# Quadratische Funktion: Graph, Scheitelpunkt, Ableitung, Integral > Die quadratische Funktion f(x) = ax² + bx + c: Parabel, Scheitelpunktformel, Nullstellen, Ableitung 2ax + b, Integral und Rechenbeispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/quadratische-funktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** $\left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right)$ für $a > 0$ - **Ableitung:** $2ax + b$ - **Integral:** $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$ - **Scheitelpunkt:** $x = -\frac{b}{2a}$ - **Nullstellen:** $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ## Das Wichtigste - Der Graph von $f(x) = ax^2 + bx + c$ ist eine Parabel, die für $a > 0$ nach oben und für $a < 0$ nach unten geöffnet ist. - Die Ableitung $f'(x) = 2ax + b$ ist im Scheitelpunkt $x = -\frac{b}{2a}$ gleich null. - Die zweite Ableitung ist die Konstante $2a$, also ist eine quadratische Funktion überall linksgekrümmt oder überall rechtsgekrümmt. - Ihr Integral ist eine kubische Funktion: $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$. Eine **quadratische Funktion** ist ein Polynom vom Grad zwei. Ihr Graph ist eine **Parabel**, eine symmetrische, U-förmige Kurve mit einem einzigen Extrempunkt, dem Scheitelpunkt. Quadratische Funktionen beschreiben Wurfhöhen, Flächen und Gewinne, und sie sind die ersten Kurven, bei denen Ableitungen etwas zeigen, das man an einer Geraden nicht sehen kann. ## Formel und Darstellungsformen $$f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \ne 0$$ | Form | Gleichung | Zeigt | | --- | --- | --- | | Normalform | $ax^2 + bx + c$ | $y$-Achsenabschnitt $c$ | | Scheitelpunktform | $a(x - h)^2 + k$ | Scheitelpunkt $(h, k)$ | | Faktorisierte Form | $a(x - r_1)(x - r_2)$ | Nullstellen $r_1, r_2$ | ## Graph einer quadratischen Funktion ```graph title: 'Graph der Parabel y = x² - 2x - 3 und ihrer Ableitung y = 2x - 2' caption: 'Der Scheitelpunkt liegt bei $(1, -4)$, genau dort, wo die Ableitung null wird. Die Nullstellen sind $x = -1$ und $x = 3$.' x: [-3, 5] y: [-6, 8] functions: - expr: x^2 - 2x - 3 label: y = x² - 2x - 3 - expr: 2x - 2 label: y = 2x - 2 (Ableitung) dashed: true points: - [1, -4, 'Scheitelpunkt (1, -4)'] - [-1, 0, '(-1, 0)'] - [3, 0, '(3, 0)'] ``` Wichtige Merkmale: - **Öffnung.** Nach oben geöffnet für $a > 0$ (Scheitelpunkt ist ein Minimum), nach unten für $a < 0$ (Scheitelpunkt ist ein Maximum). - **Symmetrieachse.** Die senkrechte Gerade $x = -\frac{b}{2a}$. - **Nullstellen.** Aus der Mitternachtsformel $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Die Diskriminante $b^2 - 4ac$ verrät, ob es zwei, eine oder keine reellen Nullstellen gibt. - **Wertebereich.** $\left[k, \infty\right)$ für $a > 0$ und $\left(-\infty, k\right]$ für $a < 0$, wobei $k$ die Höhe des Scheitelpunkts ist. ## Ableitung einer quadratischen Funktion Mit der [Potenzregel](/rules/power-rule) und der [Summenregel](/rules/sum-and-difference-rule): $$f'(x) = 2ax + b, \qquad f''(x) = 2a$$ Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist eine [lineare Funktion](/functions/linear-function). Sie ist an genau einer Stelle null, bei $x = -\frac{b}{2a}$, und das ist der Scheitelpunkt. Die zweite Ableitung ist die Konstante $2a$, also ist die Parabel für $a > 0$ überall linksgekrümmt und für $a < 0$ überall rechtsgekrümmt. Deshalb ist der Scheitelpunkt immer das globale Extremum. ## Integral einer quadratischen Funktion $$\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$$ Das kleine $c$ ist das absolute Glied der quadratischen Funktion; das große $C$ ist die Integrationskonstante. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Scheitelpunkt mit der Ableitung.** Für $f(x) = x^2 - 2x - 3$ liefert $f'(x) = 2x - 2 = 0$ die Stelle $x = 1$, und $f(1) = -4$. Der Scheitelpunkt ist $(1, -4)$, ein Minimum, weil $a = 1 > 0$. **Beispiel 2: maximale Höhe.** Die Höhe eines Balls ist $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ Meter. Dann ist $h'(t) = -10t + 20 = 0$ bei $t = 2$, und die maximale Höhe ist $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ Meter. **Beispiel 3: Fläche unter einer Parabel.** Berechne $\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx$: $$\left[\tfrac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$$ **Beispiel 4: Tangente.** Für $f(x) = x^2 - 2x - 3$ an der Stelle $x = 3$: $f(3) = 0$ und $f'(3) = 4$, also lautet die Tangente $y = 4(x - 3) = 4x - 12$. ## Häufige Fehler 1. **Das Minuszeichen in $-\frac{b}{2a}$ vergessen.** Bei $x^2 - 2x - 3$ ist $b = -2$, also liegt der Scheitelpunkt bei $x = -\frac{-2}{2} = 1$. 2. **$ax^2$ zu $ax$ ableiten.** Der Exponent kommt nach vorne: $\frac{d}{dx}3x^2 = 6x$. 3. **$x^2$ zu $\frac{x^3}{2}$ integrieren.** Teile durch den neuen Exponenten, $3$. 4. **$(x - 2)^2$ zu $x^2 + 4$ ausmultiplizieren.** Richtig ist $x^2 - 4x + 4$. ## Zusammenhänge Quadratische Funktionen sind die einfachsten [ganzrationalen Funktionen](/functions/polynomial-functions) mit Krümmung und daher die klassischen ersten Beispiele für [Extremwertaufgaben](/blog/optimization-problems), [Kurvendiskussion](/blog/curve-sketching-with-derivatives) und [Fläche zwischen Kurven](/blog/area-between-curves). Das Taylorpolynom zweiten Grades jeder glatten Funktion ist eine quadratische Funktion. Deshalb nähern Parabeln so viele Kurven in der Nähe eines Punktes an. ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung einer quadratischen Funktion? Die Ableitung von $ax^2 + bx + c$ ist $2ax + b$, gefunden mit der Potenzregel Term für Term. Zum Beispiel ist die Ableitung von $3x^2 - 5x + 2$ gleich $6x - 5$. ### Wie findet man den Scheitelpunkt einer Parabel mit der Ableitung? Setze die Ableitung gleich null: Aus $2ax + b = 0$ folgt $x = -\frac{b}{2a}$. Setze dieses $x$ in $f$ ein, um die $y$-Koordinate des Scheitelpunkts zu erhalten. ### Wie integriert man eine quadratische Funktion? Wende die Potenzregel rückwärts auf jeden Term an: $\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$. ### Woran erkennt man, ob eine Parabel nach oben oder unten geöffnet ist? Am Vorzeichen von $a$, dem Koeffizienten von $x^2$. Ist $a > 0$, ist sie nach oben geöffnet und der Scheitelpunkt ein Minimum; ist $a < 0$, ist sie nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ein Maximum.