# Sinusfunktion sin(x): Graph, Ableitung, Integral und Eigenschaften > Die Sinusfunktion sin(x): Graph, Definitions- und Wertebereich, Periode, wichtige Werte, die Ableitung cos(x), das Integral und typische Fehler. Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/sinusfunktion Aktualisiert: 2026-11-03 $$ f(x) = \sin x $$ ## Auf einen Blick - **Definitionsbereich:** $(-\infty, \infty)$ - **Wertebereich:** $[-1, 1]$ - **Ableitung:** $\cos x$ - **Integral:** $-\cos x + C$ - **Periode:** $2\pi$ - **Symmetrie:** Ungerade: $\sin(-x) = -\sin x$ ## Das Wichtigste - $\sin x$ ist die $y$-Koordinate des Punktes zum Winkel $x$ (im Bogenmaß) auf dem Einheitskreis. - Sie wiederholt sich alle $2\pi$, bleibt zwischen $-1$ und $1$ und ist eine ungerade Funktion. - Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$, und $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$. - Die Formeln der Analysis für den Sinus gelten nur, wenn $x$ im Bogenmaß gemessen wird. Die **Sinusfunktion** nimmt einen Winkel $x$, gemessen im Bogenmaß, und liefert die $y$-Koordinate des Punktes zu diesem Winkel auf dem Einheitskreis. Sie erzeugt die glatte, sich wiederholende Welle hinter Schall, Licht, Gezeiten und allem anderen, was schwingt, und sie ist (zusammen mit dem [Kosinus](/functions/cosine-function)) einer der beiden Bausteine aller anderen Winkelfunktionen. ## Definition von sin x Starte im Punkt $(1, 0)$ auf dem Einheitskreis und laufe die Strecke $x$ gegen den Uhrzeigersinn (im Uhrzeigersinn, wenn $x$ negativ ist). Du landest im Punkt $(\cos x, \sin x)$. Also gilt $$\sin x = \text{the } y\text{-coordinate of the point at angle } x.$$ Der Sinus ist also die y-Koordinate des Punktes zu diesem Winkel. Im rechtwinkligen Dreieck entspricht das dem bekannten Verhältnis $\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$, also Gegenkathete durch Hypotenuse. Die Version am Einheitskreis funktioniert aber für jede reelle Zahl, auch für negative Winkel und Winkel größer als $2\pi$. ## Graph von y = sin x ```graph title: 'Graph von y = sin x von −2π bis 2π' caption: 'Die Sinuskurve hat bei jedem Vielfachen von $\pi$ eine Nullstelle, erreicht oben $1$ und unten $-1$. Sie wiederholt sich alle $2\pi$.' x: [-6.6, 6.6] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: sin(x) label: y = sin x points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1.5708, 1, '(π/2, 1)'] - [3.1416, 0, '(π, 0)'] - [4.7124, -1, '(3π/2, −1)'] ``` Der Graph geht durch den Ursprung, steigt bis zu seinem Maximum bei $x = \frac{\pi}{2}$, kehrt bei $x = \pi$ zu null zurück, erreicht sein Minimum bei $x = \frac{3\pi}{2}$ und schließt bei $x = 2\pi$ eine volle Periode ab. ## Wichtige Werte des Sinus | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | ## Eigenschaften der Sinusfunktion - **Definitions- und Wertebereich.** Jede reelle Zahl ist erlaubt, und der Funktionswert liegt immer in $[-1, 1]$. - **Periode.** $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. Allgemeiner hat $A\sin(bx)$ die Amplitude $|A|$ und die Periode $\frac{2\pi}{|b|}$. - **Nullstellen.** $\sin x = 0$ genau dann, wenn $x = k\pi$ für eine ganze Zahl $k$. - **Ungerade Symmetrie.** $\sin(-x) = -\sin x$, der Graph ist also punktsymmetrisch zum Ursprung. - **Trigonometrischer Pythagoras.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ für alle $x$. - **Verschiebung.** $\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$: Die Sinuskurve ist eine um $\frac{\pi}{2}$ nach rechts verschobene Kosinuskurve. ## Ableitung von sin x $$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$ Das kannst du am Graphen ablesen: Der Sinus ist bei $x = 0$ am steilsten (Steigung $1$), und dort ist $\cos 0 = 1$. An seinem Hochpunkt $x = \frac{\pi}{2}$ ist er waagerecht, und dort ist $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Der Beweis nutzt den Grenzwert $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$, und genau deshalb ist das Bogenmaß nötig. Leitet man erneut ab, erhält man $\frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x$, und die Ableitungen durchlaufen alle vier Schritte den Zyklus $\sin, \cos, -\sin, -\cos$. Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) gilt $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'$. ## Integral von sin x $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ Prüfe es durch Ableiten: $\frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x$. Unter einem Bogen beträgt die Fläche $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2$, und über eine volle Periode ist die orientierte Fläche $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$. ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Kettenregel.** Leite $f(x) = \sin(x^2)$ ab. Die innere Funktion ist $x^2$ mit Ableitung $2x$, also $f'(x) = 2x\cos(x^2)$. **Beispiel 2: Produktregel.** Leite $g(x) = x\sin x$ ab. Nach der [Produktregel](/rules/product-rule) ist $g'(x) = \sin x + x\cos x$. **Beispiel 3: Substitutionsregel.** Berechne $\int \sin(5x)\,dx$. Setze $u = 5x$, also $du = 5\,dx$: $$\int \sin(5x)\,dx = \frac{1}{5}\int \sin u\,du = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$$ **Beispiel 4: ein berühmter Grenzwert.** $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$. ## Häufige Fehler 1. **Falsches Vorzeichen beim Integral.** $\int\sin x\,dx$ ist $-\cos x + C$, nicht $\cos x + C$. Die Ableitung hat kein Minuszeichen, das Integral schon. 2. **Gradmaß verwenden.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ ist falsch, wenn $x$ im Gradmaß angegeben ist. Stelle deinen Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD). 3. **$\sin$ wie eine Multiplikation behandeln.** $\sin(2x) \ne 2\sin x$ und $\sin(a + b) \ne \sin a + \sin b$. 4. **$\sin^{-1}x$ mit $\frac{1}{\sin x}$ verwechseln.** $\sin^{-1}x$ ist die Umkehrfunktion [Arkussinus](/functions/arcsine), während $\frac{1}{\sin x}$ der [Kosekans](/functions/reciprocal-trig-functions) ist. ## Wie der Sinus mit anderen Themen zusammenhängt Sinus und Kosinus definieren den Rest der Familie: Der [Tangens](/functions/tangent-function) ist $\frac{\sin x}{\cos x}$, und Sekans, Kosekans und Kotangens sind Kehrwerte. Seine Umkehrfunktion auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ ist der [Arkussinus](/functions/arcsine). In Analysis 2 taucht der Sinus bei der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution) auf und hat die [Taylorreihe](/blog/taylor-series) $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$. Mehr zum Ableiten aller Winkelfunktionen findest du im Leitfaden zu den [Ableitungen der trigonometrischen Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist die Ableitung von sin x? Die Ableitung von $\sin x$ ist $\cos x$. Mit der Kettenregel gilt $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\,u'$, also zum Beispiel $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$. ### Was ist das Integral von sin x? Die Stammfunktion von $\sin x$ ist $-\cos x + C$. Das Minuszeichen kommt daher, dass die Ableitung von $\cos x$ gleich $-\sin x$ ist. ### Welche Periode hat sin x? Die Periode ist $2\pi$, also $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ für jedes $x$. Die Funktion $\sin(bx)$ hat die Periode $\frac{2\pi}{|b|}$. ### Warum muss x beim Ableiten des Sinus im Bogenmaß sein? Der zentrale Grenzwert $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ gilt nur im Bogenmaß. Im Gradmaß hätte die Ableitung des Sinus einen zusätzlichen Faktor $\frac{\pi}{180}$. ### Ist der Sinus eine gerade oder ungerade Funktion? Der Sinus ist ungerade: $\sin(-x) = -\sin x$. Sein Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.