# Natürliche Exponentialfunktion eˣ: Graph, Ableitung, Integral und e > Die natürliche Exponentialfunktion e^x: was e ist, ihr Graph, warum sie ihre eigene Ableitung und Stammfunktion ist, wichtige Grenzwerte, Reihe und Beispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/natuerliche-exponentialfunktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = e^x $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** $(0, \infty)$ - **Ableitung:** $e^x$ - **Integral:** $e^x + C$ - **Wert von e:** $e \approx 2.71828$ - **Umkehrfunktion:** $\ln x$ - **Asymptote:** $y = 0$ für $x \to -\infty$ ## Das Wichtigste - Die natürliche Exponentialfunktion $e^x$ hat die Basis $e \approx 2.71828$. - Sie ist (bis auf einen konstanten Faktor) die einzige Funktion, die gleich ihrer eigenen Ableitung ist: $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. - Ihr Integral ist $e^x + C$, und mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}g'(x)$. - $e^x$ ist immer positiv, immer steigend und die Umkehrfunktion von $\ln x$. Die **natürliche Exponentialfunktion** $f(x) = e^x$ ist die Exponentialfunktion, deren Basis die eulersche Zahl $e \approx 2.71828$ ist. Sie ist die wichtigste Funktion der Analysis überhaupt, denn sie ist ihre eigene Ableitung: Die Rate, mit der $e^x$ wächst, ist immer gleich ihrem aktuellen Wert. ## Formel und die Zahl e $$f(x) = e^x, \qquad e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828$$ Jede [Exponentialfunktion](/functions/exponential-functions) $b^x$ hat bei $x = 0$ eine Steigung, die proportional zu ihrer Höhe ist. Die Basis $e$ ist die eine Wahl, bei der die Steigung bei $x = 0$ genau $1$ beträgt. Deshalb sind die Ableitungen von $e^x$ so einfach. ## Graph von eˣ ```graph title: 'Graph der natürlichen Exponentialfunktion y = eˣ' caption: 'Die Kurve verläuft durch $(0, 1)$ mit der Steigung $1$. Die gestrichelte Tangente $y = x + 1$ zeigt diese Steigung; die Kurve liegt überall oberhalb von ihr.' x: [-4, 2.5] y: [-1, 8] functions: - expr: e^x label: y = eˣ - expr: x + 1 label: Tangente y = x + 1 dashed: true points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [1, 2.718, '(1, e)'] ``` ## Wichtige Eigenschaften - **Definitionsbereich** alle reellen Zahlen, **Wertebereich** $(0, \infty)$: $e^x$ ist immer positiv. - **Immer streng monoton steigend** und **immer linksgekrümmt (konvex)**, da $f'(x) = f''(x) = e^x > 0$ gilt. - **Waagerechte Asymptote** $y = 0$: $\lim_{x \to -\infty}e^x = 0$, während $\lim_{x \to \infty}e^x = \infty$ gilt. - **Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus:** $e^{\ln x} = x$ für $x > 0$ und $\ln(e^x) = x$ für alle $x$. Siehe den [natürlichen Logarithmus](/functions/natural-logarithm). - **Potenzgesetze:** $e^{a+b} = e^ae^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^b = e^{ab}$, $e^0 = 1$. - **Wächst schneller als jede Potenz:** $\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$ für jedes $n$. - **Potenzreihe:** $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$, gültig für alle $x$. ## Ableitung von eˣ $$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$ Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule): $$\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}\,g'(x)$$ Der Exponent wird nie als Faktor nach vorne gezogen. Das wäre die [Potenzregel](/rules/power-rule), und die gilt hier nicht. ## Integral von eˣ $$\int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C \quad (k \ne 0)$$ ## Rechenbeispiele **Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$. **Beispiel 2: Kettenregel.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$. **Beispiel 3: Produktregel.** $\frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$. **Beispiel 4: bestimmtes Integral.** $\int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$. **Beispiel 5: Substitutionsregel.** Mit $u = x^2$ gilt $\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$. **Beispiel 6: exponentielles Wachstum.** Die Lösung von $y' = ky$ mit $y(0) = y_0$ ist $y = y_0e^{kt}$. Deshalb taucht $e$ bei Bevölkerungswachstum, radioaktivem Zerfall und stetiger Verzinsung auf. ## Häufige Fehler 1. **Die Potenzregel verwenden.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}$. 2. **Den Faktor aus der Kettenregel vergessen.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, nicht $e^{5x}$. 3. **$e^{kx}$ integrieren, ohne durch $k$ zu teilen.** $\int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C$. 4. **$e^2$ wie eine Variable behandeln.** $e^2$ ist eine Konstante, ihre Ableitung ist also $0$. 5. **$e^{a+b} = e^a + e^b$ schreiben.** Exponenten werden addiert, wenn man multipliziert: $e^{a+b} = e^ae^b$. ## Zusammenhänge $e^x$ ist die Umkehrfunktion von $\ln x$ und der Grundbaustein der [Hyperbelfunktionen](/functions/hyperbolic-functions). Jede Exponentialfunktion lässt sich mit der Basis $e$ schreiben: $b^x = e^{x\ln b}$. Eine ausführliche Anleitung mit mehr Übung bietet der Leitfaden zu [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions), und die Reihenentwicklung findest du unter [Taylorreihen](/blog/taylor-series). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung von e^x? Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$. An jeder Stelle ist die Steigung des Graphen gleich seiner Höhe. Genau das ist die definierende Eigenschaft der Basis $e$. ### Was ist das Integral von e^x? $\int e^x\,dx = e^x + C$. Allgemeiner gilt $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ für jede Konstante $k \ne 0$. ### Was ist die Zahl e? Die eulersche Zahl $e \approx 2.71828$ ist der Grenzwert $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Gleichwertig ist sie die eindeutige Basis, für die die Exponentialfunktion $b^x$ bei $x = 0$ genau die Steigung $1$ hat. ### Was ist die Ableitung von e^(2x)? Nach der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$. Man multipliziert mit der Ableitung des Exponenten. ### Kann e^x null oder negativ werden? Nein. Es gilt $e^x > 0$ für jedes reelle $x$. Die Funktion nähert sich für $x \to -\infty$ der $0$, erreicht sie aber nie, daher ist $y = 0$ eine waagerechte Asymptote.