# Integral von 2ˣ und aˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele > Das Integral von 2ˣ ist 2ˣ/ln 2 + C, und ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C. Herleitung über e^(x ln a), ein Graph, bestimmte Integrale und Rechenbeispiele. Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-2-hoch-x Aktualisiert: 2026-11-06 $$ \int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C $$ ## Auf einen Blick - **Stammfunktion:** $\dfrac{2^x}{\ln 2} + C$ - **Allgemeine Basis:** $\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C$ für $a > 0$, $a \ne 1$ - **Methode:** Schreibe $a^x = e^{x\ln a}$ und teile dann durch $\ln a$ - **Von 0 bis 1:** $\frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$ - **Wert von ln 2:** $\approx 0.6931$ ## Das Wichtigste - Das Integral von $2^x$ ist $\frac{2^x}{\ln 2} + C$. - Für jede Basis $a > 0$, $a \ne 1$ gilt: $\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. - Die Formel entsteht, wenn du $a^x = e^{x\ln a}$ schreibst und $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx}$ mit $k = \ln a$ verwendest. - Für $a = e$ ist $\ln e = 1$, und die Formel wird zu $\int e^x\,dx = e^x + C$. Das **Integral von $2^x$ ist $\dfrac{2^x}{\ln 2} + C$**. Jede Exponentialfunktion $a^x$ wird auf dieselbe Weise integriert: Behalte die Exponentialfunktion und teile durch den natürlichen Logarithmus der Basis. $$\int 2^x\,dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \qquad\qquad \int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$ Die allgemeine Formel gilt für jede Basis $a > 0$ mit $a \ne 1$. ## Graph von 2ˣ mit der Fläche von 0 bis 1 ```graph title: 'y = 2ˣ mit schraffierter Fläche von 0 bis 1' caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{2 - 1}{\ln 2} = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$. Die gestrichelte Kurve ist die Stammfunktion $\frac{2^x}{\ln 2}$, überall etwa $1.44$-mal so hoch wie $2^x$.' x: [-3, 3] y: [-0.5, 9] functions: - expr: 2^x label: y = 2ˣ - expr: 2^x/ln(2) label: y = 2ˣ/ln 2 (Stammfunktion) dashed: true shade: expr: 2^x from: 0 to: 1 points: - [0, 1, '(0, 1)'] - [1, 2, '(1, 2)'] ``` ## 2ˣ Schritt für Schritt integrieren Der Trick: Mach aus der Basis ein $e$, denn Exponentialfunktionen zur Basis $e$ kannst du schon integrieren. 1. **Zur Basis $e$ umschreiben.** Wegen $2 = e^{\ln 2}$ gilt $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$. 2. **Integrieren.** $\ln 2$ ist nur eine Konstante, etwa $0.693$. Mit $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ von der Seite [Integral von e²ˣ](/integrals/e-to-the-2x): $$\int e^{x\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}e^{x\ln 2} + C$$ 3. **Zurück zur Basis 2.** $e^{x\ln 2} = 2^x$, das Ergebnis ist also $\frac{2^x}{\ln 2} + C$. Ersetze überall $2$ durch $a$, und du erhältst die allgemeine Formel. Die Basis muss positiv sein, damit $\ln a$ definiert ist, und $a \ne 1$, damit $\ln a \ne 0$ ist. (Für $a = 1$ ist $1^x = 1$ und $\int 1\,dx = x + C$.) ## Probe durch Ableiten Die [Ableitung von 2ˣ](/derivatives/2-to-the-x) ist $2^x\ln 2$. Also $$\frac{d}{dx}\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right) = \frac{2^x\ln 2}{\ln 2} = 2^x$$ ## Bestimmte Integrale | Integral | Rechnung | Wert | | --- | --- | --- | | $\int_0^1 2^x\,dx$ | $\frac{2 - 1}{\ln 2}$ | $\approx 1.443$ | | $\int_0^3 2^x\,dx$ | $\frac{8 - 1}{\ln 2}$ | $\approx 10.099$ | | $\int_0^2 3^x\,dx$ | $\frac{9 - 1}{\ln 3}$ | $\approx 7.282$ | | $\int_{-\infty}^{0} 2^x\,dx$ | $\frac{1 - 0}{\ln 2}$ | $\approx 1.443$ | Vergleiche die zweite Zeile mit einer Summe: $2^0 + 2^1 + 2^2 = 7$. Das Integral $\frac{7}{\ln 2}$ ist größer, weil die Fläche auch den Anstieg der Kurve zwischen den ganzen Zahlen mitnimmt. Dieser Gegensatz zwischen Summen und Integralen begegnet dir wieder beim [Integralkriterium](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series). ## Rechenbeispiele **Beispiel 1: Basis 10.** $\displaystyle\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \approx 0.434\cdot 10^x + C$. **Beispiel 2: ein linearer Exponent.** $\displaystyle\int 2^{3x}\,dx$. Setze $u = 3x$, $du = 3\,dx$: $$\frac{1}{3}\int 2^u\,du = \frac{2^{3x}}{3\ln 2} + C$$ Du könntest auch $2^{3x} = 8^x$ schreiben und $\frac{8^x}{\ln 8}$ erhalten. Wegen $\ln 8 = 3\ln 2$ stimmen die Ergebnisse überein. **Beispiel 3: ein Bruch als Basis.** $\displaystyle\int\left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$. **Beispiel 4: Basen zusammenfassen.** $\displaystyle\int 2^x 3^x\,dx = \int 6^x\,dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C$. **Beispiel 5: eine Substitution.** $\displaystyle\int x\,2^{x^2}\,dx$. Mit $u = x^2$, $du = 2x\,dx$: $$\frac{1}{2}\int 2^u\,du = \frac{2^{x^2}}{2\ln 2} + C$$ ## Häufige Fehler 1. **Die Potenzregel verwenden.** $\int 2^x\,dx \ne \frac{2^{x+1}}{x+1}$. Vergleiche $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$, wo die Variable die Basis ist; siehe [Integral von x²](/integrals/x-squared). 2. **Mit $\ln 2$ multiplizieren statt teilen.** Multiplizieren passiert beim Ableiten. Beim Integrieren wird geteilt. 3. **$\log_{10}$ verwenden.** Die Formel braucht den natürlichen Logarithmus. $\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10}$, nicht $\frac{10^x}{\log 10} = \frac{10^x}{1}$. 4. **Die Formel auf $x^x$ anwenden.** Steht die Variable in Basis und Exponent, gilt keine der beiden Regeln, und $\int x^x\,dx$ hat keine elementare Lösung. Mehr zu Basen findest du auf der Seite zu [Exponentialfunktionen](/functions/exponential-functions), den Spezialfall $a = e$ beim [Integral von eˣ](/integrals/e-to-the-x). ## Häufig gestellte Fragen ### Was ist das Integral von 2ˣ? Es ist $\frac{2^x}{\ln 2} + C$, also etwa $1.443\cdot 2^x + C$. ### Was ist das Integral von aˣ? Es ist $\frac{a^x}{\ln a} + C$ für jede konstante Basis $a > 0$ mit $a \ne 1$. Zum Beispiel ist $\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C$. ### Ist das Integral von 2ˣ gleich 2^(x+1)/(x+1)? Nein. Das wäre die Potenzregel, und die gilt nur, wenn die Variable die Basis ist, wie bei $x^2$. Bei $2^x$ steht die Variable im Exponenten. ### Was ist das Integral von 2^(−x)? Es ist $-\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C$. Schreibe $2^{-x} = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ und verwende die Formel mit $a = \frac{1}{2}$, wobei $\ln\frac{1}{2} = -\ln 2$ ist.