# Logarithmusfunktion log_b(x): Graph, Regeln, Ableitung, Integral > Logarithmusfunktionen log_b x: Definition, Graphen, Logarithmusgesetze, Basiswechsel, die Ableitung 1/(x ln b), das Integral und Rechenbeispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/logarithmusfunktionen Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(0, \infty)$ - **Wertebereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Ableitung:** $\frac{1}{x\ln b}$ - **Integral:** $\frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$ - **Basiswechsel:** $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ - **Umkehrfunktion:** $b^x$ ## Das Wichtigste - Der Logarithmus $\log_b x$ ist der Exponent, mit dem man $b$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten. Er ist also die Umkehrfunktion von $b^x$. - Der Basiswechsel $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ macht jeden Logarithmus zu einem Vielfachen von $\ln x$. - Seine Ableitung ist $\frac{1}{x\ln b}$, was sich für $b = e$ zu $\frac{1}{x}$ vereinfacht. - Jede Logarithmusfunktion verläuft durch $(1, 0)$ und hat eine senkrechte Asymptote bei $x = 0$. Eine **Logarithmusfunktion** $\log_b x$ liefert den Exponenten, mit dem man die Basis $b$ potenzieren muss, um $x$ zu erhalten. Zum Beispiel ist $\log_2 8 = 3$, weil $2^3 = 8$ ist. Logarithmen machen [Exponentialfunktionen](/functions/exponential-functions) rückgängig, und in der Analysis ist jeder Logarithmus ein konstantes Vielfaches des [natürlichen Logarithmus](/functions/natural-logarithm). ## Definition und Formel $$\log_b x = y \iff b^y = x, \qquad b > 0,\ b \ne 1,\ x > 0$$ Gebräuchliche Basen: $\log_{10}x$ (oft als $\log x$ geschrieben), $\ln x = \log_e x$ und $\log_2 x$ in der Informatik. ## Graphen von Logarithmusfunktionen ```graph title: 'Graphen von y = log zur Basis 2 von x, y = ln(x) und y = log zur Basis 10 von x' caption: 'Alle Logarithmen mit einer Basis größer als $1$ verlaufen durch $(1, 0)$ und steigen langsam. Je größer die Basis, desto flacher die Kurve.' x: [-0.5, 10] y: [-3, 4] functions: - expr: ln(x)/ln(2) label: y = log zur Basis 2 - expr: ln(x) label: y = ln x - expr: log(x) label: y = log zur Basis 10 points: - [1, 0, '(1, 0)'] vertical: - {x: 0, label: 'x = 0'} ``` ## Wichtige Eigenschaften - **Definitionsbereich** $(0, \infty)$, **Wertebereich** alle reellen Zahlen. - **Verläuft durch** $(1, 0)$ und $(b, 1)$, für jede Basis. - **Senkrechte Asymptote** $x = 0$. - **Streng monoton steigend** für $b > 1$, **streng monoton fallend** für $0 < b < 1$. - **Umkehrfunktion von $b^x$:** $b^{\log_b x} = x$ für $x > 0$ und $\log_b(b^x) = x$ für alle $x$. Der Graph ist der an $y = x$ gespiegelte Graph von $b^x$. - **Langsames Wachstum:** Für $b > 1$ gilt $\log_b x \to \infty$, aber langsamer als jede positive Potenz von $x$. ## Logarithmusgesetze Für $x, y > 0$: | Regel | Formel | | --- | --- | | Produkt | $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ | | Quotient | $\log_b\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$ | | Potenz | $\log_b(x^k) = k\log_b x$ | | Basiswechsel | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ | | Besondere Werte | $\log_b 1 = 0$, $\log_b b = 1$ | ## Ableitung von log_b x Durch den Basiswechsel wird daraus ein konstantes Vielfaches von $\ln x$: $$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x\ln b}$$ Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) gilt $\frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}$. Für $b = e$ ist $\ln e = 1$, und du erhältst wieder $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. ## Integral von log_b x $$\int \log_b x\,dx = \frac{1}{\ln b}\int \ln x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$$ ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: berechnen.** $\log_3 81 = 4$, weil $3^4 = 81$ ist, und $\log_2\frac{1}{8} = -3$, weil $2^{-3} = \frac{1}{8}$ ist. **Beispiel 2: Ableitung.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$. Bei $x = 10$ ist die Steigung $\frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434$. **Beispiel 3: Kettenregel.** $\frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}$. **Beispiel 4: zuerst die Logarithmusgesetze anwenden.** $\frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}$. **Beispiel 5: eine Exponentialgleichung lösen.** Um $2^x = 10$ zu lösen, wendet man $\log_2$ auf beide Seiten an: $x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32$. ## Häufige Fehler 1. **Das $\ln b$ in der Ableitung vergessen.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}$. 2. **Den Logarithmus einer Summe aufteilen.** $\log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y$. 3. **$\frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y)$ schreiben.** Das Quotientengesetz gilt für den Logarithmus eines Quotienten, nicht für einen Quotienten von Logarithmen. 4. **Den Basiswechsel umdrehen.** Es heißt $\frac{\ln x}{\ln b}$, nicht $\frac{\ln b}{\ln x}$. ## Zusammenhänge Logarithmen verwandeln Exponentialgleichungen in lineare Gleichungen und Produkte in Summen. Darauf beruht das [logarithmische Differenzieren](/rules/logarithmic-differentiation). Sie tauchen außerdem im Integral von $\frac{1}{x}$ und in vielen [uneigentlichen Integralen](/blog/improper-integrals) auf. Die Ableitungsregeln im direkten Vergleich mit Exponentialfunktionen findest du im Leitfaden zu [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung des Logarithmus zur Basis b? Die Ableitung ist $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$. ### Was ist das Integral des Logarithmus zur Basis b? Schreibe $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ und verwende $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$. Das Ergebnis ist $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$. ### Wie lautet die Formel für den Basiswechsel? Für alle zulässigen Basen gilt $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$. In der Analysis wählt man natürlicherweise $a = e$ und erhält $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$. ### Warum ist der Logarithmus einer negativen Zahl nicht definiert? Eine positive Basis ergibt, mit einer beliebigen reellen Zahl potenziert, immer einen positiven Wert. Kein Exponent liefert also eine negative Zahl oder null. Deshalb ist $\log_b x$ nur für $x > 0$ definiert.