# Integral von 1/x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von 1/x ist ln|x| + C. Warum die Potenzregel hier versagt, woher der Betrag kommt und wie du 1/(ax + b) und f'/f integrierst.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-1-durch-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\ln\lvert x\rvert + C$
- **Gilt für:** $x \ne 0$
- **Lineare Form:** $\int \dfrac{1}{ax + b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$
- **Logarithmische Form:** $\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$
- **Fläche von 1 bis e:** $1$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\frac{1}{x}$ ist $\ln\lvert x\rvert + C$, keine Potenz von $x$.
- Die Potenzregel für Integrale versagt bei $n = -1$, weil man durch null teilen müsste.
- Durch den Betrag gilt die Formel auch für negative $x$.
- Allgemeiner gilt $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$.

Das **Integral von $\dfrac{1}{x}$ ist $\ln\lvert x\rvert + C$**. Es ist die einzige Potenz von $x$, die die Potenzregel für Integrale nicht erfasst, und der natürliche Logarithmus schließt diese Lücke.

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C, \qquad x \ne 0$$

## Graph von 1/x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = 1/x von 1 bis e, mit der Stammfunktion y = ln|x|'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $x = 1$ bis $x = e$ ist genau $1$. So kann man die Zahl $e$ sogar definieren. Die gestrichelte Kurve $y = \ln\lvert x\rvert$ ist die Stammfunktion auf beiden Seiten der $0$.'
x: [-4, 4]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
    domain: [0.25, 4]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (x < 0)
    domain: [-4, -0.25]
  - expr: ln(abs(x))
    label: y = ln|x| (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [-4, 4]
shade: {expr: 1/x, from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
```

Rechts ist $\frac{1}{x} > 0$ und $\ln x$ steigt. Links ist $\frac{1}{x} < 0$ und $\ln\lvert x\rvert$ fällt, wenn du nach rechts gehst. In beiden Fällen passen die Steigungen zu den Funktionswerten.

## Warum die Potenzregel versagt

Die [Potenzregel für Integrale](/rules/reverse-power-rule) besagt $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Für $\frac{1}{x} = x^{-1}$ ergäbe das $\frac{x^0}{0}$, und das ist nicht definiert. Keine Potenz von $x$ hat die Ableitung $x^{-1}$, denn die Ableitung von $x^0 = 1$ ist $0$.

Die Funktion, die tatsächlich die Ableitung $\frac{1}{x}$ hat, ist der natürliche Logarithmus. Auf der Seite zur [Ableitung von ln x](/derivatives/ln-x) wird bewiesen, dass $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ für $x > 0$ gilt.

## Woher der Betrag kommt

Für $x < 0$ ist $\ln x$ nicht definiert, $\ln(-x)$ aber schon. Leite es mit der Kettenregel ab:

$$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}$$

Also funktioniert $\ln x$ für $x > 0$ und $\ln(-x)$ für $x < 0$. Zusammen ergibt das $\ln\lvert x\rvert$.

## Probe durch Ableiten

Für $x > 0$: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Für $x < 0$: $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}$. Beide liefern $\frac{1}{x}$, also gilt $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$ für alle $x \ne 0$.

## Varianten mit Substitution

Mit $u = ax + b$:

$$\int \frac{1}{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$$

Allgemeiner gilt: Immer wenn der Zähler die Ableitung des Nenners ist, ist das Ergebnis ein Logarithmus (logarithmische Integration):

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$$

Dieses eine Muster liefert das [Integral von tan x](/integrals/tan-x), das [Integral von cot x](/integrals/cot-x) und das [Integral von x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C$.

**Beispiel 2.** $\int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C$.

**Beispiel 3.** $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C$, weil der Zähler die Ableitung des Nenners ist.

**Beispiel 4: bestimmt, positive Seite.** $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$.

**Beispiel 5: bestimmt, negative Seite.** $\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3$. Das Ergebnis ist negativ, weil die Kurve dort unterhalb der Achse liegt.

## Häufige Fehler

1. **Die Potenzregel verwenden.** $\frac{x^0}{0}$ ist sinnlos. Nimm $\ln\lvert x\rvert$.
2. **Den Betrag weglassen**, wenn $x$ negativ sein kann.
3. **Über die $0$ hinweg integrieren.** $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ ist nicht $\ln 1 - \ln 1 = 0$. Das Integral divergiert.
4. **Mit $\frac{1}{x^2}$ verwechseln.** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$, kein Logarithmus. Siehe [Integral von 1/x²](/integrals/1-over-x-squared).
5. **Den Faktor $\frac{1}{a}$ vergessen** in $\int \frac{1}{ax + b}\,dx$.

Ein Integral mit Logarithmus, das in die andere Richtung geht, findest du beim [Integral von ln x](/integrals/ln-x).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von 1/x?

Das Integral von $\frac{1}{x}$ ist $\ln\lvert x\rvert + C$. Für $x > 0$ kannst du die Betragsstriche weglassen und $\ln x + C$ schreiben.

### Warum steht in ln|x| ein Betrag?

$\ln x$ existiert nur für $x > 0$, aber $\frac{1}{x}$ existiert auch für $x < 0$. Für negative $x$ ist die Ableitung von $\ln(-x)$ gleich $\frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$, also deckt $\ln\lvert x\rvert$ beide Seiten ab.

### Was ist das Integral von 1/(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C$. Auch $\frac{1}{2}\ln\lvert 2x\rvert + C$ ist richtig, weil es sich nur um die Konstante $\frac{1}{2}\ln 2$ unterscheidet.

### Was ist das Integral von 1/x von -1 bis 1?

Es existiert nicht. $\frac{1}{x}$ hat bei $0$ eine Polstelle, und beide Hälften des uneigentlichen Integrals divergieren.