# Integral von cos² x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von cos² x ist x/2 + sin(2x)/4 + C. Mit Formel zur Potenzreduktion, Probe, cos²(ax) und dem Flächeninhalt des Kreises.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-cos-quadrat-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$
- **Verwendete Identität:** $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$
- **Gleichwertige Form:** $\dfrac{x + \sin x\cos x}{2} + C$
- **Von 0 bis 2π:** $\pi$
- **Kontrolle mit sin²:** $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = x + C$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\cos^2 x$ ist $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.
- Schreibe vor dem Integrieren $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$.
- Addierst du das Integral von $\sin^2 x$, erhältst du $x + C$. So prüfst du schnell deine Vorzeichen.
- Dieses Integral taucht immer auf, wenn eine trigonometrische Substitution auf $\sqrt{1 - x^2}$ trifft, etwa beim Flächeninhalt des Kreises.

Das **Integral von $\cos^2 x$ ist $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$**. Wie bei $\sin^2 x$ brauchst du vor dem Integrieren eine Formel zur Potenzreduktion.

$$\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

## Graph von cos² x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = cos² x von -π/2 bis π/2, mit der Stammfunktion y = x/2 + sin(2x)/4'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$. Die gestrichelte Stammfunktion steigt bei $x = 0$, wo $\cos^2 x = 1$ ist, am stärksten und wird flach, wo $\cos^2 x = 0$ ist.'
x: [-3.5, 3.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: cos(x)^2
    label: y = cos² x
  - expr: x/2 + sin(2x)/4
    label: y = x/2 + sin(2x)/4 (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x)^2, from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Starte mit $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$.
2. Löse nach $\cos^2 x$ auf: $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$.
3. Setze ein: $\displaystyle\int\cos^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 + \cos 2x)\,dx$.
4. Integriere: $\frac{1}{2}\left(x + \frac{\sin 2x}{2}\right) + C$.
5. Vereinfache: $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$.

Schritt 4 verwendet das [Integral von cos x](/integrals/cos-x), mit einem Faktor $\frac{1}{2}$ wegen der inneren Funktion $2x$.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) = \frac{1}{2} + \frac{\cos 2x}{2} = \cos^2 x \checkmark$$

Eine zweite Kontrolle: Addiere dieses Ergebnis zum [Integral von sin² x](/integrals/sin-squared-x):

$$\left(\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4}\right) + \left(\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right) = x$$

Das passt zu $\int(\sin^2 x + \cos^2 x)\,dx = \int 1\,dx = x$. Die andere Richtung findest du auf der Seite zur [Ableitung von cos² x](/derivatives/cos-squared-x).

## Bestimmte Integrale

$$\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{4}, \qquad \int_0^{\pi}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{2}, \qquad \int_0^{2\pi}\cos^2 x\,dx = \pi$$

$$\int_0^{\pi/6}\cos^2 x\,dx = \frac{\pi}{12} + \frac{\sin(\pi/3)}{4} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} \approx 0.478$$

## Varianten mit Substitution

$$\int\cos^2(ax)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2ax)}{4a} + C$$

**Beispiel 1.** $\int\cos^2(5x)\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 10x}{20} + C$.

**Beispiel 2.** $\int\cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\frac{1 + \cos x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

**Beispiel 3: mit einem Faktor sin x.** $\int\cos^2 x\sin x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + C$, mit $u = \cos x$. Keine Identität nötig.

## Wo es auftaucht: der Flächeninhalt des Kreises

Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius $1$ ist $4\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx$. Substituiere $x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta\,d\theta$:

$$4\int_0^{\pi/2}\cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = 4\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\,d\theta = 4\cdot\frac{\pi}{4} = \pi$$

Dieselben Schritte liefern das [Integral von √(1 - x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared). Die Methode erklärt der Leitfaden zur [trigonometrischen Substitution](/blog/trig-substitution).

## Rechenbeispiel: cos² x sin² x

Verwende $\sin x\cos x = \frac{\sin 2x}{2}$, also $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{\sin^2 2x}{4} = \frac{1 - \cos 4x}{8}$. Dann ist

$$\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

## Häufige Fehler

1. **$\sin^2 x$ angeben.** Die Ableitung davon ist $2\sin x\cos x$.
2. **$\frac{\cos^3 x}{3}$ angeben.** Dafür bräuchte man einen Faktor $-\sin x$.
3. **$1 - \cos 2x$ verwenden.** Diese Identität gehört zu $\sin^2 x$. Ein schneller Test: Bei $x = 0$ ist $\cos^2 x = 1$, und $\frac{1 + \cos 0}{2} = 1$.
4. **$\frac{\sin 2x}{2}$ statt $\frac{\sin 2x}{4}$ schreiben.** Denk an beide Halbierungen: eine aus der Identität, eine aus der inneren Funktion $2x$.

Übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von cos² x?

Es ist $\frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$, oder gleichwertig $\frac{1}{2}(x + \sin x\cos x) + C$.

### Was ist das Integral von cos² x von 0 bis 2π?

Es ist $\pi$. Der Summand mit $\sin 2x$ ist an beiden Grenzen $0$, übrig bleibt $\frac{2\pi}{2}$.

### Was ist das Integral von cos²(x/2)?

Da $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$ ist, ergibt sich $\frac{x}{2} + \frac{\sin x}{2} + C$.

### Was ist das Integral von cos² x sin x?

Setze $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$. Das Ergebnis ist $-\frac{\cos^3 x}{3} + C$.