# Sekans, Kosekans und Kotangens: Graphen, Ableitungen, Integrale

> Die Kehrwerte der Winkelfunktionen sec x, csc x und cot x: Definitionen, Graphen, Asymptoten, alle drei Ableitungen und Integrale mit Rechenbeispielen.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/sekans-kosekans-kotangens
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich von sec x:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Wertebereich von sec x:** $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$
- **Ableitung:** $\sec x \tan x$
- **Integral:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Perioden:** $\sec$ und $\csc$: $2\pi$; $\cot$: $\pi$

## Das Wichtigste

- Sekans, Kosekans und Kotangens sind die Kehrwerte von Kosinus, Sinus und Tangens.
- Jede hat senkrechte Asymptoten dort, wo die Funktion, deren Kehrwert sie ist, null wird.
- Ableitungen: $(\sec x)' = \sec x\tan x$, $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$.
- Integrale: $\int\sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ und $\int\csc x\,dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$.

Die **Kehrwerte der Winkelfunktionen** sind Sekans, Kosekans und Kotangens. Jede ist eins durch eine grundlegende Winkelfunktion: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ und $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Sie tauchen ständig in Formeln für Ableitungen und Integrale auf. Auch wenn du sie selten zeichnest, brauchst du also ihre Analysis-Fakten.

## Definitionen

$$\sec x = \frac{1}{\cos x}, \qquad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \qquad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$$

Eine Merkhilfe für die Zuordnung: Zwischen jeder Funktion links und ihrem Partner steht genau ein „Ko“. Sekans gehört zu **Ko**sinus, **Ko**sekans gehört zu Sinus.

| Funktion | Kehrwert von | Nicht definiert bei | Periode | Wertebereich |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sec x$ | $\cos x$ | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\csc x$ | $\sin x$ | $x = k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\cot x$ | $\tan x$ | $x = k\pi$ | $\pi$ | alle reellen Zahlen |

## Graphen von Sekans und Kosekans

```graph
title: 'Graph von y = sec x mit y = cos x zum Vergleich'
caption: 'Wo $\cos x = \pm 1$ ist, berührt $\sec x$ den Kosinus. Wo $\cos x \to 0$ geht, schießt $\sec x$ gegen eine Asymptote.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [3.1416, -1, '(π, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

Der Sekans liegt nie zwischen $-1$ und $1$: Teilt man $1$ durch eine Zahl aus $[-1, 1]$, erhält man immer einen Wert, dessen Betrag mindestens $1$ ist. Der Graph des Kosekans hat dieselbe Form, um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschoben, mit Asymptoten bei den Vielfachen von $\pi$.

```graph
title: 'Graph von y = cot x mit Asymptoten bei x = 0 und x = π'
caption: 'Der Kotangens fällt auf jedem Intervall $(k\pi, (k+1)\pi)$ von $\infty$ bis $-\infty$ und schneidet die Achse bei $x = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-3, 6.2]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
  - {x: 3.1416, label: 'x = π'}
```

## Ableitungen von sec, csc und cot

| Funktion | Ableitung |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |

**Warum $(\sec x)' = \sec x\tan x$ gilt.** Schreibe $\sec x = (\cos x)^{-1}$ und wende die [Kettenregel](/rules/chain-rule) an:

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

Dieselben Schritte mit $\sin x$ liefern $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, und die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) für $\frac{\cos x}{\sin x}$ liefert $(\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

## Integrale von sec, csc und cot

| Funktion | Integral |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$ |
| $\csc x$ | $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$ |
| $\cot x$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ |
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ |
| $\sec x\tan x$ | $\sec x + C$ |
| $\csc x\cot x$ | $-\csc x + C$ |

**Das Integral des Sekans.** Erweitere Zähler und Nenner mit $\sec x + \tan x$:

$$\int \sec x\,dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$

Der Zähler ist genau die Ableitung des Nenners. Mit $u = \sec x + \tan x$ ergibt sich also $\int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C$.

**Das Integral des Kotangens.** Mit $u = \sin x$ gilt $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** Leite $f(x) = \sec(2x)$ ab. Nach der Kettenregel ist $f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x)$.

**Beispiel 2.** Leite $g(x) = x\cot x$ ab. Nach der [Produktregel](/rules/product-rule) ist $g'(x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Beispiel 3.** Berechne $\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx$. Die Stammfunktion ist $\sec x$, das Ergebnis also $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$.

**Beispiel 4.** Berechne $\int \csc^2(5x)\,dx$. Mit $u = 5x$ ergibt sich $-\frac{1}{5}\cot(5x) + C$.

## Häufige Fehler

1. **Kehrwerte und Umkehrfunktionen verwechseln.** $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, aber $\cos^{-1}x$ bedeutet [Arkuskosinus](/functions/arccosine).
2. **Sekans mit Sinus paaren.** Der Sekans ist der Kehrwert des Kosinus, der Kosekans der Kehrwert des Sinus.
3. **Minuszeichen verlieren.** Die Ableitungen von $\csc x$ und $\cot x$ sind beide negativ.
4. **$\int\sec x\,dx = \sec x\tan x$ raten.** Das ist die Ableitung, nicht das Integral.

## Wo du sie brauchst

Die Identitäten $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ und $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ sind der Motor der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution), bei der aus $\sqrt{1 + x^2}$ dann $\sec\theta$ wird. Der Sekans taucht auch als Ableitung des [Tangens](/functions/tangent-function) auf: $(\tan x)' = \sec^2 x$. Eine Übersicht über alle sechs trigonometrischen Ableitungen findest du unter [Ableitungen der trigonometrischen Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von sec x?

Die Ableitung von $\sec x$ ist $\sec x\tan x$. Schreibe $\sec x = (\cos x)^{-1}$ und wende die Kettenregel an: $-(\cos x)^{-2}(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$.

### Was ist das Integral von sec x?

Das Integral ist $\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$. Der übliche Trick ist, mit $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$ zu erweitern. Danach ist der Zähler die Ableitung des Nenners.

### Was sind die Ableitungen von csc x und cot x?

Die Ableitung von $\csc x$ ist $-\csc x\cot x$ und die Ableitung von $\cot x$ ist $-\csc^2 x$. Beide haben ein Minuszeichen, wie jede Ableitung einer „Ko“-Funktion.

### Ist sec x dasselbe wie die Umkehrfunktion von cos x?

Nein. $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ ist ein Kehrwert. Die Umkehrfunktion des Kosinus ist $\arccos x$, manchmal $\cos^{-1}x$ geschrieben, und das ist eine ganz andere Funktion.