# Tangensfunktion tan(x): Graph, Asymptoten, Ableitung und Integral

> Die Tangensfunktion tan(x) = sin(x)/cos(x): Graph, senkrechte Asymptoten, Periode π, Ableitung sec²(x), Integral ln|sec x| + C und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/tangensfunktion
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Wertebereich:** $(-\infty, \infty)$
- **Ableitung:** $\sec^2 x$
- **Integral:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Periode:** $\pi$
- **Asymptoten:** $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k$ ganzzahlig

## Das Wichtigste

- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ist die Steigung der Geraden vom Ursprung zum Punkt mit dem Winkel $x$ auf dem Einheitskreis.
- Sie hat die Periode $\pi$ und senkrechte Asymptoten überall dort, wo $\cos x = 0$ ist.
- Die Ableitung ist $\sec^2 x$ und das Integral ist $\ln|\sec x| + C = -\ln|\cos x| + C$.

Die **Tangensfunktion** ist der Quotient $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Geometrisch ist sie die Steigung der Geraden vom Ursprung zum Punkt mit dem Winkel $x$ auf dem Einheitskreis. Anders als [Sinus](/functions/sine-function) und [Kosinus](/functions/cosine-function) ist sie unbeschränkt und hat jedes Mal eine senkrechte Asymptote, wenn der Kosinus null wird.

## Definition von tan x

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \cos x \ne 0$$

Im rechtwinkligen Dreieck ist das $\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$, also Gegenkathete durch Ankathete. Weil die Gerade durch den Ursprung mit dem Winkel $x$ die Steigung $\tan x$ hat, verwandelt der Tangens einen Winkel in eine Steigung, und der [Arkustangens](/functions/arctangent) verwandelt eine Steigung zurück in einen Winkel.

## Graph von y = tan x

```graph
title: 'Graph von y = tan x mit senkrechten Asymptoten bei x = ±π/2'
caption: 'Jeder Ast steigt zwischen zwei benachbarten Asymptoten von $-\infty$ bis $\infty$. Das Muster wiederholt sich alle $\pi$.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tan x
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [-0.7854, -1, '(−π/4, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

## Wichtige Werte des Tangens

| $x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | nicht definiert |

## Eigenschaften der Tangensfunktion

- **Definitionsbereich.** Alle reellen Zahlen außer $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- **Wertebereich.** Alle reellen Zahlen.
- **Periode.** $\tan(x + \pi) = \tan x$, die Periode ist also $\pi$, nicht $2\pi$.
- **Nullstellen.** $\tan x = 0$ bei $x = k\pi$, dieselben Nullstellen wie beim Sinus.
- **Ungerade Symmetrie.** $\tan(-x) = -\tan x$.
- **Immer steigend.** Auf jedem Ast ist die Steigung $\sec^2 x$ mindestens $1$, der Graph wird also nie flach.
- **Einseitige Grenzwerte.** $\lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty$ und $\lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty$. Mehr zu Asymptoten findest du unter [Grenzwerte im Unendlichen](/blog/limits-at-infinity).
- **Identität.** $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$, man erhält sie, indem man $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ durch $\cos^2 x$ teilt.

## Ableitung von tan x

Wende die [Quotientenregel](/rules/quotient-rule) auf $\frac{\sin x}{\cos x}$ an:

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

Bei $x = 0$ ist die Steigung $\sec^2 0 = 1$. Das passt dazu, dass der Graph den Ursprung unter einem Winkel von 45 Grad schneidet.

## Integral von tan x

Schreibe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ und setze $u = \cos x$, also $du = -\sin x\,dx$:

$$\int \tan x\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$$

Die beiden Formen sind gleich, weil $-\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}$ ist.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Kettenregel.** $\frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x)$.

**Beispiel 2: eine Potenz des Tangens.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x$.

**Beispiel 3: ein Integral mit der Identität.** Da $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$ ist, gilt

$$\int \tan^2 x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$

**Beispiel 4: ein bestimmtes Integral.** $\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$.

## Häufige Fehler

1. **Die Periode für $2\pi$ halten.** Der Tangens wiederholt sich alle $\pi$, weil $\sin$ und $\cos$ nach einer halben Umdrehung beide das Vorzeichen wechseln und sich die Vorzeichen wegheben.
2. **$\int\tan x\,dx = \sec^2 x$ schreiben.** Das ist verkehrt herum: $\sec^2 x$ ist die Ableitung. Für das Integral braucht man einen Logarithmus.
3. **Den Betrag weglassen.** $\ln|\cos x|$ braucht die Betragsstriche, weil $\cos x$ auf Teilen des Definitionsbereichs negativ ist.
4. **Die Asymptoten ignorieren.** Du kannst $\tan x$ nicht mit dem Hauptsatz über $x = \frac{\pi}{2}$ hinweg integrieren. Das wäre ein [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals), und es divergiert.

## Wie der Tangens mit anderen Themen zusammenhängt

Der Tangens tritt bei Ableitungen und Integralen zusammen mit dem Sekans auf, daher lohnt es sich, seine Verwandten auf der Seite zu [Sekans, Kosekans und Kotangens](/functions/reciprocal-trig-functions) gleich mitzulernen. Seine Umkehrfunktion, der [Arkustangens](/functions/arctangent), ist die Stammfunktion von $\frac{1}{1+x^2}$, und die Substitution $x = \tan\theta$ ist ein Arbeitspferd der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution). Alle sechs trigonometrischen Ableitungen an einem Ort findest du unter [Ableitungen der trigonometrischen Funktionen](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von tan x?

Die Ableitung von $\tan x$ ist $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Sie ergibt sich aus der Quotientenregel, angewendet auf $\frac{\sin x}{\cos x}$.

### Was ist das Integral von tan x?

Das Integral ist $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$, was dasselbe ist wie $\ln|\sec x| + C$. Schreibe $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ und substituiere $u = \cos x$.

### Welche Periode hat tan x?

Die Periode von $\tan x$ ist $\pi$, halb so groß wie die von Sinus und Kosinus. Die Funktion $\tan(bx)$ hat die Periode $\frac{\pi}{|b|}$.

### Wo hat tan x senkrechte Asymptoten?

An jeder Stelle $x$ mit $\cos x = 0$, also bei $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ für jede ganze Zahl $k$.