# Integral von arcsin x: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von arcsin x ist x arcsin x + √(1−x²) + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, die arccos-Variante, ein Graph und Rechenbeispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-arcsin-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$
- **Definitionsbereich:** $-1 \le x \le 1$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = \arcsin x$, $dv = dx$
- **arccos-Variante:** $\int \arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$
- **Von 0 bis 1:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\arcsin x$ ist $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.
- Verwende partielle Integration mit $u = \arcsin x$ und $dv = dx$ und danach eine $u$-Substitution für $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.
- Das Integral von $\arccos x$ hat dieselbe Form mit Minuszeichen: $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.
- Den Wert $\int_0^1 \arcsin x\,dx = \frac{\pi}{2} - 1$ kannst du auch am Graphen durch Subtrahieren von Flächen bestimmen.

Das **Integral von $\arcsin x$ ist $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$**. Wie bei $\ln x$ und $\arctan x$ gibt es keine direkte Umkehrregel, also integrierst du partiell mit einem Faktor 1.

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Graph von arcsin x mit der Fläche von 0 bis 1

```graph
title: 'y = arcsin x mit schraffierter Fläche von 0 bis 1'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. Sie ist das Rechteck $1 \times \frac{\pi}{2}$ minus die Fläche zwischen Kurve und $y$-Achse, und die ist $\int_0^{\pi/2}\sin y\,dy = 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsin x
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: arcsin(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
```

## arcsin x Schritt für Schritt integrieren

Verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Die Teile wählen.** $u = \arcsin x$ und $dv = dx$, also $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ und $v = x$.
2. **Die Formel anwenden.**
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$
3. **Das verbleibende Integral lösen** mit $w = 1 - x^2$, $dw = -2x\,dx$:
$$\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$$
4. **Zusammensetzen.** Minus mal minus ergibt plus:
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$$

Die beiden Brüche heben sich auf, übrig bleibt nur $\arcsin x$. Hier wird die [Ableitung von arcsin x](/derivatives/arcsin-x) verwendet, $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

## Bestimmte Integrale

**Von 0 bis 1:**

$$\int_0^1\arcsin x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$$

Der Graph liefert dasselbe Ergebnis ganz ohne Stammfunktion. Die Fläche unter $y = \arcsin x$ und die Fläche links davon (zwischen Kurve und $y$-Achse) füllen zusammen ein Rechteck mit dem Inhalt $\frac{\pi}{2}$. Die linke Fläche ist die Fläche unter $x = \sin y$ für $0 \le y \le \frac{\pi}{2}$, und die ist $1$.

**Von 0 bis 1/2:**

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6} + \sqrt{\frac{3}{4}} - 1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \approx 0.128$$

**Von −1 bis 1:** $\arcsin x$ ist ungerade, also ist das Integral $0$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: arccos x.** Derselbe Ansatz, aber $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$:

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$$

Zur Kontrolle: Die Summe der Ergebnisse für arcsin und arccos ist $x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x$, also das Integral der Konstanten $\frac{\pi}{2}$.

**Beispiel 2: ein skaliertes Argument.** $\int\arcsin\frac{x}{2}\,dx$. Setze $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$:

$$2\left(u\arcsin u + \sqrt{1-u^2}\right) + C = x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2} + C$$

Dabei ist $2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}$.

**Beispiel 3: zuerst substituieren.** $\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ ist kein Fall für partielle Integration. Mit $u = \arcsin x$, $du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, ist das Ergebnis $\frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C$.

## Häufige Fehler

1. **Ein Vorzeichenfehler im verbleibenden Integral.** $\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ ist $-\sqrt{1-x^2}$, das Endergebnis enthält also $+\sqrt{1-x^2}$. Durch Ableiten fällt das sofort auf.
2. **$\sin^{-1}x$ als $\frac{1}{\sin x}$ lesen.** Der Kehrwert ist $\csc x$, eine andere Funktion; siehe [Integral von csc x](/integrals/csc-x).
3. **Partiell integrieren, obwohl eine Substitution da ist.** Steht $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ schon neben $\arcsin x$, substituierst du.
4. **Den Definitionsbereich ignorieren.** $\arcsin x$ existiert nur für $-1 \le x \le 1$, ein bestimmtes Integral muss also in diesem Intervall bleiben.

Wie man arcsin als Ergebnis erhält, zeigt das [Integral von 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared). Die Seite zum [Arkussinus](/functions/arcsine) erklärt die Funktion selbst, und das [Integral von arctan x](/integrals/arctan-x) verwendet dieselbe Methode.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von arcsin x?

Es ist $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$, für $-1 \le x \le 1$.

### Was ist das Integral von sin⁻¹ x?

$\sin^{-1}x$ ist eine andere Schreibweise für $\arcsin x$, das Integral ist also $x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$. Es ist nicht $\int \csc x\,dx$.

### Was ist das Integral von arccos x?

Es ist $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$. Die Schritte sind dieselben wie bei arcsin, aber $\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ dreht das Vorzeichen des Wurzelterms um.

### Was ist das Integral von arcsin(x/2)?

Es ist $x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4-x^2} + C$. Substituiere $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$, und verwende die Grundformel.