# Integral von 1/(1+x²): Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von 1/(1+x²) ist arctan x + C. Begründung mit einer tan-Substitution, die Variante 1/(a²+x²), ein Graph und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-1-durch-1-plus-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\arctan x + C$
- **Allgemeine Form:** $\displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
- **Methode:** Substitution $x = \tan\theta$ oder die Ableitung von arctan wiedererkennen
- **Von 0 bis 1:** $\dfrac{\pi}{4}$
- **Über die ganze Zahlengerade:** $\pi$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\frac{1}{1+x^2}$ ist $\arctan x + C$, weil die Ableitung von $\arctan x$ gleich $\frac{1}{1+x^2}$ ist.
- Für eine Konstante $a > 0$ gilt $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$. Vergiss den Faktor $\frac{1}{a}$ nicht.
- Steht ein $x$ im Zähler, wie bei $\frac{x}{1+x^2}$, ist das Ergebnis ein Logarithmus, kein Arkustangens.
- Quadratische Ausdrücke wie $x^2 + 2x + 5$ werden nach quadratischer Ergänzung zu Arkustangens-Integralen.

Das **Integral von $\dfrac{1}{1+x^2}$ ist $\arctan x + C$**. Es gehört zu den wenigen Integralen, die du auf einen Blick kennen solltest, denn es macht aus einer einfachen gebrochenrationalen Funktion einen Winkel.

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Die allgemeinere Version für jede Konstante $a > 0$ lautet

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

## Graph von 1/(1+x²) und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'y = 1/(1+x²) mit schraffierter Fläche von 0 bis 1'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. Die gestrichelte Kurve ist die Stammfunktion $\arctan x$, die sich an $\pm\frac{\pi}{2}$ annähert.'
x: [-5, 5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1+x²)
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x (Stammfunktion)
    dashed: true
shade:
  expr: 1/(1+x^2)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

Die Kurve $\frac{1}{1+x^2}$ ist überall positiv, also steigt ihre Stammfunktion immer. Außerdem flacht sie schnell ab, und deshalb nähert sich $\arctan x$ den waagerechten Geraden $y = \pm\frac{\pi}{2}$.

## 1/(1+x²) Schritt für Schritt integrieren

Du kannst einfach die [Ableitung von arctan x](/derivatives/arctan-x) wiedererkennen. Wenn du sehen willst, woher das Ergebnis kommt, substituiere $x = \tan\theta$.

1. Setze $x = \tan\theta$, also $dx = \sec^2\theta\,d\theta$.
2. Verwende die Identität $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$:
$$\int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
3. Zurück zu $x$: Wegen $x = \tan\theta$ ist $\theta = \arctan x$.

Für $\frac{1}{a^2+x^2}$ klammerst du $a^2$ aus und substituierst $u = \frac{x}{a}$, $dx = a\,du$:

$$\int \frac{dx}{a^2\left(1 + \frac{x^2}{a^2}\right)} = \frac{1}{a^2}\int \frac{a\,du}{1+u^2} = \frac{1}{a}\arctan u + C = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

Das ist dieselbe Idee wie bei der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution), in ihrer einfachsten Form.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a^2 + x^2}$$

Mit $a = 1$ erhältst du wieder $\frac{1}{1+x^2}$.

## Bestimmte Integrale

| Integral | Wert |
| --- | --- |
| $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\pi$ |

Das letzte ist ein [uneigentliches Integral](/blog/improper-integrals). Es konvergiert, obwohl das Intervall unendlich ist, weil $\frac{1}{1+x^2}$ wie $\frac{1}{x^2}$ abnimmt.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: eine andere Konstante als 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}$. Hier ist $a = 3$:

$$\int \frac{dx}{9+x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$$

**Beispiel 2: ein Koeffizient vor x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}$. Setze $u = 2x$, $du = 2\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2}\arctan(2x) + C$$

**Beispiel 3: quadratische Ergänzung.** $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. Schreibe $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ und verwende dann $a = 2$ mit $u = x + 1$:

$$\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Beispiel 4: den Zähler aufteilen.** $\displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx$. Teile in zwei bekannte Integrale auf:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx + 3\int \frac{dx}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + 3\arctan x + C$$

Den ersten Teil behandelt die Seite [Integral von x/(x²+1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Häufige Fehler

1. **$\ln(1 + x^2)$ schreiben.** Das ist die Stammfunktion von $\frac{2x}{1+x^2}$, nicht von $\frac{1}{1+x^2}$. Ohne $x$ im Zähler gibt es kein $du$ für eine Logarithmus-Substitution.
2. **Den Faktor $\frac{1}{a}$ weglassen.** $\int \frac{dx}{4+x^2}$ ist $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$, nicht $\arctan\frac{x}{2}$. Leite dein Ergebnis ab, um das zu bemerken.
3. **Mit $\frac{1}{1-x^2}$ verwechseln.** Ein Minuszeichen ändert alles. $\frac{1}{1-x^2}$ braucht eine [Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions) und ergibt Logarithmen; siehe [Integral von 1/(x²−1)](/integrals/1-over-x-squared-minus-1).
4. **In Grad rechnen.** $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, nicht $45$. In der Analysis rechnet man immer im Bogenmaß.

Zur Umkehrfunktion selbst siehe die Seite zum [Arkustangens](/functions/arctangent). Wie man $\arctan x$ integriert (statt es als Ergebnis zu bekommen), zeigt das [Integral von arctan x](/integrals/arctan-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von 1/(1+x²)?

Es ist $\arctan x + C$, auch als $\tan^{-1} x + C$ geschrieben.

### Was ist das Integral von 1/(a²+x²)?

Es ist $\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ für $a > 0$. Zum Beispiel ist $\int \frac{dx}{4+x^2} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + C$.

### Was ist das Integral von x/(1+x²)?

Es ist $\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. Setze $u = 1 + x^2$, also $du = 2x\,dx$. Das zusätzliche $x$ im Zähler macht aus dem Arkustangens einen Logarithmus.

### Was ist das Integral von 1/(1+x²) von minus unendlich bis unendlich?

Es ist $\pi$. Die Stammfunktion $\arctan x$ läuft von $-\frac{\pi}{2}$ bis $\frac{\pi}{2}$, die Gesamtfläche ist also $\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$.