# Kosinusfunktion cos(x): Graph, Ableitung, Integral und Eigenschaften > Die Kosinusfunktion cos(x): Graph, Definitionsbereich, Wertebereich, Periode, wichtige Werte, Ableitung −sin(x), Integral sin(x) + C und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/kosinusfunktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = \cos x $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** $[-1, 1]$ - **Ableitung:** $-\sin x$ - **Integral:** $\sin x + C$ - **Periode:** $2\pi$ - **Symmetrie:** Gerade: $\cos(-x) = \cos x$ ## Das Wichtigste - $\cos x$ ist die $x$-Koordinate des Punktes zum Winkel $x$ (im Bogenmaß) auf dem Einheitskreis. - Der Kosinus ist gerade, wiederholt sich alle $2\pi$ und bleibt zwischen $-1$ und $1$. - Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$, und $\int \cos x\,dx = \sin x + C$. Die **Kosinusfunktion** nimmt einen Winkel $x$ im Bogenmaß und liefert die $x$-Koordinate des Punktes zu diesem Winkel auf dem Einheitskreis. Ihr Graph ist dieselbe Welle wie beim [Sinus](/functions/sine-function), nur um eine Viertelperiode nach links verschoben, sodass er an seinem Hochpunkt statt bei null beginnt. ## Definition von cos x Laufe vom Punkt $(1, 0)$ aus die Strecke $x$ gegen den Uhrzeigersinn um den Einheitskreis. Der erreichte Punkt ist $(\cos x, \sin x)$, also $$\cos x = \text{the } x\text{-coordinate of the point at angle } x.$$ Für einen spitzen Winkel im rechtwinkligen Dreieck ist das das Verhältnis $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, also Ankathete durch Hypotenuse. ## Graph von y = cos x ```graph title: 'Graph von y = cos x von −2π bis 2π' caption: 'Der Kosinus beginnt bei seinem Maximum $\cos 0 = 1$, hat Nullstellen bei ungeraden Vielfachen von $\frac{\pi}{2}$ und erreicht $-1$ bei $x = \pm\pi$.' x: [-6.6, 6.6] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: cos(x) label: y = cos x points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [1.5708, 0, '(π/2, 0)'] - [3.1416, -1, '(π, −1)'] - [4.7124, 0, '(3π/2, 0)'] ``` ## Wichtige Werte des Kosinus | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ | Die Zeile ist auf $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ die Sinuszeile rückwärts gelesen, denn $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$. ## Eigenschaften der Kosinusfunktion - **Definitionsbereich und Wertebereich.** Alle reellen Zahlen als Eingabe, Werte in $[-1, 1]$ als Ausgabe. - **Periode.** $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, und $A\cos(bx)$ hat die Amplitude $|A|$ und die Periode $\frac{2\pi}{|b|}$. - **Nullstellen.** $\cos x = 0$ genau dann, wenn $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ für eine ganze Zahl $k$ ist. An diesen Stellen haben [Tangens](/functions/tangent-function) und Sekans senkrechte Asymptoten. - **Achsensymmetrie.** $\cos(-x) = \cos x$. - **Identitäten.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ und die Doppelwinkelformel $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$. ## Ableitung von cos x $$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$ Das Minuszeichen passt zum Graphen: Kurz nach $x = 0$ fällt der Kosinus, und $-\sin x$ ist dort negativ. Bei $x = \pi$ erreicht der Kosinus seinen Tiefpunkt, und $-\sin\pi = 0$. Die zweite Ableitung ist $-\cos x$, daher erfüllt der Kosinus, wie der Sinus, die Gleichung $y'' = -y$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) gilt $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'$. ## Integral von cos x $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ Zum Beispiel ist $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Kettenregel.** Leite $f(x) = \cos(4x - 1)$ ab. Die innere Ableitung ist $4$, also $f'(x) = -4\sin(4x - 1)$. **Beispiel 2: Potenz des Kosinus.** Leite $g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3$ ab. Die äußere Potenz liefert $3\cos^2 x$, die innere Funktion $-\sin x$: $$g'(x) = -3\cos^2 x\sin x$$ **Beispiel 3: Substitutionsregel.** Berechne $\int x\cos(x^2)\,dx$. Setze $u = x^2$, also $du = 2x\,dx$: $$\int x\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin(x^2) + C$$ **Beispiel 4: eine Tangente.** Bei $x = \frac{\pi}{2}$ ist $\cos x = 0$ und die Steigung $-\sin\frac{\pi}{2} = -1$. Die Tangente lautet $y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$. ## Häufige Fehler 1. **Das Minuszeichen vergessen.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, nicht $\sin x$. Eine Merkhilfe: Die Ableitungen der "Ko"-Funktionen (Kosinus, Kotangens, Kosekans) haben alle ein Minuszeichen. 2. **Beim Integral ein Minuszeichen ergänzen.** $\int\cos x\,dx = \sin x + C$ ohne Minuszeichen. 3. **$\cos^2 x$ falsch lesen.** $\cos^2 x$ bedeutet $(\cos x)^2$, weder $\cos(\cos x)$ noch $\cos(x^2)$. 4. **Die innere Ableitung vergessen.** $\frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x)$, nicht $-\sin(2x)$. ## Zusammenhänge mit anderen Themen Der Kosinus steht im Nenner des [Tangens](/functions/tangent-function) und ist der Kehrwert des Sekans (siehe [reziproke trigonometrische Funktionen](/functions/reciprocal-trig-functions)). Auf $[0, \pi]$ eingeschränkt hat er die Umkehrfunktion [Arkuskosinus](/functions/arccosine). In Analysis 2 integrierst du Potenzen des Kosinus mit der Identität $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ und lernst seine [Taylorreihe](/blog/taylor-series) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$ kennen. Mehr Übung beim Ableiten bietet der Leitfaden zu den [Ableitungen trigonometrischer Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung von cos x? Die Ableitung von $\cos x$ ist $-\sin x$. Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\,u'$. ### Was ist das Integral von cos x? Die Stammfunktion von $\cos x$ ist $\sin x + C$, weil die Ableitung von $\sin x$ gleich $\cos x$ ist. ### Ist der Kosinus gerade oder ungerade? Der Kosinus ist gerade: $\cos(-x) = \cos x$. Sein Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse. ### Was ist der Unterschied zwischen dem Sinus- und dem Kosinusgraphen? Es ist dieselbe Welle, um eine Viertelperiode verschoben: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. Der Kosinus beginnt bei seinem Maximum, $\cos 0 = 1$, der Sinus dagegen bei null.