# Wurzelfunktion √x: Graph, Definitionsbereich, Ableitung und Integral

> Die Wurzelfunktion f(x) = √x: Definitionsbereich und Graph, die Ableitung 1/(2√x), das Integral (2/3)x^(3/2) + C und die senkrechte Tangente bei 0.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/funktionen/wurzelfunktion
Aktualisiert: 2026-11-03

$$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $$

## Auf einen Blick

- **Definitionsbereich:** $[0, \infty)$
- **Wertebereich:** $[0, \infty)$
- **Ableitung:** $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- **Integral:** $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- **Nicht differenzierbar bei:** $x = 0$ (senkrechte Tangente)
- **Umkehrfunktion:** $x^2$ für $x \ge 0$

## Das Wichtigste

- Die Wurzelfunktion $\sqrt{x} = x^{1/2}$ ist nur für $x \ge 0$ definiert und liefert die nichtnegative Wurzel.
- Ihre Ableitung ist $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Sie wächst bei $x = 0$ über alle Grenzen, daher hat der Graph dort eine senkrechte Tangente.
- Ihr Integral ist $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, nach der umgekehrten Potenzregel.
- Schreibe Wurzeln vor dem Ableiten oder Integrieren als Potenzen mit gebrochenem Exponenten.

Die **Wurzelfunktion** $f(x) = \sqrt{x}$ liefert die nichtnegative Zahl, deren Quadrat $x$ ist. Sie ist die Umkehrfunktion von $x^2$ auf $x \ge 0$, die Potenzfunktion mit Exponent $\frac{1}{2}$ und das Standardbeispiel für eine Funktion, die an einer Stelle stetig, aber dort nicht differenzierbar ist.

## Formel

$$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad x \ge 0$$

Nach Konvention bezeichnet $\sqrt{x}$ die **nichtnegative** Wurzel (den Hauptwert), also $\sqrt{9} = 3$, nicht $\pm 3$. Daraus folgt $\sqrt{x^2} = |x|$ für jedes reelle $x$.

## Graph der Wurzelfunktion

```graph
title: 'Graph von y = √x und seiner Ableitung y = 1/(2√x)'
caption: 'Die Wurzel steigt nahe $0$ schnell an und wird dann flacher. Ihre Ableitung ist nahe $0$ riesig und schrumpft gegen $0$, wenn $x$ wächst.'
x: [-0.5, 9]
y: [-0.5, 4]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (Ableitung)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [4, 2, '(4, 2)']
```

## Wichtige Eigenschaften

- **Definitions- und Wertebereich:** beide $[0, \infty)$.
- **Streng monoton steigend** auf dem ganzen Definitionsbereich, da die Ableitung für $x > 0$ positiv ist.
- **Rechtsgekrümmt:** $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ für $x > 0$, sie wächst also immer langsamer.
- **Stetig bei $0$** von rechts, mit $\lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0$.
- **Nicht differenzierbar bei $0$**, dort ist die Tangente senkrecht.
- **Unbeschränkt, aber langsam:** $\sqrt{x} \to \infty$ für $x \to \infty$, langsamer als jede Potenz $x^p$ mit $p > \frac{1}{2}$.
- **Spiegelbild einer Parabel:** Der Graph ist die rechte Hälfte von $y = x^2$, gespiegelt an der Geraden $y = x$.

## Ableitung von √x

Mit der [Potenzregel](/rules/power-rule) für $x^{1/2}$:

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad x > 0$$

Mit der [Kettenregel](/rules/chain-rule) ergibt sich das allgemeine Muster

$$\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$

## Integral von √x

$$\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

Erhöhe den Exponenten um eins ($\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$) und teile durch $\frac{3}{2}$, was dasselbe ist wie die Multiplikation mit $\frac{2}{3}$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: Tangente.** Bei $x = 4$ ist $f(4) = 2$ und $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. Die Tangente lautet $y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1$.

**Beispiel 2: lineare Approximation.** Mit dieser Tangente gilt $\sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05$. Der wahre Wert ist etwa $2.0494$. Siehe [lineare Approximation](/blog/linear-approximation).

**Beispiel 3: Kettenregel.** $\frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$.

**Beispiel 4: bestimmtes Integral.** $\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.

**Beispiel 5: Definitionsbereich.** $\sqrt{4 - x^2}$ erfordert $4 - x^2 \ge 0$, der Definitionsbereich ist also $[-2, 2]$. Der Graph ist die obere Hälfte des Kreises $x^2 + y^2 = 4$.

## Häufige Fehler

1. **Eine Wurzel über eine Summe aufteilen.** $\sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3$. Wurzeln lassen sich bei Produkten aufteilen, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ für $a, b \ge 0$, aber niemals bei Summen.
2. **Die Ableitung als $\frac{1}{\sqrt{x}}$ oder $2\sqrt{x}$ schreiben.** Der Faktor ist $\frac{1}{2}$, und die Wurzel bleibt im Nenner.
3. **Zu $\frac{3}{2}x^{3/2}$ integrieren.** Teile durch $\frac{3}{2}$, multipliziere nicht damit.
4. **$\sqrt{x^2} = x$ annehmen.** Es gilt $|x|$, und das ist wichtig, wenn $x$ negativ sein kann.

## Zusammenhänge

Wurzeln tauchen bei der Bogenlänge, in Abstandsformeln und in Integralen der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution) wie $\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$ auf. Sie gehören zu den [Potenzfunktionen](/functions/power-functions), und $\sqrt{x^2} = |x|$ verbindet sie mit der [Betragsfunktion](/functions/absolute-value-function).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist die Ableitung von Wurzel x?

Schreibe $\sqrt{x} = x^{1/2}$ und wende die Potenzregel an: $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Sie ist für $x > 0$ definiert.

### Was ist das Integral von Wurzel x?

$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

### Ist die Wurzelfunktion bei 0 differenzierbar?

Nein. Die Ableitung $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ wächst für $x \to 0^+$ über alle Grenzen. Der Graph hat im Ursprung also eine senkrechte Tangente und dort keine endliche Steigung.

### Was ist der Definitionsbereich der Wurzelfunktion?

Der Definitionsbereich ist $x \ge 0$, weil eine negative Zahl keine reelle Quadratwurzel hat. Für $\sqrt{g(x)}$ löst du $g(x) \ge 0$.

### Wie leitet man die Wurzel einer Funktion ab?

Mit der Kettenregel: $\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. Zum Beispiel ist $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.