# Lineare Funktion f(x) = mx + b: Graph, Steigung, Ableitung, Integral > Die lineare Funktion f(x) = mx + b: Steigung und y-Achsenabschnitt, der Graph als Gerade, warum die Ableitung die Steigung m ist, Integral und Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/lineare-funktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = mx + b $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** $(-\infty, \infty)$ für $m \ne 0$ - **Ableitung:** $m$ - **Integral:** $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$ - **Steigung:** $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ - **y-Achsenabschnitt:** $(0, b)$ ## Das Wichtigste - Eine lineare Funktion $f(x) = mx + b$ hat eine Gerade als Graph, mit der Steigung $m$ und dem $y$-Achsenabschnitt $b$. - Ihre Ableitung ist die Konstante $m$: Eine Gerade hat überall dieselbe Änderungsrate. - Ihr Integral ist $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$, eine quadratische Funktion. - Tangenten und lineare Approximationen sind lineare Funktionen, die aus einer Ableitung entstehen. Eine **lineare Funktion** hat eine konstante Änderungsrate, daher ist ihr Graph eine Gerade. In der Schreibweise $f(x) = mx + b$ ist die Zahl $m$ die Steigung (um wie viel $f$ pro Einheit von $x$ steigt) und $b$ der $y$-Achsenabschnitt (der Funktionswert bei $x = 0$). ## Formel und Darstellungsformen $$f(x) = mx + b$$ Dieselbe Gerade lässt sich auch anders schreiben, je nachdem, was du kennst: | Form | Gleichung | Verwende sie, wenn du Folgendes kennst | | --- | --- | --- | | Normalform | $y = mx + b$ | die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt | | Punkt-Steigungs-Form | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | die Steigung und einen Punkt | | Allgemeine Form | $Ax + By = C$ | eine Gleichung, die du umstellen willst | Die Punkt-Steigungs-Form wird in der Analysis am häufigsten verwendet, weil eine Tangente aus einem Punkt $(a, f(a))$ und einer Steigung $f'(a)$ aufgebaut wird. ## Graph einer linearen Funktion ```graph title: 'Graph der linearen Funktionen y = 2x + 1 und y = -0.5x + 3' caption: 'Eine positive Steigung lässt die Gerade von links nach rechts steigen, eine negative lässt sie fallen. Jede Gerade schneidet die $y$-Achse in ihrem Achsenabschnitt $b$.' x: [-4, 4] y: [-5, 7] functions: - expr: 2x + 1 label: y = 2x + 1 - expr: -0.5x + 3 label: y = -0.5x + 3 points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [0, 3, '(0, 3)'] ``` - $m > 0$: steigend. $m < 0$: fallend. $m = 0$: eine waagerechte Gerade, die [konstante Funktion](/functions/constant-function). - Je größer $|m|$ ist, desto steiler ist die Gerade. - Die Nullstelle, also der Schnittpunkt mit der $x$-Achse, liegt dort, wo $mx + b = 0$ ist, also bei $x = -\frac{b}{m}$ für $m \ne 0$. ## Ableitung einer linearen Funktion $$\frac{d}{dx}(mx + b) = m$$ Die Ableitung von $mx$ ist nach der [Potenzregel](/rules/power-rule) und der [Faktorregel](/rules/constant-multiple-rule) gleich $m$, und die Ableitung von $b$ ist $0$. Das passt zur Geometrie: Die Tangente an eine Gerade ist die Gerade selbst, und ihre Steigung ändert sich nie. Die zweite Ableitung ist $0$, eine Gerade hat also keine Krümmung. ## Integral einer linearen Funktion $$\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$$ Integriert man eine Gerade, erhält man eine [quadratische Funktion](/functions/quadratic-function). Beim bestimmten Integral über $[a, b]$ ist die Fläche unter einer Geraden ein Trapez (oder zwei Dreiecke, falls sie die Achse schneidet), sodass du jedes Ergebnis geometrisch überprüfen kannst. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Steigung aus zwei Punkten.** Bestimme die Gerade durch $(1, 3)$ und $(4, 9)$. $$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2, \qquad y - 3 = 2(x - 1) \;\Rightarrow\; y = 2x + 1$$ **Beispiel 2: Ableitung.** Für $f(x) = -4x + 7$ gilt $f'(x) = -4$ für jedes $x$. **Beispiel 3: bestimmtes Integral.** Berechne $\int_0^2 (3x + 1)\,dx$. $$\left[\tfrac{3}{2}x^2 + x\right]_0^2 = (6 + 2) - 0 = 8$$ Probe: Die Fläche ist ein Trapez mit den parallelen Seiten $f(0) = 1$ und $f(2) = 7$ und der Breite $2$, ihr Inhalt ist also $\frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8$. **Beispiel 4: eine Tangente.** Die Tangente an $y = x^2$ bei $x = 3$ hat die Steigung $2(3) = 6$ und verläuft durch $(3, 9)$. Sie ist also die lineare Funktion $y = 6x - 9$. ## Häufige Fehler 1. **Die Reihenfolge in der Steigungsformel vertauschen.** Nimm oben und unten denselben Punkt zuerst: $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, nicht $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$. 2. **$f(x) = x^2 + 1$ als linear bezeichnen.** Linear bedeutet, dass die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. 3. **$mx$ zu $mx^2$ integrieren.** Die umgekehrte Potenzregel teilt durch den neuen Exponenten: $\int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C$. 4. **„Lineare Funktion“ mit „linearer Gleichung mit zwei Unbekannten“ verwechseln.** Eine senkrechte Gerade $x = 2$ ist eine lineare Gleichung, aber keine Funktion. ## Zusammenhänge Geraden sind der Grund, warum es Ableitungen gibt: Die Ableitung an einer Stelle ist die Steigung der bestmöglichen Geraden durch diesen Punkt. Diese Idee steckt hinter [Tangenten](/blog/limit-definition-of-the-derivative), der [linearen Approximation](/blog/linear-approximation) und dem Newton-Verfahren. Geraden sind [Polynomfunktionen](/functions/polynomial-functions) vom Grad eins, und ihre Integration führt zu quadratischen Funktionen. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung einer linearen Funktion? Die Ableitung von $f(x) = mx + b$ ist $f'(x) = m$, die Steigung der Geraden. Eine Gerade steigt bei jedem Schritt um eine Einheit in $x$ um denselben Betrag, ihre Änderungsrate ist also konstant. ### Was ist das Integral von mx + b? Das Integral ist $\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$. Zur Probe kannst du ableiten: Die Ableitung von $\frac{m}{2}x^2 + bx$ ist $mx + b$. ### Wie berechnet man die Steigung einer linearen Funktion aus zwei Punkten? Verwende $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Für die Punkte $(1, 3)$ und $(4, 9)$ ist die Steigung $\frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$. ### Ist eine waagerechte Gerade eine lineare Funktion? Ja. Eine waagerechte Gerade $y = b$ ist eine lineare Funktion mit der Steigung $m = 0$ und zugleich eine konstante Funktion. Eine senkrechte Gerade $x = a$ ist dagegen gar keine Funktion.