# Integral von cos x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von cos x ist sin x + C. Warum hier kein Minuszeichen auftaucht, die Fläche eines Bogens, cos(ax + b) per Substitution und bestimmte Integrale.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-cos-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \cos x\,dx = \sin x + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\sin x + C$
- **Fläche eines Bogens:** $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2$
- **Volle Periode:** $\int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0$
- **Lineare Form:** $\int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\cos x$ ist $\sin x + C$, ohne Minuszeichen.
- Der Bogen von $\cos x$ von $-\frac{\pi}{2}$ bis $\frac{\pi}{2}$ hat den Flächeninhalt $2$.
- Bei $\cos(ax + b)$ teilst du durch $a$: $\int\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$.
- Das Minuszeichen gehört zum anderen Paar: $\int\sin x\,dx = -\cos x + C$.

Das **Integral von $\cos x$ ist $\sin x + C$**. Weil die Ableitung von $\sin x$ genau $\cos x$ ist, gehört dieses Integral zu den einfachsten überhaupt.

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

## Graph von cos x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = cos x von -π/2 bis π/2, mit der Stammfunktion y = sin x'
caption: 'Der schraffierte Bogen hat den Flächeninhalt $\sin\frac{\pi}{2} - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2$. Die gestrichelte Kurve $y = \sin x$ steigt auf demselben Intervall von $-1$ auf $1$.'
x: [-3.5, 5]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
  - expr: sin(x)
    label: y = sin x (Stammfunktion)
    dashed: true
shade: {expr: cos(x), from: -1.5708, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

Die Stammfunktion $\sin x$ hat ihr Maximum bei $x = \frac{\pi}{2}$, genau dort, wo $\cos x$ von positiv nach negativ durch null geht.

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Frage dich: Welche Funktion hat die Ableitung $\cos x$?
2. Die [Ableitung von sin x](/derivatives/sin-x) ist $\cos x$.
3. Also ist $\sin x$ eine Stammfunktion von $\cos x$.
4. Ergänze $C$, um alle Stammfunktionen zu erfassen: $\sin x + C$.

Anders als beim [Integral von sin x](/integrals/sin-x) musst du hier kein Vorzeichen korrigieren.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x \checkmark$$

## Bestimmte Integrale

| Integral | Wert |
| --- | --- |
| $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$ |
| $\int_0^{\pi/6}\cos x\,dx$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\int_0^{\pi}\cos x\,dx$ | $0$ |
| $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$ | $2$ |

Da $\cos x$ gerade ist, gilt $\int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a$.

## Varianten mit Substitution

Mit $u = ax + b$:

$$\int\cos(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax + b) + C$$

Zum Beispiel ist $\int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C$ und $\int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C$.

Wenn die innere Ableitung als Faktor auftaucht, verwendest du die [Substitutionsregel](/rules/u-substitution-rule):

$$\int \cos x\,e^{\sin x}\,dx = e^{\sin x} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \cos x\,\sin^3 x\,dx = \frac{\sin^4 x}{4} + C \quad (u = \sin x)$$

$$\int \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sin(\sqrt{x}) + C \quad (u = \sqrt{x})$$

Beim letzten ist $du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$, also $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du$.

## Rechenbeispiele

**Beispiel 1.** $\int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C$. Beachte, wie das Minus vor $\sin$ mit dem Minus in $-\cos x$ zusammen $+3\cos x$ ergibt.

**Beispiel 2.** $\int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$.

**Beispiel 3: ein Anfangswertproblem.** Ist $f'(x) = \cos x$ und $f(0) = 3$, dann ist $f(x) = \sin x + C$ und $f(0) = C = 3$, also $f(x) = \sin x + 3$.

**Beispiel 4: harmonische Schwingung.** Hat eine Feder die Geschwindigkeit $v(t) = 4\cos(2t)$ und den Ort $s(0) = 0$, dann ist $s(t) = 2\sin(2t)$. Die Amplitude ist $2$.

## Häufige Fehler

1. **$-\sin x$ schreiben.** Das ist die Ableitung von $\cos x$, nicht das Integral.
2. **Das Teilen durch $a$ vergessen.** $\int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C$, nicht $\sin(3x) + C$.
3. **$\cos^2 x$ zu $\sin^2 x$ oder $\frac{\cos^3 x}{3}$ integrieren.** Potenzen trigonometrischer Funktionen brauchen Identitäten. Siehe [Integral von cos² x](/integrals/cos-squared-x).
4. **$\cos(x^2)$ zu $\frac{\sin(x^2)}{2x}$ integrieren.** Durch eine innere Ableitung, die eine Variable enthält, darfst du nicht einfach teilen. $\int\cos(x^2)\,dx$ hat keine elementare Stammfunktion.

Übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von cos x?

Das Integral von $\cos x$ ist $\sin x + C$.

### Was ist das Integral von cos(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}\sin(2x) + C$. Probe: Die Ableitung von $\frac{1}{2}\sin(2x)$ ist $\frac{1}{2}\cdot 2\cos(2x) = \cos(2x)$.

### Was ist das Integral von cos x von 0 bis π?

Es ist $\sin\pi - \sin 0 = 0$. Die Fläche über der Achse auf $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ hebt die Fläche unter der Achse auf $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$ auf.

### Ist das Integral von cos x gleich -sin x?

Nein. $-\sin x$ ist die Ableitung von $\cos x$. Das Integral ist $+\sin x + C$.