# Integral von 1/x²: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von 1/x² ist -1/x + C. Schreib es als x^(-2), mach die Probe und sieh dir uneigentliche Integrale bis unendlich und die Falle von -1 bis 1 an.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-1-durch-x-quadrat
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $-\dfrac{1}{x} + C$
- **Zuerst umschreiben:** $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$
- **Gilt für:** $x \ne 0$
- **Uneigentliches Integral:** $\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx = 1$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2}$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\frac{1}{x^2}$ ist $-\frac{1}{x} + C$. Es ist eine Potenz, kein Logarithmus.
- Schreibe $x^{-2}$, erhöhe den Exponenten auf $-1$ und teile durch $-1$.
- Das uneigentliche Integral $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ konvergiert gegen $1$.
- Du darfst $\frac{1}{x^2}$ nicht über $x = 0$ hinweg integrieren. $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ divergiert.

Das **Integral von $\dfrac{1}{x^2}$ ist $-\dfrac{1}{x} + C$**. Anders als bei $\frac{1}{x}$ reicht hier die gewöhnliche Potenzregel für Integrale.

$$\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$$

## Graph von 1/x² und die Fläche darunter

```graph
title: 'Fläche unter y = 1/x² von 1 bis 3, mit der Stammfunktion y = -1/x'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $-\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}$. Die gestrichelte Kurve $y = -\frac{1}{x}$ steigt immer, weil $\frac{1}{x^2}$ immer positiv ist.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
    domain: [0.58, 5]
  - expr: -1/x
    label: y = -1/x (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [0.4, 5]
shade: {expr: 1/x^2, from: 1, to: 3}
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [3, -0.333, '(3, -1/3)']
```

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe als Potenz: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
2. Wende die [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule) mit $n = -2$ an.
3. Erhöhe den Exponenten um eins: $-2 + 1 = -1$.
4. Teile durch $-1$: $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
5. Ergänze $C$.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2} \checkmark$$

Die Regel in der anderen Richtung steht auf der Seite zur [Ableitung von 1/x²](/derivatives/1-over-x-squared), und die Seite zur [Ableitung von 1/x](/derivatives/1-over-x) zeigt $\frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$, also dieselbe Tatsache andersherum gelesen.

## Uneigentliche Integrale

Die Fläche unter $\frac{1}{x^2}$ bis ins Unendliche ist endlich:

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$$

Vergleiche das mit $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$, das divergiert, weil $\ln b \to \infty$. Dieser Gegensatz ist der Ausgangspunkt des $p$-Kriteriums für Integrale und Reihen. Die Lektion zu [unendlichen Integrationsgrenzen](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) behandelt das ausführlich.

In der Nähe von null ist es umgekehrt: $\int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty$.

## Die klassische Falle: über null hinweg integrieren

Einsetzen in die Stammfunktion ergibt

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Aber $\frac{1}{x^2}$ ist überall positiv, das Integral kann also nicht negativ sein. Der Fehler: $\frac{1}{x^2}$ hat bei $x = 0$ eine senkrechte Asymptote, also ist der [Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) auf $[-1, 1]$ nicht anwendbar. Teile das Integral bei $0$: Beide Hälften divergieren, also divergiert das ganze Integral.

## Variante mit Substitution

Mit $u = ax + b$:

$$\int \frac{1}{(ax + b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax + b)} + C$$

Zum Beispiel ist $\int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C$. Probe: Die Ableitung ist $\frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C$.

**Beispiel 2.** $\int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C$. Erst aufteilen, dann für den ersten Teil das [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x) verwenden.

**Beispiel 3.** $\int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

**Beispiel 4.** $\int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

## Häufige Fehler

1. **$\ln(x^2)$ schreiben.** Der Logarithmus taucht nur bei $\frac{1}{x}$ auf.
2. **$-\frac{1}{x^3}$ oder $\frac{1}{x}$ schreiben.** Der Exponent steigt um eins ($-2 \to -1$), und du teilst durch $-1$, was das Vorzeichen umdreht.
3. **Über eine Asymptote hinweg integrieren.** Prüfe immer, ob im Intervall durch null geteilt wird.
4. **$\frac{1}{3x^3}$ schreiben**, weil man $\frac{1}{x^2}$ wie $(x^2)$ behandelt und das integriert. Schreibe zuerst $x^{-2}$.

Mit den [Aufgaben zu uneigentlichen Integralen](/practice-problems/improper-integrals) übst du den Fall bis unendlich.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von 1/x²?

Das Integral von $\frac{1}{x^2}$ ist $-\frac{1}{x} + C$.

### Was ist das Integral von 1/x² von 1 bis unendlich?

Es ist $1$. Die Stammfunktion $-\frac{1}{x}$ geht von $-1$ bei $x = 1$ gegen $0$ für $x \to \infty$, eine Änderung um $1$.

### Warum ist das Integral von 1/x² von -1 bis 1 nicht -2?

Einsetzen liefert $-1 - 1 = -2$, aber das ist falsch. $\frac{1}{x^2}$ wird bei $x = 0$ unbeschränkt, also ist der Hauptsatz nicht anwendbar. Tatsächlich divergiert das Integral gegen unendlich.

### Ist das Integral von 1/x² gleich ln(x²)?

Nein. $\ln$ taucht nur bei $\frac{1}{x}$ auf. Für $\frac{1}{x^2}$ funktioniert die Potenzregel und liefert $-\frac{1}{x} + C$.