# Integral von 1/(x ln x): Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von 1/(x ln x) ist ln|ln x| + C. Die Substitution u = ln x, warum das uneigentliche Integral divergiert, ein Graph und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-1-durch-x-ln-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$
- **Methode:** Substitution $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}\,dx$
- **Definitionsbereich:** $x > 0$, $x \ne 1$
- **Von e bis e²:** $\ln 2 \approx 0.693$
- **Von 2 bis ∞:** Divergiert

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\frac{1}{x\ln x}$ ist $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.
- Substituiere $u = \ln x$. Das $\frac{1}{x}$ im Integranden ist genau $du$, und das Integral wird zu $\int\frac{du}{u}$.
- $\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}$ divergiert, aber sehr langsam. Nach dem Integralkriterium divergiert deshalb auch $\sum\frac{1}{n\ln n}$.
- Mit einem Quadrat konvergiert es: $\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2} = \frac{1}{\ln 2}$.

Das **Integral von $\dfrac{1}{x\ln x}$ ist $\ln\lvert\ln x\rvert + C$**. Es ist ein Lehrbuchbeispiel für eine Substitution, die sich direkt vor deinen Augen versteckt: Das $\frac{1}{x}$ ist die Ableitung des $\ln x$ daneben.

$$\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C$$

Der Integrand ist für $x > 0$ mit $x \ne 1$ definiert, da $\ln 1 = 0$ den Nenner null machen würde.

## Graph von 1/(x ln x)

```graph
title: 'y = 1/(x ln x) mit schraffierter Fläche von e bis e²'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$. Die Kurve hat bei $x = 1$ eine senkrechte Asymptote und fällt nach rechts sehr langsam ab.'
x: [0, 9]
y: [-1, 5]
functions:
  - expr: 1/(x*ln(x))
    label: y = 1/(x ln x)
    domain: [1.2, 9]
shade:
  expr: 1/(x*ln(x))
  from: 2.71828
  to: 7.38906
vertical:
  - x: 1
    label: x = 1
```

## 1/(x ln x) Schritt für Schritt integrieren

1. **Das Paar erkennen.** Schreibe den Integranden als $\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}$. Der zweite Faktor ist die Ableitung von $\ln x$.
2. **Substituieren.** Setze $u = \ln x$, also $du = \frac{1}{x}\,dx$:
$$\int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du$$
3. **Integrieren.** $\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$, nach dem [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x).
4. **Rücksubstituieren.** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.

Der Betrag ist auf $0 < x < 1$ wichtig, wo $\ln x$ negativ ist. Für $x > 1$ kannst du ihn weglassen und $\ln(\ln x)$ schreiben.

Hier arbeitet die [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule). Immer wenn du $\frac{1}{x}$ mal einer Funktion von $\ln x$ siehst, probiere $u = \ln x$.

## Probe durch Ableiten

Verwende zweimal die [Kettenregel](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}$$

## Bestimmte und uneigentliche Integrale

**Von e bis e²:** $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

**Von e bis e^e:** $\ln(e) - \ln(1) = 1$. Jeder Schritt der Form $[e^{a}, e^{ea}]$ fügt dieselbe Fläche hinzu, nämlich $1$.

**Von 2 bis ∞:** Dieses [uneigentliche Integral](/blog/improper-integrals) divergiert.

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}\Big(\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\Big) = \infty$$

Das Wachstum ist quälend langsam. Selbst bei $b = 10^{100}$ ist $\ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44$. Ein Taschenrechner würde dich nie von der Divergenz überzeugen, die Stammfunktion beweist sie aber.

**Das Integralkriterium.** Weil dieses Integral divergiert, folgt aus dem [Integralkriterium](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series), dass auch die Reihe $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}$ divergiert, obwohl ihre Glieder schneller klein werden als $\frac{1}{n}$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein quadrierter Logarithmus.** $\displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}$. Mit $u = \ln x$ ist die Stammfunktion $-\frac{1}{\ln x}$:

$$\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln 2}\right) = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$$

Dieses Integral konvergiert. Eine zusätzliche Potenz von $\ln x$ reicht schon.

**Beispiel 2: der Logarithmus im Zähler.** $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Beispiel 3: eine Potenz des Logarithmus.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C$, für $x > 1$.

**Beispiel 4: eine Konstante im Argument.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}$. Auch hier ist $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$, das Ergebnis ist also $\ln\lvert\ln(5x)\rvert + C$.

**Beispiel 5: eine Ebene mehr.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C$, mit $u = \ln(\ln x)$.

## Häufige Fehler

1. **In $\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}$ zerlegen und jeden Faktor einzeln integrieren.** Ein Produkt lässt sich nicht faktorweise integrieren. $\ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert$ ist falsch.
2. **Partielle Integration verwenden.** Das ist möglich, führt aber zu nichts Brauchbarem. Mit der Substitution bist du in einer Zeile fertig.
3. **$\ln\lvert x\ln x\rvert$ schreiben.** Das ist die Stammfunktion von $\frac{\ln x + 1}{x\ln x}$, nicht von $\frac{1}{x\ln x}$.
4. **Über $x = 1$ hinweg integrieren.** Dort wird der Integrand unbeschränkt, also ist $\int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x}$ kein normales Integral.

Das [Integral von ln x](/integrals/ln-x) und das [Integral von x ln x](/integrals/x-ln-x) behandeln die anderen häufigen Integrale mit Logarithmus. Mehr zu dieser Art der Substitution findest du im Leitfaden zur [Substitution](/blog/u-substitution) und in den [Übungsaufgaben zur Substitution](/practice-problems/u-substitution).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von 1/(x ln x)?

Es ist $\ln\lvert\ln x\rvert + C$. Für $x > 1$, wo $\ln x > 0$ ist, ist das einfach $\ln(\ln x) + C$.

### Konvergiert das Integral von 1/(x ln x) von 2 bis unendlich?

Nein. $\ln(\ln b) - \ln(\ln 2) \to \infty$ für $b \to \infty$, also divergiert das Integral. Es wächst extrem langsam: Bei $b = 10^{100}$ ist die Stammfunktion erst etwa $5.4$.

### Was ist das Integral von ln x / x?

Es ist $\frac{(\ln x)^2}{2} + C$. Dieselbe Substitution $u = \ln x$ macht daraus $\int u\,du$.

### Was ist das Integral von 1/(x (ln x)²)?

Es ist $-\frac{1}{\ln x} + C$. Mit $u = \ln x$ wird es zu $\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C$.