# Natürlicher Logarithmus ln(x): Graph, Regeln, Ableitung, Integral

> Der natürliche Logarithmus ln x: Graph, Logarithmusgesetze, warum die Ableitung 1/x ist, das Integral x ln x - x + C und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/natuerlicher-logarithmus
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \ln x $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $(0, \infty)$
- **Wertebereich:** $(-\infty, \infty)$
- **Ableitung:** $\frac{1}{x}$
- **Integral:** $x\ln x - x + C$
- **Wichtige Werte:** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$
- **Umkehrfunktion:** $e^x$
- **Asymptote:** $x = 0$

## Das Wichtigste

- Der natürliche Logarithmus $\ln x$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$: $\ln x = y$ bedeutet $e^y = x$.
- Seine Ableitung ist $\frac{1}{x}$, und mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.
- Sein Integral, berechnet mit partieller Integration, ist $x\ln x - x + C$.
- Die Logarithmusgesetze machen aus Produkten Summen und aus Potenzen Vielfache, was schwierige Ableitungen vereinfacht.

Der **natürliche Logarithmus** $\ln x$ beantwortet die Frage: "Mit welcher Potenz von $e$ erhalte ich $x$?". Er ist die Umkehrfunktion der [natürlichen Exponentialfunktion](/functions/natural-exponential-function), und seine Ableitung ist das erstaunlich einfache $\frac{1}{x}$. Deshalb ist er in der Analysis der Logarithmus der Wahl.

## Definition und Formel

$$\ln x = y \iff e^y = x, \qquad x > 0$$

Gleichwertig ist $\ln x$ die Fläche unter der [Kehrwertfunktion](/functions/reciprocal-function) von $1$ bis $x$:

$$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$$

## Graph von ln x

```graph
title: 'Graph von y = ln(x) und seiner Umkehrfunktion y = eˣ'
caption: 'Der natürliche Logarithmus ist die Spiegelung von $e^x$ an der Geraden $y = x$. Er schneidet die $x$-Achse in $(1, 0)$ und hat bei $x = 0$ eine senkrechte Asymptote.'
x: [-3, 6]
y: [-3, 6]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
  - expr: x
    label: y = x
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.718, 1, '(e, 1)']
```

## Wichtige Eigenschaften

- **Definitionsbereich** $(0, \infty)$, **Wertebereich** alle reellen Zahlen.
- **Wichtige Werte:** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln e^k = k$.
- **Streng monoton steigend** überall ($\frac{1}{x} > 0$) und **rechtsgekrümmt** ($-\frac{1}{x^2} < 0$).
- **Senkrechte Asymptote** $x = 0$: $\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty$. Außerdem gilt $\lim_{x \to \infty}\ln x = \infty$, allerdings sehr langsam; $\ln x$ wächst langsamer als jede positive Potenz von $x$.
- **Umkehrbeziehungen:** $e^{\ln x} = x$ für $x > 0$ und $\ln e^x = x$ für alle $x$.

## Logarithmusgesetze

| Gesetz | Formel |
| --- | --- |
| Produkt | $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ |
| Quotient | $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ |
| Potenz | $\ln(a^k) = k\ln a$ |
| Basiswechsel | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ |

Diese Gesetze gelten für $a, b > 0$. Für $\ln(a + b)$ gibt es keine Regel.

## Ableitung von ln x

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$

Beweisskizze: Ist $y = \ln x$, dann gilt $e^y = x$. Implizites Differenzieren liefert $e^y y' = 1$, also $y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

## Integral von ln x

Mit [partieller Integration](/blog/integration-by-parts), $u = \ln x$ und $dv = dx$, also $du = \frac{1}{x}\,dx$ und $v = x$:

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$

Häufiger braucht man die umgekehrte Richtung: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Kettenregel.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

**Beispiel 2: erst vereinfachen.** $\frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}$.

**Beispiel 3: Produktregel.** $\frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x$.

**Beispiel 4: bestimmtes Integral.** $\int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$.

**Beispiel 5: logarithmisches Integral.** Mit $u = x^2 + 4$ gilt $\int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C$. Betragsstriche sind nicht nötig, da $x^2 + 4 > 0$.

## Häufige Fehler

1. **Den Logarithmus einer Summe aufteilen.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$.
2. **$\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x}$ schreiben.** Die Kettenregel liefert $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.
3. **$\int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C$ schreiben.** Das ist die Ableitung, nicht das Integral.
4. **$\ln x^2$ mit $(\ln x)^2$ verwechseln.** Das Erste ist $2\ln x$, das Zweite ein Quadrat.
5. **$\ln$ von $0$ oder einer negativen Zahl bilden.** Prüfe den Definitionsbereich, besonders nach einer Substitution.

## Zusammenhänge

Wendet man $\ln$ auf beide Seiten an, werden schwierige Produkte und Potenzen zu Summen. Das ist die Idee hinter dem [logarithmischen Differenzieren](/rules/logarithmic-differentiation). Logarithmen zu anderen Basen sind nur umskalierte natürliche Logarithmen; siehe [Logarithmusfunktionen](/functions/logarithmic-functions). Weitere Übungsbeispiele findest du im Leitfaden zu den [Ableitungen von Exponential- und Logarithmusfunktionen](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von ln x?

Die Ableitung von $\ln x$ ist $\frac{1}{x}$ für $x > 0$. Allgemeiner gilt $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ für jedes $x \ne 0$.

### Was ist das Integral von ln x?

Mit partieller Integration, $u = \ln x$ und $dv = dx$: $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$.

### Was ist der Unterschied zwischen ln und log?

$\ln x$ ist der Logarithmus zur Basis $e \approx 2.718$. In den meisten Schulbüchern steht $\log x$ für die Basis $10$, manche Hochschultexte verwenden $\log$ aber auch für die Basis $e$.

### Was ist die Ableitung von ln(2x)?

Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. Alternativ ist $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, und die Konstante $\ln 2$ hat die Ableitung $0$.

### Warum ist ln einer negativen Zahl nicht definiert?

Weil $e^y$ für jedes reelle $y$ positiv ist, ergibt keine reelle Potenz von $e$ eine negative Zahl oder null. Deshalb ist $\ln x$ nur für $x > 0$ definiert.