# Potenzfunktionen f(x) = xⁿ: Graphen, Ableitung, Integral, Regeln > Potenzfunktionen f(x) = xⁿ für natürliche, negative und gebrochene n: Graphen, Definitionsbereich, Ableitung nxⁿ⁻¹, Integral und der Sonderfall n = -1. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/potenzfunktionen Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = x^n $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** Alle reellen Zahlen für natürliches $n \ge 0$; $x \ne 0$ für negatives $n$ - **Ableitung:** $nx^{n-1}$ - **Integral:** $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ - **Sonderfall:** $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$ - **Gerade oder ungerade:** Gerade für gerades natürliches $n$, ungerade für ungerades natürliches $n$ - **Verläuft durch:** $(1, 1)$ für jedes $n$ ## Das Wichtigste - Eine Potenzfunktion ist $f(x) = x^n$ mit einem konstanten Exponenten $n$, der eine natürliche Zahl, negativ oder ein Bruch sein kann. - Die Ableitung ist $nx^{n-1}$ für jede reelle Konstante $n$. - Das Integral ist $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, außer für $n = -1$, wo es $\ln|x| + C$ ist. - Schreibe Wurzeln und Kehrwerte als Potenzen, bevor du ableitest oder integrierst. Eine **Potenzfunktion** potenziert die Eingabe mit einem festen Exponenten: $f(x) = x^n$. Zu dieser Familie gehören Parabeln, kubische Funktionen, Kehrwerte und Wurzeln, und eine einzige Regel, die [Potenzregel](/rules/power-rule), leitet sie alle ab. ## Formel $$f(x) = x^n$$ Der Exponent $n$ ist eine Konstante. Allgemeiner ist $f(x) = kx^n$ mit einem konstanten Koeffizienten $k$. Häufige Vertreter: | $n$ | Funktion | Name | | --- | --- | --- | | $0$ | $1$ | [konstante Funktion](/functions/constant-function) | | $1$ | $x$ | Winkelhalbierende (identische Funktion) | | $2$ | $x^2$ | Normalparabel | | $3$ | $x^3$ | kubische Funktion | | $-1$ | $\frac{1}{x}$ | [Kehrwertfunktion](/functions/reciprocal-function) | | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{x}$ | [Wurzelfunktion](/functions/square-root-function) | ## Graphen von Potenzfunktionen ```graph title: 'Graphen der Potenzfunktionen y = x², y = x³ und y = √x' caption: 'Jede Potenzfunktion verläuft durch $(1, 1)$. Gerade Potenzen sind symmetrisch zur $y$-Achse, ungerade Potenzen punktsymmetrisch zum Ursprung.' x: [-2.5, 2.5] y: [-3, 4] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: x^3 label: y = x³ - expr: sqrt(x) label: y = √x points: - [1, 1, '(1, 1)'] ``` So prägt der Exponent den Graphen: - **Gerades natürliches $n$** ($x^2, x^4, \ldots$): U-förmig, gerade Funktion, Wertebereich $[0, \infty)$. - **Ungerades natürliches $n$** ($x^3, x^5, \ldots$): S-förmig, ungerade Funktion, Wertebereich alle reellen Zahlen. - **Negatives $n$** ($x^{-1}, x^{-2}, \ldots$): bei $0$ nicht definiert, mit einer senkrechten Asymptote bei $x = 0$ und der waagerechten Asymptote $y = 0$. - **Gebrochenes $n = \frac{p}{q}$**: Eine gerade Wurzel ($q$ gerade) schränkt den Definitionsbereich auf $x \ge 0$ ein; eine ungerade Wurzel erlaubt alle reellen Zahlen. - Auf $(0, 1)$ sind höhere Potenzen kleiner, auf $(1, \infty)$ sind höhere Potenzen größer. ## Ableitung einer Potenzfunktion $$\frac{d}{dx}\,x^n = nx^{n-1}$$ Den Exponenten nach vorne ziehen, dann eins abziehen. Das gilt für jede reelle Konstante $n$, überall dort, wo $x^n$ differenzierbar ist. Für $0 < n < 1$, etwa bei $\sqrt{x}$, wird die Ableitung bei $x = 0$ unendlich groß, und der Graph hat dort eine senkrechte Tangente. ## Integral einer Potenzfunktion $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$ Den Exponenten um eins erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Im Fall $n = -1$ würde man durch null teilen; stattdessen gilt $$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$ Siehe die [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule). ## Rechenbeispiele **Beispiel 1.** $\frac{d}{dx}x^7 = 7x^6$. **Beispiel 2: negativer Exponent.** $\frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$. **Beispiel 3: gebrochener Exponent.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. **Beispiel 4: Integral.** $\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$. **Beispiel 5: bestimmtes Integral.** $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2$. ## Häufige Fehler 1. **Die Potenzregel auf $2^x$ anwenden.** Das ist eine [Exponentialfunktion](/functions/exponential-functions); ihre Ableitung ist $2^x\ln 2$. 2. **Bei negativen Exponenten in die falsche Richtung eins abziehen.** $x^{-3}$ hat die Ableitung $-3x^{-4}$, nicht $-3x^{-2}$. 3. **Die Integralformel bei $n = -1$ anwenden.** $\frac{x^0}{0}$ ist sinnlos; verwende $\ln|x|$. 4. **Nicht vorher umschreiben.** Schreibe $\frac{1}{x^2}$ als $x^{-2}$ und $\sqrt{x}$ als $x^{1/2}$, bevor du eine der Regeln anwendest. ## Zusammenhänge Summen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten sind [ganzrationale Funktionen](/functions/polynomial-functions), und Potenzreihen erweitern diese Idee auf unendlich viele Terme. Eine ausführlichere Anleitung mit Übungsaufgaben findest du im Leitfaden zur [Potenzregel](/blog/power-rule) und zu [Stammfunktionen](/blog/antiderivatives). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist eine Potenzfunktion? Eine Potenzfunktion hat die Form $f(x) = x^n$ (oder $kx^n$), wobei der Exponent $n$ eine Konstante ist. Beispiele sind $x^3$, $x^{-1} = \frac{1}{x}$ und $x^{1/2} = \sqrt{x}$. ### Was ist die Ableitung von x hoch n? Nach der Potenzregel gilt $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Das gilt für jede reelle Konstante $n$, auch für negative und gebrochene Exponenten. ### Was ist das Integral von x hoch n? Für $n \ne -1$ gilt $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Für $n = -1$ würde die Formel durch null teilen, und das Integral ist stattdessen $\ln|x| + C$. ### Was ist der Unterschied zwischen einer Potenzfunktion und einer Exponentialfunktion? Bei einer Potenzfunktion wie $x^2$ ist die Variable die Basis und der Exponent fest. Bei einer Exponentialfunktion wie $2^x$ ist die Basis fest und die Variable steht im Exponenten, und die Ableitungsregeln sind völlig anders.