# Integral von arctan x: Formel, Rechenweg und Beispiele

> Das Integral von arctan x ist x arctan x − ½ ln(1+x²) + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, die Probe, bestimmte Integrale und Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-arctan-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$
- **Methode:** Partielle Integration mit $u = \arctan x$, $dv = dx$
- **Von 0 bis 1:** $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$
- **Verwandtes Integral:** $\int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\arctan x$ ist $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.
- Verwende partielle Integration mit $u = \arctan x$ und $dv = dx$. Das verbleibende Integral $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$ ist eine einfache Substitution, die auf einen Logarithmus führt.
- In $\ln(1+x^2)$ steht kein Betrag, weil $1 + x^2$ immer positiv ist.
- Derselbe Trick, partielle Integration mit $dv = dx$, funktioniert für $\ln x$, $\arcsin x$ und $\arccos x$.

Das **Integral von $\arctan x$ ist $x\arctan x - \dfrac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$**. Keine Grundregel macht den Arkustangens direkt rückgängig, deshalb geht der übliche Weg über partielle Integration mit einem „versteckten“ Faktor 1.

$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

## Graph von arctan x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'y = arctan x und seine Stammfunktion'
caption: 'Die schraffierte Fläche von $0$ bis $1$ ist $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2 \approx 0.439$. Die gestrichelte Stammfunktion hat ein Minimum bei $x = 0$, wo $\arctan x$ das Vorzeichen wechselt.'
x: [-4, 4]
y: [-2, 3.5]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctan x
  - expr: x*arctan(x) - 0.5*ln(1+x^2)
    label: y = x arctan x − ½ ln(1+x²)
    dashed: true
shade:
  expr: arctan(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

## arctan x Schritt für Schritt integrieren

Der Trick: Schreibe $\arctan x$ als $\arctan x \cdot 1$ und verwende [partielle Integration](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Die Teile wählen.** $u = \arctan x$ und $dv = dx$. Dann ist $du = \frac{1}{1+x^2}\,dx$ und $v = x$.
2. **Die Formel anwenden.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \int \frac{x}{1+x^2}\,dx$$
3. **Das verbleibende Integral lösen** mit $w = 1 + x^2$, $dw = 2x\,dx$:
$$\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int\frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$
4. **Zusammensetzen.**
$$\int \arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$$

Warum $u = \arctan x$? Seine Ableitung $\frac{1}{1+x^2}$ ist algebraisch und viel leichter zu handhaben. In der LIATE-Reihenfolge stehen Arkusfunktionen weit vorne, sie eignen sich also gut als $u$.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2)\right) = \arctan x + \frac{x}{1+x^2} - \frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{1+x^2} = \arctan x$$

Die beiden Brüche heben sich genau auf, übrig bleibt $\arctan x$.

## Bestimmte Integrale

**Von 0 bis 1:**

$$\int_0^1 \arctan x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\ln 2\right) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4} - \frac{\ln 2}{2} \approx 0.439$$

**Von −1 bis 1:** $\arctan x$ ist eine ungerade Funktion, also gilt $\int_{-1}^{1}\arctan x\,dx = 0$. Die Fläche über der Achse rechts hebt die Fläche unter der Achse links auf.

**Von 0 bis √3:** $\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\ln 4 = \frac{\pi\sqrt{3}}{3} - \ln 2 \approx 1.121$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1: ein skaliertes Argument.** $\int \arctan(2x)\,dx$. Setze $u = 2x$, also $dx = \frac{du}{2}$:

$$\frac{1}{2}\left(u\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2)\right) + C = x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$$

Probe: Die Ableitung ist $\arctan 2x + \frac{2x}{1+4x^2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{8x}{1+4x^2} = \arctan 2x$.

**Beispiel 2: x mal arctan x.** Wähle $u = \arctan x$ und $dv = x\,dx$, also $v = \frac{x^2}{2}$:

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{x^2}{2}\arctan x - \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx$$

Schreibe $\frac{x^2}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}$, was integriert $x - \arctan x$ ergibt. Also

$$\int x\arctan x\,dx = \frac{1}{2}(x^2 + 1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$$

**Beispiel 3: arctan der Wurzel.** Bei $\int\arctan\sqrt{x}\,dx$ setzt du zuerst $x = t^2$ und integrierst dann partiell. Das Ergebnis ist $(x+1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$, was du durch Ableiten bestätigen kannst.

## Häufige Fehler

1. **$\frac{1}{1+x^2}$ angeben.** Das ist die Ableitung von $\arctan x$, nicht das Integral. Siehe [Ableitung von arctan x](/derivatives/arctan-x).
2. **arctan mit dem Kehrwert von tan verwechseln.** $\tan^{-1}x$ ist die Umkehrfunktion. $\frac{1}{\tan x} = \cot x$ ist eine andere Funktion; siehe [Integral von cot x](/integrals/cot-x).
3. **Den Faktor $\frac{1}{2}$ verlieren.** Bei $\int\frac{x}{1+x^2}\,dx$ liefert die Substitution $\frac{1}{2}\ln(1+x^2)$, nicht $\ln(1+x^2)$.
4. **Die Rollen vertauschen.** Mit $u = 1$ und $dv = \arctan x\,dx$ bräuchtest du genau das Integral, das du suchst. Leite immer die Arkusfunktion ab.

Wie man arctan als Ergebnis erhält, statt es zu integrieren, zeigt das [Integral von 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared). Denselben Trick mit partieller Integration findest du beim [Integral von ln x](/integrals/ln-x), und der Leitfaden zur [partiellen Integration](/blog/integration-by-parts) bietet weitere Übung.

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von arctan x?

Es ist $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.

### Was ist das Integral von tan⁻¹ x?

$\tan^{-1} x$ bedeutet $\arctan x$, das Integral ist also dasselbe: $x\tan^{-1} x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. Es ist nicht $\int\frac{1}{\tan x}\,dx$, das $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ ergibt.

### Was ist das Integral von arctan(2x)?

Es ist $x\arctan(2x) - \frac{1}{4}\ln(1+4x^2) + C$. Substituiere $u = 2x$ und verwende die Grundformel, oder integriere direkt partiell.

### Was ist das Integral von x arctan x?

Es ist $\frac{1}{2}(x^2+1)\arctan x - \frac{x}{2} + C$, partiell integriert mit $u = \arctan x$ und $dv = x\,dx$.