# Integral von 1/√(1−x²): Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von 1/√(1−x²) ist arcsin x + C. Die Sinus-Substitution, die Variante 1/√(a²−x²), ein Graph, bestimmte Integrale und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-1-durch-wurzel-1-minus-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\arcsin x + C$
- **Allgemeine Form:** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Gilt für:** $-1 < x < 1$ (bzw. $\lvert x\rvert < a$)
- **Methode:** Substitution $x = \sin\theta$
- **Von 0 bis 1:** $\dfrac{\pi}{2}$ (ein konvergentes uneigentliches Integral)

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ist $\arcsin x + C$, gültig für $-1 < x < 1$.
- Für $a > 0$ gilt $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$. Anders als bei der Arkustangens-Formel steht davor kein $\frac{1}{a}$.
- $-\arccos x + C$ ist ebenfalls richtig, denn $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ ist eine Konstante.
- Steht ein $x$ im Zähler, wie bei $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, verwende stattdessen $u = 1 - x^2$ und erhalte $-\sqrt{1-x^2} + C$.

Das **Integral von $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ist $\arcsin x + C$**. Es kehrt die [Ableitung von arcsin x](/derivatives/arcsin-x) um und gilt auf dem Intervall $-1 < x < 1$, wo die Wurzel reell und ungleich null ist.

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$$

Für jede Konstante $a > 0$:

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Graph von 1/√(1−x²)

```graph
title: 'y = 1/√(1−x²) mit schraffierter Fläche von 0 bis 1/2'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$. Bei $x = \pm 1$ schießt die Kurve nach oben, die Gesamtfläche von $-1$ bis $1$ ist aber trotzdem endlich: $\pi$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1−x²)
    domain: [-0.98, 0.98]
shade:
  expr: 1/sqrt(1-x^2)
  from: 0
  to: 0.5
vertical:
  - x: -1
    label: x = −1
  - x: 1
    label: x = 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## 1/√(1−x²) Schritt für Schritt integrieren

Die Wurzel aus $1 - x^2$ erinnert an den trigonometrischen Pythagoras $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, also substituierst du $x = \sin\theta$.

1. Setze $x = \sin\theta$ mit $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. Dann ist $dx = \cos\theta\,d\theta$.
2. Vereinfache die Wurzel. Auf diesem Intervall ist $\cos\theta > 0$, also $\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta$.
3. Integriere:
$$\int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
4. Zurück zu $x$: $\theta = \arcsin x$.

Für $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ verwendest du $x = a\sin\theta$. Dann ist $dx = a\cos\theta\,d\theta$ und $\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta$. Die beiden Faktoren $a$ kürzen sich, deshalb steht vor dem Ergebnis kein $\frac{1}{a}$. Das ist der erste Fall der [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution).

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$$

Dieser Schritt verwendet $a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}$, was wegen $a > 0$ gilt.

## Bestimmte Integrale

| Integral | Wert |
| --- | --- |
| $\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\pi$ |

Die letzten beiden sind [uneigentliche Integrale](/blog/improper-integrals), da der Integrand bei $x = \pm 1$ unbeschränkt ist. Sie konvergieren trotzdem, weil er dort nur wie $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ wächst.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$, mit $a = 3$.

**Beispiel 2: ein Koeffizient vor x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}$. Setze $u = 2x$, $du = 2\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2}\arcsin(2x) + C$$

**Beispiel 3: quadratische Ergänzung.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}$. Schreibe $4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2$ und verwende dann $a = 2$ und $u = x - 2$:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} = \arcsin\frac{x-2}{2} + C$$

**Beispiel 4: ein bestimmtes Integral.** $\displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

## Häufige Fehler

1. **Ein $\frac{1}{a}$ ergänzen.** Das gehört zur Arkustangens-Formel $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$. Die Arkussinus-Formel hat keins. Vergleiche mit dem [Integral von 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).
2. **Zum Arkussinus greifen, obwohl ein $x$ im Zähler steht.** $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ ist eine einfache [Substitution](/rules/u-substitution-rule) mit dem Ergebnis $-\sqrt{1-x^2} + C$.
3. **$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ mit $\sqrt{1-x^2}$ verwechseln.** Die Wurzel allein hat eine längere Stammfunktion; siehe [Integral von √(1−x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared).
4. **Die Formel außerhalb von $\lvert x\rvert < a$ verwenden.** Für $\lvert x\rvert > a$ ist die Wurzel nicht reell. Integrale wie $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ ergeben stattdessen $\ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert$.

Wie man die Arkussinusfunktion selbst integriert, zeigt das [Integral von arcsin x](/integrals/arcsin-x). Die Seite zum [Arkussinus](/functions/arcsine) behandelt Definitionsbereich und Graph.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von 1/√(1−x²)?

Es ist $\arcsin x + C$, auch als $\sin^{-1} x + C$ geschrieben.

### Was ist das Integral von 1/√(a²−x²)?

Es ist $\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ für $a > 0$. Zum Beispiel ist $\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin\frac{x}{2} + C$.

### Ist das Integral von 1/√(1−x²) gleich arcsin x oder −arccos x?

Beides ist richtig. Die beiden unterscheiden sich um die Konstante $\frac{\pi}{2}$, und eine Stammfunktion ist nur bis auf eine Konstante bestimmt. Meistens schreibt man $\arcsin x$.

### Was ist das Integral von x/√(1−x²)?

Es ist $-\sqrt{1-x^2} + C$. Setze $u = 1 - x^2$, $du = -2x\,dx$, dann wird das Integral zu $-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = -\sqrt{u} + C$.