# Integral von cot x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von cot x ist ln|sin x| + C. Die Substitution mit u = sin x, der Vergleich mit tan x sowie cot(ax), cot² x und Beispiele für bestimmte Integrale.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-cot-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $\ln\lvert\sin x\rvert + C$
- **Gleichwertige Form:** $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$
- **Methode:** Als $\dfrac{\cos x}{\sin x}$ schreiben, dann $u = \sin x$
- **Lineare Form:** $\int\cot(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax)\rvert + C$
- **Probe:** $\dfrac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \cot x$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\cot x$ ist $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.
- Schreibe $\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Der Zähler ist die Ableitung des Nenners, also ist das Ergebnis ein Logarithmus.
- Anders als bei $\tan x$ gibt es kein Minuszeichen: Die Ableitung von $\sin x$ ist $+\cos x$.
- Es ist nicht $-\csc^2 x$. Das ist die Ableitung von $\cot x$.

Das **Integral von $\cot x$ ist $\ln\lvert\sin x\rvert + C$**. Es ergibt sich aus einer einzigen Substitution und ist das Spiegelbild des [Integrals von tan x](/integrals/tan-x).

$$\int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert + C$$

## Graph von cot x und seiner Stammfunktion

```graph
title: 'Fläche unter y = cot x von π/6 bis π/2, mit der Stammfunktion y = ln|sin x|'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\ln 2 \approx 0.693$. Die gestrichelte Stammfunktion erreicht ihr Maximum $0$ bei $x = \frac{\pi}{2}$, genau dort, wo $\cot x$ null wird.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
    domain: [0.25, 2.9]
  - expr: ln(abs(sin(x)))
    label: y = ln|sin x| (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [0.05, 3.09]
shade: {expr: cot(x), from: 0.5236, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
```

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe um: $\displaystyle\int\cot x\,dx = \int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$.
2. Setze $u = \sin x$. Dann ist $du = \cos x\,dx$.
3. Substituiere: $\displaystyle\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$.
4. Setze $u = \sin x$ wieder ein: $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

Schritt 3 ist das [Integral von 1/x](/integrals/1-over-x). Wegen $\ln\lvert\sin x\rvert = -\ln\lvert\csc x\rvert$ schreiben manche Bücher das Ergebnis als $-\ln\lvert\csc x\rvert + C$. Es ist dieselbe Funktion.

## Probe durch Ableiten

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\sin x\rvert = \frac{\cos x}{\sin x} = \cot x \checkmark$$

In der anderen Richtung sieht es anders aus: Die [Ableitung von cot x](/derivatives/cot-x) ist $-\csc^2 x$.

## tan und cot im Vergleich

| | $\tan x$ | $\cot x$ |
| --- | --- | --- |
| Umschreiben | $\frac{\sin x}{\cos x}$ | $\frac{\cos x}{\sin x}$ |
| Substitution | $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$ | $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ |
| Integral | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| Ableitung | $\sec^2 x$ | $-\csc^2 x$ |

Das Minuszeichen taucht bei $\tan x$ auf, bei $\cot x$ aber nicht, weil $\cos x$ abgeleitet $-\sin x$ ergibt, während $\sin x$ abgeleitet $+\cos x$ ergibt.

## Bestimmte Integrale

$$\int_{\pi/6}^{\pi/2}\cot x\,dx = \ln 1 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2$$

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cot x\,dx = 0 - \ln\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}\ln 2$$

Beginnt man bei $x = 0$, erhält man ein divergentes uneigentliches Integral, da $\ln\sin x \to -\infty$ für $x \to 0^+$.

## Varianten mit Substitution

$$\int\cot(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\sin(ax + b)\rvert + C$$

**Beispiel 1.** $\int\cot(4x)\,dx = \frac{1}{4}\ln\lvert\sin 4x\rvert + C$.

**Beispiel 2.** $\int x\cot(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\sin(x^2)\rvert + C$, mit $u = x^2$.

**Beispiel 3: cot zum Quadrat.** Verwende $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$:

$$\int\cot^2 x\,dx = \int(\csc^2 x - 1)\,dx = -\cot x - x + C$$

Probe: $\frac{d}{dx}(-\cot x - x) = \csc^2 x - 1 = \cot^2 x$.

**Beispiel 4: ein versteckter cot.** $\int\frac{\cos x}{3\sin x + 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3\sin x + 2\rvert + C$, mit $u = 3\sin x + 2$.

## Häufige Fehler

1. **$-\csc^2 x$ angeben.** Das ist die Ableitung von $\cot x$.
2. **In Analogie zu $\tan x$ ein Minuszeichen ergänzen.** $-\ln\lvert\sin x\rvert$ hat die Ableitung $-\cot x$.
3. **$\ln\lvert\cos x\rvert$ angeben.** Der Logarithmus gehört zum Nenner von $\frac{\cos x}{\sin x}$, also zu $\sin x$.
4. **Den Betrag weglassen.** Auf $(\pi, 2\pi)$ ist $\sin x < 0$.

Übe mit den [Aufgaben zur Substitution](/practice-problems/u-substitution).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von cot x?

Das Integral von $\cot x$ ist $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Was ist das Integral von cos x / sin x?

Das ist $\cot x$, das Integral ist also $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

### Was ist das Integral von cot(2x)?

Es ist $\frac{1}{2}\ln\lvert\sin 2x\rvert + C$.

### Was ist das Integral von cot x von π/6 bis π/2?

Es ist $\ln\sin\frac{\pi}{2} - \ln\sin\frac{\pi}{6} = 0 - \ln\frac{1}{2} = \ln 2 \approx 0.693$.