-theorem). Deshalb trägt auch jede Stammfunktion ein $+\,C$: Zwei Funktionen mit derselben Ableitung unterscheiden sich um eine Konstante. Mehr dazu findest du im Leitfaden zu [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung einer Konstanten? Die Ableitung jeder Konstanten ist $0$. Eine Konstante ändert sich nie, ihre Änderungsrate ist also null, und der Graph von $y = c$ ist eine flache Gerade mit Steigung $0$. ### Was ist das Integral einer Konstanten? Das Integral einer Konstanten $c$ ist $\int c\,dx = cx + C$. Zum Beispiel ist $\int 5\,dx = 5x + C$, weil die Ableitung von $5x$ gleich $5$ ist. ### Ist eine konstante Funktion stetig? Ja. Eine konstante Funktion ist an jeder reellen Stelle stetig und differenzierbar. Ihr Grenzwert an jeder Stelle $a$ ist einfach $c$. ### Ist eine konstante Funktion ein Polynom? Ja. Eine Konstante ungleich null ist ein Polynom vom Grad $0$, denn $c = cx^0$. Auch die Nullfunktion $f(x) = 0$ ist ein Polynom, ihr Grad bleibt aber meist undefiniert. ### Ist eine konstante Funktion gerade oder ungerade? Jede konstante Funktion ist gerade, denn $f(-x) = c = f(x)$. Nur die Nullfunktion ist zugleich gerade und ungerade.