# Integral von 1/(x² - 1): Formel, Partialbrüche, Beispiele

> Das Integral von 1/(x² - 1) ist ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt, die allgemeine Formel für 1/(x² - a²) und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-1-durch-x-quadrat-minus-1
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$
- **Methode:** Partialbruchzerlegung
- **Zerlegung:** $\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)$
- **Allgemeine Form:** $\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$
- **Nicht definiert bei:** $x = \pm 1$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\frac{1}{x^2 - 1}$ ist $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.
- Faktorisiere den Nenner als $(x - 1)(x + 1)$ und zerlege in Partialbrüche.
- Ein Minuszeichen macht den ganzen Unterschied: $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, aber $\frac{1}{x^2 - 1}$ führt auf Logarithmen.
- Integriere nie über $x = 1$ oder $x = -1$ hinweg, denn dort hat die Funktion senkrechte Asymptoten.

Das **Integral von $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ ist $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$**. Es ist das einfachste Integral, für das man eine Partialbruchzerlegung braucht.

$$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$$

## Graph von 1/(x² - 1)

```graph
title: 'Graph von y = 1/(x² - 1) mit schraffierter Fläche von x = 2 bis x = 3'
caption: 'Die Funktion hat senkrechte Asymptoten bei $x = -1$ und $x = 1$. Die schraffierte Fläche ist $\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: 1/(x^2 - 1)
    label: y = 1/(x² - 1)
shade: {expr: 1/(x^2 - 1), from: 2, to: 3}
vertical:
  - {x: -1, label: 'x = -1'}
  - {x: 1, label: 'x = 1'}
```

Zwischen den Asymptoten ist die Funktion negativ, mit einem Maximum von $-1$ bei $x = 0$. Außerhalb ist sie positiv und fällt gegen $0$.

## Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt

1. Faktorisiere den Nenner: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
2. Stelle den Ansatz auf: $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$.
3. Multipliziere mit dem Nenner: $1 = A(x + 1) + B(x - 1)$.
4. Setze $x = 1$ ein: $1 = 2A$, also $A = \frac{1}{2}$. Setze $x = -1$ ein: $1 = -2B$, also $B = -\frac{1}{2}$.
5. Integriere jeden Teil mit dem [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x):

$$\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$$

6. Fasse die Logarithmen zusammen: $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

Der Leitfaden zur [Partialbruchzerlegung](/blog/partial-fractions) behandelt auch mehrfache und quadratische Faktoren.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark$$

## Die allgemeine Formel: 1/(x² - a²)

Dieselben Schritte mit $(x - a)(x + a)$ liefern $A = \frac{1}{2a}$, $B = -\frac{1}{2a}$, also

$$\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$$

Zum Beispiel ist $\int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: bestimmtes Integral.** Für die schraffierte Fläche:

$$\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$$

**Beispiel 2: uneigentliches Integral.** Für $x \to \infty$ gilt $\frac{x - 1}{x + 1} \to 1$, und der Logarithmus geht gegen $0$:

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

**Beispiel 3: zwischen den Asymptoten.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3$. Negativ, wie der Graph es vorhersagt.

**Beispiel 4: umgekehrtes Vorzeichen.** $\int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$.

**Beispiel 5: zuerst substituieren.** $\int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx$ wird mit $u = \sin x$ zu $\int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C$.

## Häufige Fehler

1. **$\arctan x$ angeben.** Das gilt für $x^2 + 1$. Prüfe das Vorzeichen im Nenner.
2. **$\ln\lvert x^2 - 1\rvert$ angeben.** Der Zähler ist $1$, nicht $2x$, also passt das Muster $\frac{f'}{f}$ nicht. Dieses Muster liefert stattdessen das [Integral von x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).
3. **Das Vorzeichen von $B$ falsch bestimmen.** Setze zur Kontrolle Werte in die Zerlegung ein.
4. **Über $x = \pm 1$ hinweg integrieren.** Diese Integrale sind uneigentlich und divergieren.

Übe mit den [Aufgaben zur Partialbruchzerlegung](/practice-problems/partial-fractions).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von 1/(x² - 1)?

Es ist $\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$, zusammengefasst $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

### Was ist das Integral von 1/(1 - x²)?

Es ist das Negative davon: $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$. Für $\lvert x\rvert < 1$ ist das gleich $\operatorname{artanh} x + C$ (Areatangens hyperbolicus).

### Was ist das Integral von 1/(x² - a²)?

Es ist $\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$, gefunden mit derselben Partialbruchzerlegung.

### Warum kommt nicht arctan heraus?

$\arctan x$ kommt von $\frac{1}{x^2 + 1}$, dessen Nenner sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren lässt. $x^2 - 1$ lässt sich faktorisieren, also übernehmen Partialbrüche und Logarithmen.