# Integral von csc x: Formel, Herleitung und Beispiele

> Das Integral von csc x (1/sin x) ist -ln|csc x + cot x| + C, auch ln|csc x - cot x| oder ln|tan(x/2)|. Herleitung, warum die Formen gleich sind, Beispiele.

Quelle: https://practicecalculus.com/de/integrale/integral-csc-x
Aktualisiert: 2026-11-06

$$ \int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C $$

## Auf einen Blick

- **Stammfunktion:** $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$
- **Gleichwertige Form:** $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$
- **Halbwinkelform:** $\ln\left\lvert\tan\dfrac{x}{2}\right\rvert + C$
- **Methode:** Mit $\dfrac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$ multiplizieren
- **Von π/3 bis π/2:** $\dfrac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$

## Das Wichtigste

- Das Integral von $\csc x$ ist $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.
- Man kann es auch als $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$ oder $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$ schreiben.
- Die Herleitung verläuft wie bei $\sec x$, mit einem zusätzlichen Minuszeichen aus den Ableitungen von $\csc$ und $\cot$.
- Das Integral von $\frac{1}{\sin x}$ ist dasselbe, denn $\csc x = \frac{1}{\sin x}$.

Das **Integral von $\csc x$ ist $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$**. Der Kosekans csc x ist der Kehrwert des Sinus. Das Integral ist das Gegenstück zum [Integral von sec x](/integrals/sec-x) und wird mit demselben Trick hergeleitet.

$$\int \csc x\,dx = -\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$$

## Graph von csc x und die Fläche darunter

```graph
title: 'Fläche unter y = csc x von π/3 bis π/2, mit der Stammfunktion y = ln|tan(x/2)|'
caption: 'Die schraffierte Fläche ist $\frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$. Die gestrichelte Stammfunktion schneidet die Achse bei $x = \frac{\pi}{2}$, wo $\tan\frac{\pi}{4} = 1$ ist.'
x: [-0.2, 3.4]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: csc(x)
    label: y = csc x
    domain: [0.26, 2.88]
  - expr: ln(abs(tan(x/2)))
    label: y = ln|tan(x/2)| (Stammfunktion)
    dashed: true
    domain: [0.1, 3.04]
shade: {expr: csc(x), from: 1.0472, to: 1.5708}
points:
  - [1.5708, 1, '(π/2, 1)']
```

## Herleitung Schritt für Schritt

1. Multipliziere mit $\frac{\csc x + \cot x}{\csc x + \cot x}$:
$$\int\csc x\,dx = \int\frac{\csc^2 x + \csc x\cot x}{\csc x + \cot x}\,dx$$
2. Setze $u = \csc x + \cot x$. Mit der [Ableitung von csc x](/derivatives/csc-x) und der [Ableitung von cot x](/derivatives/cot-x):
$$du = (-\csc x\cot x - \csc^2 x)\,dx = -(\csc^2 x + \csc x\cot x)\,dx$$
3. Der Zähler ist also $-du$, und das Integral ist $\int\frac{-du}{u} = -\ln\lvert u\rvert + C$.
4. Rücksubstituieren: $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$.

## Warum die drei Formen gleich sind

Erstens gilt $(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$. Also

$$-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert = \ln\frac{1}{\lvert\csc x + \cot x\rvert} = \ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$$

Zweitens ist $\csc x - \cot x = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$, und nach der Halbwinkelformel gilt $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2}$. Das ergibt $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert$.

## Probe durch Ableiten

Verwende die Form $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$:

$$\frac{d}{dx}\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert = \frac{-\csc x\cot x + \csc^2 x}{\csc x - \cot x} = \frac{\csc x(\csc x - \cot x)}{\csc x - \cot x} = \csc x \checkmark$$

## Bestimmte Integrale

Bei $x = \frac{\pi}{2}$: $\csc - \cot = 1 - 0 = 1$, die Stammfunktion ist also $\ln 1 = 0$. Bei $x = \frac{\pi}{3}$: $\csc - \cot = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Also

$$\int_{\pi/3}^{\pi/2}\csc x\,dx = 0 - \ln\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

Ein Integral ab $0$ divergiert immer, weil $\csc x$ bei $x = 0$ eine senkrechte Asymptote hat und $\ln\tan\frac{x}{2} \to -\infty$ gilt.

## Varianten mit Substitution

$$\int\csc(ax + b)\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert\csc(ax + b) - \cot(ax + b)\rvert + C$$

**Beispiel 1.** $\int\csc(3x)\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.

**Beispiel 2.** $\int\frac{dx}{2\sin x\cos x} = \int\frac{dx}{\sin 2x} = \int\csc(2x)\,dx = \frac{1}{2}\ln\lvert\tan x\rvert + C$, mit der Halbwinkelform und $\frac{2x}{2} = x$.

**Beispiel 3.** $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx$ sieht ähnlich aus, ist aber das [Integral von cot x](/integrals/cot-x) und ergibt $\ln\lvert\sin x\rvert + C$.

## Häufige Fehler

1. **$-\csc x\cot x$ angeben.** Das ist die Ableitung von $\csc x$.
2. **Das Minuszeichen vor $\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert$ verlieren.** Die Ableitung wäre dann $-\csc x$.
3. **Die Formen vermischen.** $-\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert$ ist falsch: Das äußere Minus gehört zum Plus innen und umgekehrt.
4. **$-\cot x$ angeben.** Das ist das Integral von $\csc^2 x$, nicht von $\csc x$.

Übe mit den [Aufgaben zu trigonometrischen Integralen](/practice-problems/trig-integrals).

## Häufig gestellte Fragen

### Was ist das Integral von csc x?

Das Integral von $\csc x$ ist $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$, und das ist gleich $\ln\lvert\csc x - \cot x\rvert + C$.

### Warum stimmen -ln|csc x + cot x| und ln|csc x - cot x| überein?

$(\csc x + \cot x)(\csc x - \cot x) = \csc^2 x - \cot^2 x = 1$, also $\csc x - \cot x = \frac{1}{\csc x + \cot x}$. Beim Logarithmieren wird aus dem Kehrwert ein Minuszeichen.

### Was ist das Integral von 1/sin x?

Da $\frac{1}{\sin x} = \csc x$ ist, ergibt sich $\ln\left\lvert\tan\frac{x}{2}\right\rvert + C$ oder eine der gleichwertigen Formen.

### Was ist das Integral von csc(3x)?

Es ist $\frac{1}{3}\ln\lvert\csc 3x - \cot 3x\rvert + C$.